Contrôle de maths L1 : complexes, racines n-ièmes et trigonométrie

Exercice 1 : Question de cours : racines n-ièmes de l’unité (4 points)

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Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On note \(\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} : z^n = 1\}\).

1. Démontrez que \(\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n} : k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}\}\) et que ces \(n\) nombres sont deux à deux distincts. (2 points)
2. Démontrez que la somme des éléments de \(\mathbb{U}_n\) est nulle. (1 point)
3. Démontrez l’inégalité triangulaire : pour tous \(z, z^{\prime} \in \mathbb{C}\), \(|z + z^{\prime}| \leq\, |z| + |z^{\prime}|\). (1 point)

Exercice 2 : Formules de Moivre et d’Euler (5 points)

Dans cet exercice, \(x\) et \(\theta\) désignent des réels.

1. À l’aide des formules d’Euler, linéarisez \(\cos^3 x\). (1,5 point)
2. À l’aide de la formule de Moivre, exprimez \(\cos(3x)\) en fonction de \(\cos x\) seulement. (1 point)
3. Factorisez \(1 + e^{i\theta}\) par \(e^{i\theta/2}\). Pour \(\theta \in ]-\pi, \pi[\), déduisez-en le module et un argument de \(1 + e^{i\theta}\). (1,5 point)
4. Soit \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \notin 2\pi\mathbb{Z}\). Calculez \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(kx)\) sous forme d’un produit de sinus et de cosinus divisé par \(\sin\dfrac{x}{2}\). (1 point)

Exercice 3 : Équations dans C (5 points)

1. Déterminez, sous forme algébrique, les racines carrées complexes de \(-8 – 6i\). (1,5 point)
2. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2 – (3+i)z + 4 + 3i = 0\). (1,5 point)
3. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^3 = 8i\). Donnez les solutions sous forme exponentielle puis algébrique, et précisez la figure qu’elles forment dans le plan complexe. (2 points)

Exercice 4 : Problème : pentagone régulier et cosinus de 2pi sur 5 (6 points)

On pose \(\omega = e^{2i\pi/5}\). Les points d’affixes \(1\), \(\omega\), \(\omega^2\), \(\omega^3\), \(\omega^4\) sont représentés sur le cercle unité ci-dessous.

1. Justifiez que \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\). (0,5 point)
2. On pose \(a = \omega + \omega^4\) et \(b = \omega^2 + \omega^3\). Démontrez que \(a = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}\), que \(b = 2\cos\dfrac{4\pi}{5}\), puis que \(a + b = -1\) et \(ab = -1\). (2 points)
3. Déduisez-en la valeur exacte de \(\cos\dfrac{2\pi}{5}\). (1,5 point)
4. Démontrez que la rotation \(z \mapsto \omega z\) permute les cinq points, puis que les cinq côtés du pentagone ont la même longueur \(2\sin\dfrac{\pi}{5}\). (1 point)
5. Soit \(f\) l’application du plan complexe définie par \(f(z) = (1+i)z + 2\). Déterminez l’affixe \(z_0\) de son unique point fixe, écrivez \(f(z) – z_0\) en fonction de \(z – z_0\), et donnez la nature de \(f\). Quelle est l’image du pentagone par \(f\) (centre et longueur des côtés) ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : complexes, racines n-ièmes et trigonométrie

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Nombres complexes » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés nombres complexes.

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