Contrôle de maths 1ère : variables aléatoires, espérance et variance

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

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Donne directement le résultat, sans justification.

Une variable aléatoire \(X\) a la loi suivante :

1. Donne la valeur de \(p\). (0,5 point)
2. Calcule \(E(X)\). (0,5 point)
3. Calcule \(P(X \geq\, 1)\). (0,5 point)
4. Une variable aléatoire \(T\) vérifie \(E(T)=5\). Calcule \(E(2T-3)\). (0,5 point)
5. Une variable aléatoire \(T\) vérifie \(V(T)=4\). Calcule \(V(-3T+1)\). (0,5 point)
6. Une variable aléatoire a pour variance \(9\). Donne son écart type. (0,5 point)
7. Une variable aléatoire \(W\) vérifie \(E(W)=2\) et \(E(W^2)=13\). Calcule \(V(W)\). (0,5 point)
8. Une variable aléatoire \(Z\) prend la valeur \(0\) avec la probabilité \(\frac{1}{4}\) et la valeur \(4\) avec la probabilité \(\frac{3}{4}\). Calcule \(E(Z)\). (0,5 point)

Exercice 2 : La roue de la kermesse (4 points)

À la kermesse du lycée, Inès fait tourner la roue ci-dessous. Chaque point du bord a la même chance de s’arrêter devant la flèche, donc la probabilité d’un secteur est proportionnelle à son angle. Le secteur bleu mesure \(180^\circ\) et rapporte \(0\) €, le vert mesure \(120^\circ\) et rapporte \(3\) €, le rouge mesure \(60^\circ\) et rapporte \(12\) €. Pour jouer, on paie \(4\) €.

On note \(X\) le gain algébrique d’Inès, c’est-à-dire la somme reçue moins la participation de \(4\) €.

1. Donne les valeurs prises par \(X\), puis la loi de probabilité de \(X\) sous forme de tableau. (1 point)
2. Calcule l’espérance de \(X\). Le jeu est-il favorable à Inès ? (1 point)
3. Calcule \(E(X^2)\), puis la variance de \(X\) grâce à la formule de König-Huygens. Donne l’écart type de \(X\) en valeur exacte puis arrondi au centime. (1,5 point)
4. Quelle participation l’organisateur devrait-il demander pour que le jeu soit équitable ? (0,5 point)

Exercice 3 : Les buts de Lucas au handball (4 points)

On note \(Y\) le nombre de buts marqués par Lucas lors d’un match de handball choisi au hasard dans la saison. La loi de \(Y\) est représentée par le diagramme en bâtons ci-dessous ; la probabilité \(a = P(Y=3)\) est inconnue.

1. Lis sur le diagramme les probabilités connues et calcule \(a\). (0,5 point)
2. Calcule la probabilité que Lucas marque au moins deux buts lors d’un match. (0,5 point)
3. Calcule \(E(Y)\) et interprète ce nombre. (1 point)
4. Calcule \(V(Y)\), puis l’écart type \(\sigma(Y)\) arrondi au centième. (1 point)
5. Son club lui verse une prime de \(500\) € par match plus \(200\) € par but marqué. On note \(Z = 200Y + 500\). Calcule \(E(Z)\) et \(V(Z)\) sans écrire la loi de \(Z\). (1 point)

Exercice 4 : Une urne simulée en Python (4 points)

Malik a écrit le programme Python suivant pour simuler un jeu. On rappelle que randint(0, 7) renvoie un entier au hasard entre \(0\) et \(7\) inclus, chaque entier ayant la même probabilité.

from random import randint

def gain():
    jetons = [10, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0]
    k = randint(0, 7)
    return jetons[k] - 3

def moyenne(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + gain()
    return s / n

1. Décris le jeu simulé par la fonction gain : contenu de l’urne, somme reçue, participation. (1 point)
2. On note \(G\) la valeur renvoyée par gain(). Donne la loi de probabilité de \(G\). (1 point)
3. Calcule \(E(G)\). (1 point)
4. Malik exécute moyenne(10000). Autour de quelle valeur le résultat affiché sera-t-il probablement ? Justifie. (1 point)

Exercice 5 : Deux jeux, un même gain moyen (4 points)

Sarah hésite entre deux jeux en ligne. Dans le jeu A, son gain \(X\) (en euros) suit la loi du premier tableau ; dans le jeu B, son gain \(Y\) suit la loi du second.

Loi de \(X\) (jeu A) :

Loi de \(Y\) (jeu B) :

1. Calcule \(E(X)\) et \(E(Y)\). (1 point)
2. Calcule \(V(X)\) et \(V(Y)\) à l’aide de la formule de König-Huygens, puis les écarts types arrondis au centième. (1,5 point)
3. Sarah est prudente et veut limiter le risque. Quel jeu lui conseilles-tu ? Justifie. (0,5 point)
4. Le site propose un jeu C dont le gain est \(C = 3Y – 4\). Calcule \(E(C)\) et \(V(C)\). Le jeu C est-il plus risqué que le jeu B ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : variables aléatoires, espérance et variance

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