Applications linéaires : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des applications linéaires en L1 : noyau et image, injectivité, théorème du rang, isomorphismes, projecteurs, symétries et formes linéaires. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Applications linéaires du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

L’essentiel : Ce QCM de maths en L1 sur « Applications linéaires » vérifie en une série de questions les notions essentielles du chapitre, avec la bonne réponse expliquée. Il se fait gratuitement après avoir revu le cours, et se télécharge aussi en PDF.

🎓 Applications linéaires - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Laquelle de ces applications de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) est linéaire ?

A \((x, y) \mapsto (|x|, y)\)

B \((x, y) \mapsto (xy, x)\)

C \((x, y) \mapsto (x + y, 2x)\)

D \((x, y) \mapsto (x + 1, y)\)

Question 2

Pour \(f \in \mathcal{L}(E, F)\), à quelle condition \(f\) est-elle injective ?

A Si et seulement si \(\ker f = E\)

B Si et seulement si \(\ker f = \{0\}\)

C Si et seulement si \(\operatorname{Im} f = F\)

D Si et seulement si \(\dim E = \dim F\)

Question 3

Quel est l’énoncé du théorème du rang, pour \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) avec \(E\) de dimension finie ?

A \(\dim E = \dim \ker f \times \operatorname{rg} f\)

B \(E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f\)

C \(\dim F = \dim \ker f + \operatorname{rg} f\)

D \(\dim E = \dim \ker f + \operatorname{rg} f\)

Question 4

Soit \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y, z) \mapsto (x + y, y + z)\). Quel est son noyau ?

A \(\mathrm{Vect}\big((1, -1, 0), (0, 1, -1)\big)\)

B \(\mathrm{Vect}\big((1, -1, 1)\big)\)

C \(\{0\}\)

D \(\mathrm{Vect}\big((1, 1, 1)\big)\)

Question 5

Sur \(\mathbb{R}[X]\), que dire de la dérivation \(D : P \mapsto P'\) ?

A Elle est surjective mais pas injective

B Elle est bijective

C Elle est injective mais pas surjective

D Elle n’est ni injective ni surjective

Question 6

Un endomorphisme \(p\) de \(E\) est un projecteur si et seulement si :

A \(p \circ p = \mathrm{id}_E\)

B \(\ker p = \{0\}\)

C \(p \circ p = p\)

D \(p \circ p = 0\)

Question 7

Soit \(p\) un projecteur de \(E\). À quoi est égale son image \(\operatorname{Im} p\) ?

A \(\ker(p - \mathrm{id}_E)\)

B \(\ker(p + \mathrm{id}_E)\)

C \(\ker p\)

D \(E\) tout entier

Question 8

Quelle est la dimension de \(\{P \in \mathbb{R}_3[X] : P(1) = 0\}\) ?

A \(2\)

B \(1\)

C \(3\)

D \(4\)

Question 9

Soit \(f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]\), \(P \mapsto P(X + 1) - P(X)\). Quel est son noyau ?

A Les polynômes nuls en \(0\)

B \(\{0\}\)

C \(\mathbb{R}_1[X]\)

D Les polynômes constants

Question 10

Soit \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) telle que \(f(1, 0) = (1, 2)\) et \(f(0, 1) = (3, 4)\). Que vaut \(f(2, -1)\) ?

A \((2, -4)\)

B \((-1, 0)\)

C \((-1, -2)\)

D \((5, 8)\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de applications linéaires en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la vérification de la linéarité d’une application ;
le calcul du noyau et de l’image, et la caractérisation de l’injectivité ;
le théorème du rang et ses conséquences en dimension finie ;
la détermination d’une application linéaire par l’image d’une base ;
les projecteurs, les symétries et les hyperplans.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : appliquer « injectif équivaut à surjectif » à un endomorphisme d’un espace de dimension infinie. La dérivation sur \(\mathbb{R}[X]\) est surjective mais pas injective.

Comment réviser avant de refaire le test

Dès que vous avez calculé le noyau, écrivez le théorème du rang : il donne la dimension de l’image sans calcul, et il suffit ensuite d’exhiber autant de vecteurs indépendants de l’image pour en avoir une base. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Applications linéaires, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Espaces vectoriels, Bases et dimension, Matrices et changement de base, Déterminants. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quelle différence entre un projecteur et une symétrie ?

Un projecteur vérifie \(p \circ p = p\) et projette sur \(\operatorname{Im} p\) parallèlement à \(\ker p\). Une symétrie vérifie \(s \circ s = \mathrm{id}\) ; on a \(s = 2p – \mathrm{id}\) pour le projecteur \(p\) associé.

Pourquoi l’image d’une base suffit-elle à définir une application linéaire ?

Tout vecteur s’écrit de façon unique \(\sum x_i e_i\), et la linéarité impose \(f(x) = \sum x_i f(e_i)\). On peut donc choisir librement les \(f(e_i)\), et l’application obtenue est unique.

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