Corrigé du contrôle de maths 1ère : variations, extremums et étude de fonctions

Exercice 1 : Une courbe et trois dérivées possibles (3 points)

1. On lit \(f(-2{,}5) = -2{,}5\), un maximum local \(f(-1) = 2\), un minimum local \(f(2) = -2{,}5\) et \(f(3{,}5) = 2\).
   

   \(x\)	\(-2{,}5\)		\(-1\)		\(2\)		\(3{,}5\)
   variations de \(f\)	\(-2{,}5\)	↗	\(2\)	↘	\(-2{,}5\)	↗	\(2\)

   Ainsi, \(f\) est croissante sur \([-2{,}5\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;2]\) et croissante sur \([2\,;3{,}5]\).

2. D’après a), \(f^{\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([-2{,}5\,;-1]\), \(f^{\prime}(x) \leq\, 0\) sur \([-1\,;2]\) et \(f^{\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([2\,;3{,}5]\). De plus, la courbe a une tangente horizontale en \(-1\) et en \(2\), donc \(f^{\prime}(-1) = f^{\prime}(2) = 0\).

   D’abord, la courbe 2 est au-dessus de l’axe des abscisses entre \(-1\) et \(2\). Elle donnerait donc \(f\) croissante sur \([-1\,;2]\), ce qui est faux.

   Ensuite, la courbe 3 coupe l’axe en \(-2\) et en \(1\). Elle donnerait par exemple \(f^{\prime}(-1) = -2 \neq 0\), alors que la tangente en \(-1\) est horizontale.

   Donc la courbe 1 représente \(f^{\prime}\). En effet, elle est au-dessus de l’axe avant \(-1\) et après \(2\), en dessous entre \(-1\) et \(2\), et coupe l’axe exactement en \(-1\) et en \(2\).

Erreur fréquente : chercher une dérivée qui « ressemble » à la courbe de \(f\). Or c’est le signe de \(f^{\prime}\) qui est lié aux variations de \(f\), pas sa forme.

Barème : a) 0,5 point pour les variations, 0,5 point pour les valeurs. Puis b) 1 point pour le choix justifié par le signe et les zéros, 0,5 point pour le rejet de chacune des deux autres courbes.

Exercice 2 : Étude d’un polynôme de degré 3 (5 points)

1. \(f^{\prime}(x) = 6x^2 – 6x – 12 = 6(x^2 – x – 2)\).

   Or \((x + 1)(x – 2) = x^2 – 2x + x – 2 = x^2 – x – 2\). Donc \(f^{\prime}(x) = 6(x + 1)(x – 2)\).

2. Comme \(6 > 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \((x + 1)(x – 2)\). C’est un trinôme de coefficient \(a = 1 > 0\), de racines \(-1\) et \(2\), donc positif à l’extérieur des racines.
   

   \(x\)	\(-3\)		\(-1\)		\(2\)		\(4\)
   signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)

   Ainsi, \(f^{\prime}(x) > 0\) sur \([-3\,;-1[\) et sur \(]2\,;4]\), \(f^{\prime}(x) < 0\) sur \(]-1\,;2[\).

3. \(f(-3) = -54 – 27 + 36 + 5 = -40\) ; \(f(-1) = -2 – 3 + 12 + 5 = 12\) ;

   \(f(2) = 16 – 12 – 24 + 5 = -15\) ; \(f(4) = 128 – 48 – 48 + 5 = 37\).

   \(x\)	\(-3\)		\(-1\)		\(2\)		\(4\)
   signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)
   variations de \(f\)	\(-40\)	↗	\(12\)	↘	\(-15\)	↗	\(37\)

4. Donc \(f\) admet un maximum local égal à 12, atteint en \(x = -1\). De plus, \(f\) admet un minimum local égal à \(-15\), atteint en \(x = 2\). (Sur tout l’intervalle, le maximum est \(37\) en \(4\) et le minimum \(-40\) en \(-3\).)

Question e : nombre de solutions de f(x) = 0

5. Sur \([-3\,;-1]\), \(f\) est strictement croissante de \(-40\) à \(12\) : elle prend donc la valeur 0 une seule fois.

   Ensuite, sur \([-1\,;2]\), \(f\) est strictement décroissante de \(12\) à \(-15\) : elle prend donc la valeur 0 une seule fois.

   Enfin, sur \([2\,;4]\), \(f\) est strictement croissante de \(-15\) à \(37\) : elle prend donc la valeur 0 une seule fois.

   Ainsi, l’équation \(f(x) = 0\) a exactement trois solutions sur \([-3\,;4]\).

Barème : a) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour la factorisation. Puis b) 1 point. Ensuite, c) 0,5 point pour les flèches, 1 point pour les quatre valeurs. Puis d) 0,5 point. Enfin, e) 0,5 point pour le raisonnement sur chaque intervalle, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 3 : Une fonction rationnelle et une inégalité (4 points)

1. \(g^{\prime}(x) = 1 + 4 \times (-\dfrac{1}{x^2}) = 1 – \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 – 4}{x^2}\).

   Puis, avec l’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) : \(g^{\prime}(x) = \dfrac{(x – 2)(x + 2)}{x^2}\).

2. Sur \([\dfrac{1}{2}\,;8]\), \(x + 2 > 0\) et \(x^2 > 0\). Donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 2\).

   \(g(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{2} + 8 = \dfrac{17}{2}\) ; \(g(2) = 2 + 2 = 4\) ; \(g(8) = 8 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{2}\).

   \(x\)	\(\frac{1}{2}\)		\(2\)		\(8\)
   signe de \(g^{\prime}(x)\)		\(-\)	0	\(+\)
   variations de \(g\)	\(\frac{17}{2}\)	↘	\(4\)	↗	\(\frac{17}{2}\)

   Ainsi, \(g\) est décroissante sur \([\dfrac{1}{2}\,;2]\) et croissante sur \([2\,;8]\).

3. D’après le tableau, le minimum de \(g\) sur \([\dfrac{1}{2}\,;8]\) vaut \(4\), atteint en \(x = 2\). Donc, pour tout \(x\) de cet intervalle, \(g(x) \geq\, 4\).

   Pour tout \(x\) de \([\dfrac{1}{2}\,;8]\), \(x + \dfrac{4}{x} \geq\, 4\), avec égalité seulement pour \(x = 2\).

Erreur fréquente : dériver \(\frac{4}{x}\) en \(\frac{4}{x^2}\) en oubliant le signe moins.

Barème : a) 1 point pour la dérivée, 0,5 point pour la factorisation. Puis b) 0,5 point pour le signe, 1 point pour le tableau avec les valeurs. Enfin, c) 0,5 point pour le minimum, 0,5 point pour la conclusion et le cas d’égalité.

Exercice 4 : Parité de fonctions (3 points)

1. \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout réel \(x\), \(u(-x) = (-x)^4 – 3(-x)^2 + 1 = x^4 – 3x^2 + 1 = u(x)\). Donc \(u\) est paire.
2. \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. Ensuite, pour tout réel \(x\), \(w(-x) = (-x)^3 – 5(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 – 5x) = -w(x)\). Ainsi, \(w\) est impaire.
3. \(k(1) = 2\) et \(k(-1) = 1 – 1 = 0\). Comme \(k(-1) \neq k(1)\), \(k\) n’est pas paire. De plus, comme \(k(-1) \neq -k(1)\), \(k\) n’est pas impaire. \(k\) n’est donc ni paire ni impaire.
4. La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On complète donc la courbe par cette symétrie. \(p(-2) = p(2) = 3\).

   

Erreur fréquente : en c), conclure « ni paire ni impaire » sans donner de contre-exemple chiffré.

Barème : a) 0,5 point pour le calcul de \(u(-x)\), 0,5 point pour la conclusion. Puis b) 0,5 point pour le calcul de \(w(-x)\), 0,5 point pour la conclusion. Ensuite, c) 0,5 point avec le contre-exemple. Enfin, d) 0,25 point pour la symétrie, 0,25 point pour \(p(-2)\).

Exercice 5 : Concentration d’un médicament (5 points)

1. On pose \(u(t) = 10t\) et \(v(t) = t^2 + 4\), qui ne s’annule pas. Alors \(u^{\prime}(t) = 10\) et \(v^{\prime}(t) = 2t\).

   \(C^{\prime}(t) = \dfrac{10(t^2 + 4) – 10t \times 2t}{(t^2 + 4)^2} = \dfrac{10t^2 + 40 – 20t^2}{(t^2 + 4)^2} = \dfrac{40 – 10t^2}{(t^2 + 4)^2} = \dfrac{10(4 – t^2)}{(t^2 + 4)^2}\).

   Enfin, comme \(4 – t^2 = (2 – t)(2 + t)\) : \(C^{\prime}(t) = \dfrac{10(2 – t)(2 + t)}{(t^2 + 4)^2}\).

2. Sur \([0\,;10]\), \(10 > 0\), \(2 + t > 0\) et \((t^2 + 4)^2 > 0\). Donc \(C^{\prime}(t)\) a le signe de \(2 – t\).

   \(C(0) = 0\) ; \(C(2) = \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}\) ; \(C(10) = \dfrac{100}{104} = \dfrac{25}{26}\).

   \(t\)	\(0\)		\(2\)		\(10\)
   signe de \(C^{\prime}(t)\)		\(+\)	0	\(-\)
   variations de \(C\)	\(0\)	↗	\(\frac{5}{2}\)	↘	\(\frac{25}{26}\)

3. La concentration est donc maximale 2 heures après l’injection ; elle vaut alors \(2{,}5\) mg/L.

Questions d et e : résoudre C(t) = 1 et C(t) ≥ 2

4. \(\dfrac{25}{26} \approx 0{,}96\), donc \(1\) est compris entre \(\dfrac{25}{26}\) et \(\dfrac{5}{2}\), et aussi entre \(0\) et \(\dfrac{5}{2}\).

   D’abord, sur \([0\,;2]\), \(C\) est strictement croissante de \(0\) à \(2{,}5\) : une solution. Ensuite, sur \([2\,;10]\), \(C\) est strictement décroissante de \(2{,}5\) à environ \(0{,}96\) : une solution.

   Ainsi, l’équation \(C(t) = 1\) a deux solutions sur \([0\,;10]\).

5. Comme \(t^2 + 4 > 0\), \(C(t) \geq\, 2\) équivaut à \(10t \geq\, 2(t^2 + 4)\). Cela donne \(2t^2 – 10t + 8 \leq\, 0\), soit \(t^2 – 5t + 4 \leq\, 0\).

   Alors \(\Delta = 25 – 16 = 9\), racines \(t = \dfrac{5 – 3}{2} = 1\) et \(t = \dfrac{5 + 3}{2} = 4\). Or le trinôme, de coefficient \(a = 1 > 0\), est négatif ou nul entre ses racines.

   Donc \(C(t) \geq\, 2\) pour \(t \in [1\,;4]\). Le médicament est efficace de 1 h à 4 h après l’injection, soit pendant 3 heures.

Erreur fréquente : en e), multiplier par \(t^2 + 4\) sans vérifier son signe. Ici, il est strictement positif, donc le sens de l’inégalité ne change pas.

Barème : a) 0,5 point pour \(u\), \(v\) et leurs dérivées, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la factorisation. Puis b) 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour le tableau avec les valeurs exactes. Ensuite, c) 0,5 point ; d) 0,5 point. Enfin, e) 0,5 point pour la transformation, 0,5 point pour les racines, 0,5 point pour la solution et la durée.

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