Corrigé du contrôle de maths 1ère : probabilités conditionnelles et arbres

Exercice 1 : Questions flash (3 points)

1. \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12\). \(P(A \cap B) = 0{,}12\).
2. Comme \(P(B) \neq 0\), \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}5} = 0{,}3\). \(P_B(A) = 0{,}3\).
3. \(P_A\) est une probabilité, donc \(P_A(\overline{B}) = 1 – P_A(B) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\). \(P_A(\overline{B}) = 0{,}3\).

Barème : 1 point par question : 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 2 : Sport et demi-pension (4 points)

1. On est en situation d’équiprobabilité sur les 250 élèves. \(P(D) = \dfrac{180}{250} = 0{,}72\) et \(P(D \cap S) = \dfrac{84}{250} = 0{,}336\). \(P(D) = 0{,}72\) et \(P(D \cap S) = 0{,}336\).
2. Parmi les 180 demi-pensionnaires, 84 pratiquent un sport en club : \(P_D(S) = \dfrac{84}{180} = \dfrac{7}{15} \approx 0{,}467\). Environ \(46{,}7\,\%\) des demi-pensionnaires pratiquent un sport en club.
3. Parmi les 112 élèves qui pratiquent un sport en club, 84 sont demi-pensionnaires : \(P_S(D) = \dfrac{84}{112} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\). \(P_S(D) = 0{,}75\).
4. Parmi les 70 externes, 28 pratiquent un sport en club : \(P_{\overline{D}}(S) = \dfrac{28}{70} = 0{,}4\). Comme \(0{,}467 > 0{,}4\), la pratique d’un sport en club est plus fréquente chez les demi-pensionnaires (environ \(46{,}7\,\%\)) que chez les externes (\(40\,\%\)).

Erreur fréquente : confondre \(P_D(S)\) et \(P_S(D)\). La condition (l’indice) indique la population de référence : pour \(P_D(S)\), on divise par l’effectif des demi-pensionnaires, pas par celui des sportifs.

Barème : a) 0,5 point par probabilité ; b) 0,5 point pour le calcul, 0,25 point pour l’arrondi, 0,25 point pour la phrase ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la comparaison rédigée.

Exercice 3 : Deux machines dans un atelier (5 points)

1. \(P(M_2) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4\) ; \(P_{M_1}(\overline{D}) = 1 – 0{,}03 = 0{,}97\) ; \(P_{M_2}(D) = 0{,}05\) et \(P_{M_2}(\overline{D}) = 1 – 0{,}05 = 0{,}95\). La somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1.

   

2. \(P(M_1 \cap D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 = 0{,}018\). La probabilité que le bouchon vienne de \(M_1\) et soit défectueux est \(0{,}018\).
3. \(M_1\) et \(M_2\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

   \(P(D) = P(M_1 \cap D) + P(M_2 \cap D)\)

   \(P(D) = 0{,}018 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = 0{,}038\).

   On a bien \(P(D) = 0{,}038\).

4. On cherche \(P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}018}{0{,}038} = \dfrac{18}{38} = \dfrac{9}{19} \approx 0{,}474\). Sachant que le bouchon est défectueux, la probabilité qu’il vienne de \(M_1\) est \(\frac{9}{19} \approx 0{,}474\).

Erreur fréquente : répondre \(0{,}03\) à la question d). \(0{,}03\) est \(P_{M_1}(D)\), la probabilité d’être défectueux sachant qu’on vient de \(M_1\), et non l’inverse.

Barème : a) 0,25 point par pondération manquante ; b) 0,5 point pour le produit, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour la partition citée, 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le calcul ; d) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la fraction irréductible, 0,5 point pour l’arrondi et la phrase.

Exercice 4 : Un test de dépistage (5 points)

1. L’énoncé donne \(P(M) = 0{,}02\), \(P_M(T) = 0{,}95\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}9\). On en déduit \(P(\overline{M}) = 0{,}98\), \(P_M(\overline{T}) = 0{,}05\) et \(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}1\).

   

2. \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

   \(P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}1\)

   \(P(T) = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117\). On a bien \(P(T) = 0{,}117\).

3. \(P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} = \dfrac{19}{117} \approx 0{,}162\). Si le test est positif, la probabilité que la personne soit malade n’est que d’environ \(0{,}162\).
4. \(P(\overline{T}) = 1 – 0{,}117 = 0{,}883\) et \(P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}98 \times 0{,}9 = 0{,}882\).

   \(P_{\overline{T}}(\overline{M}) = \dfrac{0{,}882}{0{,}883} \approx 0{,}999\).

   Un test négatif garantit presque à coup sûr que la personne n’est pas malade, alors qu’un test positif ne donne qu’environ \(16\,\%\) de chances d’être malade (la maladie est rare, et les faux positifs chez les \(98\,\%\) de non-malades sont nombreux). Ce test est surtout utile pour rassurer ; un test positif doit être confirmé par un autre examen.

Barème : a) 0,5 point pour la structure de l’arbre, 0,5 point pour les six pondérations ; b) 0,5 point pour la partition, 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le calcul ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’arrondi et la phrase ; d) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’interprétation.

Exercice 5 : Les compétiteurs du club de judo (3 points)

1. \(P(J) = 0{,}4\), \(P_J(C) = 0{,}6\) et \(P(C) = 0{,}45\).
2. \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l’univers, avec \(P(\overline{J}) = 1 – 0{,}4 = 0{,}6\). D’après la formule des probabilités totales :

   \(P(C) = P(J) \times P_J(C) + P(\overline{J}) \times P_{\overline{J}}(C)\)

   \(0{,}45 = 0{,}4 \times 0{,}6 + 0{,}6x\)

   \(0{,}45 = 0{,}24 + 0{,}6x\), donc \(0{,}6x = 0{,}21\) et \(x = \dfrac{0{,}21}{0{,}6} = 0{,}35\).

   \(35\,\%\) des seniors participent à des compétitions.

3. On cherche \(P_C(J) = \dfrac{P(J \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0{,}24}{0{,}45} = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15} \approx 0{,}533\). La probabilité qu’un compétiteur choisi au hasard soit junior est \(\frac{8}{15} \approx 0{,}533\).

Barème : a) 0,5 point (les trois traductions justes) ; b) 0,5 point pour la formule des probabilités totales, 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la résolution ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat.

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Après le corrigé du contrôle : probabilités conditionnelles et arbres

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