Intégration sur un segment : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise de l’intégrale de Riemann sur un segment en L1 : fonctions intégrables, propriétés de l’intégrale, sommes de Riemann, primitives et techniques de calcul. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégrale de Riemann et calcul de primitives du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Intégration sur un segment - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Que vaut \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + k/n}\) ?

A \(\ln 2\)

B \(1\)

C \(\ln 3\)

D \(\frac{1}{2}\)

Question 2

Que vaut \(\int_0^1 x\, e^x\, dx\) ?

A \(1\)

B \(e - 1\)

C \(e\)

D \(\frac{e}{2}\)

Question 3

Avec le changement de variable \(x = \sin t\), que vaut \(\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, dx\) ?

A \(\frac{\pi}{2}\)

B \(\frac{2}{3}\)

C \(1\)

D \(\frac{\pi}{4}\)

Question 4

Soit \(F(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2}\, dt\). Que vaut \(F'(x)\) ?

A \(e^{-x^2}\)

B \(e^{-x^4}\)

C \(2x\, e^{-x^4}\)

D \(2x\, e^{-x^2}\)

Question 5

Laquelle de ces fonctions n’est pas intégrable au sens de Riemann sur \([0, 1]\) ?

A Une fonction croissante quelconque sur \([0, 1]\)

B L’indicatrice de \(\mathbb{Q} \cap [0, 1]\)

C La fonction partie entière

D \(x \mapsto \sin\frac{1}{x}\) prolongée par \(0\) en \(0\)

Question 6

Soit \(f\) positive et intégrable sur \([0, 1]\), avec \(\int_0^1 f = 0\). Que peut-on en conclure ?

A \(f\) est nulle sur \([0, 1]\)

B \(f\) n’est pas forcément nulle : l’indicatrice de \(\{\frac12\}\) convient

C \(f\) est nulle sur \(]0, 1[\)

D \(f\) est forcément continue

Question 7

Pour \(f, g\) continues sur \([a, b]\), quelle est l’inégalité de Cauchy-Schwarz ?

A \(\int_a^b (fg)^2 \leqslant \left(\int_a^b f\right)^2 \left(\int_a^b g\right)^2\)

B \(\int_a^b fg \leqslant \int_a^b f \int_a^b g\)

C \(\left(\int_a^b fg\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2 \int_a^b g^2\)

D \(\left(\int_a^b fg\right)^2 \geqslant \int_a^b f^2 \int_a^b g^2\)

Question 8

Quelle est une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\) sur \(\mathbb{R}\) ?

A \(x \mapsto \ln(x^2 + 2x + 5)\)

B \(x \mapsto \frac{1}{4} \arctan\left(\frac{x + 1}{2}\right)\)

C \(x \mapsto \arctan(x + 1)\)

D \(x \mapsto \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x + 1}{2}\right)\)

Question 9

Que vaut \(\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x}\, dx\) ?

A \(1\)

B \(0\)

C \(\ln 2\)

D \(\frac{1}{2}\)

Question 10

Soit \(f\) intégrable sur \([0, 1]\), mais pas forcément continue. Que peut-on dire de \(F(x) = \int_0^x f(t)\, dt\) ?

A \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\)

B \(F\) n’est pas forcément continue

C \(F\) est continue, mais pas forcément dérivable

D \(F\) est dérivable et \(F' = f\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de intégration sur un segment en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les fonctions intégrables : continues, monotones, et un contre-exemple classique ;
la positivité, l’inégalité de la moyenne et l’inégalité de Cauchy-Schwarz ;
les sommes de Riemann pour calculer une limite ;
le théorème fondamental de l’analyse et la dérivation de \(x \mapsto \int_a^{u(x)} f\) ;
l’intégration par parties, le changement de variable et les primitives de fractions rationnelles.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : conclure d’une intégrale nulle que la fonction positive est nulle, sans vérifier la continuité. Une fonction positive nulle sauf en un point a une intégrale nulle.

Comment réviser avant de refaire le test

Devant une limite de somme du type \(\sum_{k} \frac{1}{n} g(\frac{k}{n})\), cherchez à faire apparaître le facteur \(\frac{1}{n}\) et une expression ne dépendant que de \(\frac{k}{n}\) : c’est le signal d’une somme de Riemann. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Intégrale de Riemann et calcul de primitives, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Polynômes, Systèmes linéaires et matrices, Équations différentielles, Développements limités. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi construire l’intégrale à partir des fonctions en escalier ?

Parce que leur intégrale est une simple somme d’aires de rectangles. Une fonction est alors intégrable si on peut l’encadrer par deux fonctions en escalier dont les intégrales sont aussi proches qu’on veut.

Toute fonction intégrable admet-elle une primitive ?

Non : \(x \mapsto \int_a^x f\) est toujours continue, mais n’est dérivable de dérivée \(f\) qu’aux points où \(f\) est continue. Une fonction en escalier non constante n’a pas de primitive sur tout le segment.