Suites numériques : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Monotonie et bornes de trois suites

Pour chacune des suites suivantes, étudiez le sens de variation et dites si elle est majorée, minorée ou bornée.

1. \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
2. \(v_n = \dfrac{n}{2^n}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
3. \(w_n = (-1)^n\, n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 2 : Convergence par la définition epsilon

On revient ici à la définition quantifiée de la limite, sans utiliser les opérations sur les limites.

1. Soit \(u_n = \dfrac{3n – 1}{n + 2}\). Calculez \(|u_n – 3|\), puis démontrez que \(u_n \to 3\) avec la définition.
2. Déterminez un rang \(N\) à partir duquel \(|u_n – 3| \leq\, 10^{-3}\).
3. Soit \(v_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n}\). Montrez que \(0 \leq\, v_n \leq\, \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\) pour \(n \geq\, 1\), puis démontrez que \(v_n \to 0\) avec la définition.

Exercice 3 : Limite infinie par la définition

1. Montrez que pour tout entier \(n \geq\, 6\), on a \(n^2 – 3n \geq\, \dfrac{n^2}{2}\).
2. Démontrez avec la définition que \(u_n = n^2 – 3n\) tend vers \(+\infty\), en donnant un rang \(N\) explicite en fonction de \(A > 0\).
3. Démontrez avec la définition que \(v_n = \dfrac{n^2 + 1}{n + 1}\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 4 : Calculs de limites

Déterminez la limite éventuelle de chaque suite, en justifiant la levée des formes indéterminées.

1. \(a_n = \dfrac{n^3 – 2n}{2n^3 + 5}\).
2. \(b_n = \sqrt{n^2 + n} – n\).
3. \(c_n = \dfrac{2^n + 3^n}{3^n – 2^n}\) pour \(n \geq\, 1\).
4. \(d_n = n \sin(\dfrac{1}{n})\) pour \(n \geq\, 1\).
5. \(e_n = n^{1/n}\) pour \(n \geq\, 1\).

Exercice 5 : Encadrements et théorème des gendarmes

1. Déterminez la limite de \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k}\) pour \(n \geq\, 1\).
2. Soit \(x\) un réel fixé. Déterminez la limite de \(\dfrac{\lfloor n x \rfloor}{n}\), où \(\lfloor \cdot \rfloor\) désigne la partie entière.
3. Montrez que \(\dfrac{\sin n + 2\cos n}{\sqrt{n}} \to 0\).

Exercice 6 : Comparaison et factorielles

1. Montrez que \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq\, \sqrt{n}\) pour \(n \geq\, 1\). Quelle est la limite de \((u_n)\) ?
2. Montrez que \(0 < \dfrac{n!}{n^n} \leq\, \dfrac{1}{n}\) pour \(n \geq\, 1\). En déduire la limite de \(\dfrac{n!}{n^n}\), puis celle de \(\dfrac{n^n}{n!}\).
3. Montrez que \(0 < \dfrac{2^n}{n!} \leq\, \dfrac{4}{n}\) pour \(n \geq\, 2\). Conclure.

Exercice 7 : Opérations sur les limites : démonstrations

Dans cet exercice, on n’utilise que la définition de la limite.

1. Soit \((u_n)\) une suite qui converge vers \(\ell \neq 0\). Montrez qu’il existe un rang \(N\) tel que \(|u_n| \geq\, \dfrac{|\ell|}{2}\) pour tout \(n \geq\, N\).
2. En déduire que \(\dfrac{1}{u_n} \to \dfrac{1}{\ell}\).
3. Montrez que si \((u_n)\) est bornée et \(v_n \to 0\), alors \(u_n v_n \to 0\).
4. Donnez deux suites divergentes \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que \((u_n + v_n)\) et \((u_n v_n)\) convergent.

Exercice 8 : Critère du quotient pour une suite positive

Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs telle que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \to L\), avec \(0 \leq\, L < 1\).

1. Soit \(q = \dfrac{1 + L}{2}\). Montrez qu’il existe \(N\) tel que \(u_{n+1} \leq\, q\, u_n\) pour tout \(n \geq\, N\).
2. En déduire que \(0 < u_n \leq\, q^{\,n – N} u_N\) pour \(n \geq\, N\), puis que \(u_n \to 0\).
3. Application : déterminez les limites de \(\dfrac{n^5}{2^n}\) et de \(\dfrac{10^n}{n!}\).
4. Montrez que la suite constante égale à \(1\) et la suite \((n)\) vérifient toutes deux \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \to 1\). Que peut-on en conclure pour le cas \(L = 1\) ?

Exercice 9 : Sommes des inverses et des inverses des carrés

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(K_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\).

1. Montrez que \((K_n)\) est croissante et que \(K_n \leq\, 2 – \dfrac{1}{n}\). En déduire que \((K_n)\) converge.
2. Montrez que \(H_{2n} – H_n \geq\, \dfrac{1}{2}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
3. En raisonnant par l’absurde, montrez que \((H_n)\) ne converge pas. En déduire sa limite.
4. Montrez que \(H_{2^p} \geq\, 1 + \dfrac{p}{2}\) pour tout \(p \in \mathbb{N}\). Retrouvez ainsi le résultat précédent.

Exercice 10 : Un produit convergent

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(P_n = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} (1 + \frac{1}{2^k})\). On admet l’inégalité \(\ln(1 + x) \leq\, x\) pour \(x > -1\).

1. Montrez que \((P_n)\) est strictement croissante.
2. Montrez que \(\ln P_n \leq\, 1 – \dfrac{1}{2^n}\), puis que \(P_n \leq\, \mathrm{e}\).
3. En déduire que \((P_n)\) converge vers un réel \(P\) tel que \(\dfrac{3}{2} < P \leq\, \mathrm{e}\).

Exercice 11 : Suites adjacentes et somme alternée

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \cdots\).

1. Calculez \(S_{2n+2} – S_{2n}\) et \(S_{2n+3} – S_{2n+1}\).
2. Montrez que les suites \((S_{2n})_{n \geq\, 1}\) et \((S_{2n+1})_{n \geq\, 0}\) sont adjacentes.
3. En déduire que \((S_n)\) converge. Donnez un encadrement de sa limite \(\ell\) d’amplitude inférieure à \(\dfrac{1}{5}\).

Exercice 12 : Irrationalité de e

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\) et \(v_n = u_n + \dfrac{1}{n \cdot n!}\).

1. Montrez que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes. On note \(\mathrm{e}\) leur limite commune.
2. Montrez que \(u_n < \mathrm{e} < v_n\) pour tout \(n \geq\, 1\) (inégalités strictes).
3. On suppose que \(\mathrm{e} = \dfrac{p}{q}\) avec \(p, q\) entiers naturels non nuls. En multipliant l’encadrement précédent au rang \(n = q\) par \(q \cdot q!\), obtenez une contradiction.
4. Conclure. Donnez aussi un encadrement de \(\mathrm{e}\) d’amplitude inférieure à \(10^{-3}\).

Exercice 13 : Divergence par les suites extraites

Montrez que les suites suivantes divergent.

1. \(a_n = (-1)^n \dfrac{n}{n+1}\).
2. \(b_n = \cos(\dfrac{n\pi}{3})\).
3. \(c_n = n (1 + (-1)^n)\). Cette suite tend-elle vers \(+\infty\) ?
4. Soit \((u_n)\) une suite telle que \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\) et \((u_{3n})\) convergent. Montrez que \((u_n)\) converge.

Exercice 14 : La suite (sin n) diverge

La figure ci-dessous représente les premiers termes de la suite \((\sin n)\). Ils semblent remplir tout l’intervalle \([-1, 1]\). On se propose de démontrer que cette suite n’a pas de limite. On raisonne par l’absurde en supposant que \(\sin n \to \ell\), avec \(\ell\) réel.

1. En utilisant \(\sin(n+1) – \sin(n-1) = 2 \cos n \sin 1\), montrez que \(\cos n \to 0\).
2. En utilisant la suite extraite \((\sin(2n))\), montrez que \(\ell = 0\).
3. Obtenez une contradiction avec la relation \(\sin^2 n + \cos^2 n = 1\).
4. Justifiez que \((\sin n)\) admet néanmoins une suite extraite convergente.

Exercice 15 : Lemme des pics et Bolzano-Weierstrass

Soit \((u_n)\) une suite réelle. On dit que l’indice \(p\) est un pic si \(u_p \geq\, u_n\) pour tout \(n \geq\, p\).

1. On suppose que \((u_n)\) possède une infinité de pics \(p_0 < p_1 < p_2 < \cdots\). Montrez que \((u_{p_k})_k\) est une suite extraite décroissante.
2. On suppose que \((u_n)\) n’a qu’un nombre fini de pics, tous strictement inférieurs à un entier \(n_0\). Construisez une suite extraite strictement croissante.
3. En déduire que toute suite réelle admet une suite extraite monotone.
4. Démontrez le théorème de Bolzano-Weierstrass à l’aide du théorème de la limite monotone.
5. Montrez qu’une suite réelle non majorée admet une suite extraite qui tend vers \(+\infty\).

Exercice 16 : Suite arithmético-géométrique

On considère la suite définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 3\).

1. Déterminez le réel \(c\) tel que \(c = \dfrac{1}{2} c + 3\).
2. Montrez que \(v_n = u_n – c\) est géométrique. Exprimez \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Étudiez la monotonie et la limite de \((u_n)\).
4. Calculez \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k\) en fonction de \(n\).

Exercice 17 : Récurrences linéaires d’ordre 2 à racines réelles

Déterminez le terme général des suites suivantes, puis étudiez leur limite.

1. \(u_0 = 1\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = 5 u_{n+1} – 6 u_n\).
2. \(v_0 = 1\), \(v_1 = 4\) et \(v_{n+2} = 4 v_{n+1} – 4 v_n\).
3. \(w_0 = 3\), \(w_1 = 0\) et \(w_{n+2} = \dfrac{1}{2} w_{n+1} + \dfrac{1}{2} w_n\).

Exercice 18 : Racines complexes et suite périodique

On définit \(u_0 = 1\), \(u_1 = 2\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} – u_n\).

1. Résolvez l’équation caractéristique et écrivez ses racines sous forme exponentielle.
2. Déterminez \(u_n\) sous la forme \(\lambda \cos(\dfrac{n\pi}{3}) + \mu \sin(\dfrac{n\pi}{3})\), puis sous la forme \(A \cos(\dfrac{n\pi}{3} + \theta)\).
3. Montrez que \(u_{n+6} = u_n\) pour tout \(n\). Calculez \(u_0, \ldots, u_5\).
4. La suite \((u_n)\) converge-t-elle ?

Exercice 19 : Suite de Fibonacci et nombre d’or

On note \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\). On pose \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\psi = \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2}\).

1. Montrez que \(F_n = \dfrac{\varphi^n – \psi^n}{\sqrt{5}}\) pour tout \(n\).
2. Montrez que \(F_n \to +\infty\).
3. Montrez que \(\dfrac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi\).
4. Montrez que \(F_n\) est l’entier le plus proche de \(\dfrac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\) pour tout \(n \geq\, 0\).

Exercice 20 : Étude de u(n+1) = √(2 + u(n))

Soit \(f : x \mapsto \sqrt{2 + x}\) définie sur \([-2, +\infty[\), dont la courbe est représentée ci-dessous avec la droite \(y = x\). On définit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrez que l’intervalle \([0, 2]\) est stable par \(f\). En déduire que \(0 \leq\, u_n \leq\, 2\) pour tout \(n\).
2. Montrez que \((u_n)\) est croissante.
3. En déduire que \((u_n)\) converge et déterminez sa limite.
4. Montrez que \(|u_{n+1} – 2| \leq\, \dfrac{1}{2} |u_n – 2|\), puis que \(|u_n – 2| \leq\, \dfrac{1}{2^{n-1}}\). À partir de quel rang a-t-on \(|u_n – 2| \leq\, 10^{-6}\) ?

Exercice 21 : Fonction décroissante et fraction continue

Soit \(f : x \mapsto \dfrac{1}{1 + x}\) sur \([0, +\infty[\). On définit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrez que l’intervalle \(I = [\dfrac{1}{2}, 1]\) est stable par \(f\). Calculez \(u_1, u_2, u_3\).
2. Déterminez l’unique point fixe \(\ell\) de \(f\) dans \(I\).
3. Montrez que pour \(x, y \in I\), on a \(|f(x) – f(y)| \leq\, \dfrac{4}{9} |x – y|\).
4. En déduire que \(|u_n – \ell| \leq\, (\dfrac{4}{9})^n |u_0 – \ell|\), puis que \(u_n \to \ell\).
5. Montrez par récurrence que \(u_n = \dfrac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\), où \((F_n)\) est la suite de Fibonacci de l’exercice 19. Retrouvez la limite de \(\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\).

Exercice 22 : Problème : discussion selon la valeur initiale

Soit \(f : x \mapsto \dfrac{x^2 + 2}{3}\), dont la courbe est représentée ci-dessous avec la droite \(y = x\). Pour \(a \in \mathbb{R}\), on définit \(u_0 = a\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Le but est de décrire le comportement de \((u_n)\) selon \(a\).

1. Déterminez les points fixes de \(f\), et le signe de \(f(x) – x\) selon \(x\).
2. Montrez que \(u_1 = f(|a|)\). Justifiez qu’on peut se limiter au cas \(a \geq\, 0\).
3. Montrez que les intervalles \([0, 1]\), \([1, 2]\) et \([2, +\infty[\) sont stables par \(f\).
4. Cas \(0 \leq\, a < 1\) : montrez que \((u_n)\) converge et donnez sa limite.
5. Cas \(1 < a < 2\) : même question.
6. Cas \(a > 2\) : montrez que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).
7. Résumez : pour quelles valeurs de \(a\) la suite converge-t-elle, et vers quelle limite ?
8. Pour \(0 \leq\, a \leq\, 1\), montrez que \(|u_{n+1} – 1| \leq\, \dfrac{2}{3} |u_n – 1|\), puis majorez \(|u_n – 1|\).

Exercice 23 : Problème : moyenne arithmético-géométrique

Soient deux réels \(a_0 > b_0 > 0\). On définit, pour tout \(n\) :

\[a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}.\]

1. Montrez par récurrence que \(a_n\) et \(b_n\) sont bien définis et strictement positifs.
2. Montrez que \(a_{n+1} – b_{n+1} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{a_n} – \sqrt{b_n})^2\). En déduire que \(b_n \leq\, a_n\) pour tout \(n\).
3. Montrez que \((a_n)\) est décroissante et \((b_n)\) croissante.
4. Montrez que \(0 \leq\, a_{n+1} – b_{n+1} \leq\, \dfrac{a_n – b_n}{2}\), puis que \(a_n – b_n \leq\, \dfrac{a_0 – b_0}{2^n}\).
5. En déduire que \((a_n)\) et \((b_n)\) convergent vers une même limite \(M(a_0, b_0)\), appelée moyenne arithmético-géométrique.
6. Pour \(a_0 = 4\) et \(b_0 = 1\), calculez \(a_1, b_1, a_2, b_2\) et donnez un encadrement de \(M(4, 1)\).
7. Montrez que \(M(\lambda a_0, \lambda b_0) = \lambda M(a_0, b_0)\) pour tout \(\lambda > 0\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : suites numériques, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Nombres réels et borne supérieure, Entiers naturels, récurrence et dénombrement
• Chapitre précédent : Nombres réels et borne supérieure
• Chapitre suivant : Limites et continuité des fonctions
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3