Contrôle de maths L1 : récurrence, sommes et coefficients binomiaux

Exercice 1 : Question de cours : formule de Pascal et binôme de Newton (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(0 \leq\, k \leq\, n\), on note \(\binom\,{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).

1. Démontrez la formule de Pascal : pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(1 \leq\, k \leq\, n\), \(\binom\,{n}{k-1} + \binom\,{n}{k} = \binom\,{n+1}{k}\). (1,5 point)
2. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres complexes. Démontrez par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
   \[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} a^k b^{n-k}.\]
   Vous rédigerez avec soin le changement d’indice. (2,5 points)

Exercice 2 : Trois récurrences (5 points)

1. Démontrez que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). (1,5 point)
2. On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 2\), \(u_1 = 3\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+2} = 3u_{n+1} – 2u_n\). Démontrez par une récurrence double que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = 2^n + 1\). (1,5 point)
3. Démontrez par récurrence forte que tout entier \(n \geq\, 2\) admet au moins un diviseur premier. (2 points)

Exercice 3 : Calculs de sommes (5 points)

Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel non nul.

1. Déterminez deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{\alpha}{k} + \dfrac{\beta}{k+1}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\). Ensuite, calculez \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}\). (1 point)
2. On pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k\binom\,{n}{k}\). À l’aide du changement d’indice \(j = n-k\), montrez que \(2S_n = n2^n\), puis donnez \(S_n\). (1,5 point)
3. Vérifiez que \(k\binom\,{n}{k} = n\binom\,{n-1}{k-1}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n\). Déduisez-en, pour \(n \geq\, 2\), la valeur de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2\binom\,{n}{k}\). (1,5 point)
4. En remarquant que \(k(k+1)(k+2) – (k-1)k(k+1) = 3k(k+1)\), calculez \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)\) par télescopage. (1 point)

Exercice 4 : Problème : dénombrer des couples de parties (6 points)

Soit \(E\) un ensemble fini à \(n\) éléments, avec \(n \geq\, 1\). On note \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble de ses parties.

1. Soit \(p \in \mathbb{N}^*\). Combien existe-t-il de \(p\)-listes d’éléments de \(E\) ? Pour \(p \leq\, n\), combien existe-t-il de \(p\)-listes d’éléments deux à deux distincts ? Justifiez brièvement. (1 point)
2. On note \(N\) le nombre de couples \((A,B) \in \mathcal{P}(E)^2\) tels que \(A \subset B\). En classant ces couples selon le cardinal \(k\) de \(B\), montrez que \(N = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} 2^k\), puis calculez \(N\). (1,5 point)
3. Retrouvez la valeur de \(N\) en construisant une bijection entre l’ensemble de ces couples et l’ensemble des applications de \(E\) dans \(\{0, 1, 2\}\). (1 point)
4. Combien existe-t-il de couples \((A,B) \in \mathcal{P}(E)^2\) tels que \(A \cap B = \emptyset\) ? Justifiez par une bijection avec les couples de la question b). (1 point)
5. Pour trois parties finies \(A\), \(B\), \(C\), démontrez à partir de la formule \(\operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card} A + \operatorname{card} B – \operatorname{card}(A \cap B)\) la formule du cardinal de \(A \cup B \cup C\). Combien d’entiers de \(1\) à \(300\) sont divisibles par \(2\), par \(3\) ou par \(5\) ? (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : récurrence, sommes et coefficients binomiaux

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Récurrence et dénombrement » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés récurrence et dénombrement.

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