Contrôle de maths 1ère : forme canonique et équations du second degré

Exercice 1 : Lire un trinôme (4 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

1. On considère \(f(x) = 2(x – 3)^2 + 1\). Écrire \(f(x)\) sous forme développée. (1 point)
2. On considère \(g(x) = -(x + 2)^2 + 5\). Donner les coordonnées du sommet de sa parabole et préciser s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum de \(g\). (1 point)
3. On considère \(h(x) = 3(x – 1)(x + 4)\). Donner, sans calcul, les solutions de l’équation \(h(x) = 0\). (1 point)
4. Calculer le discriminant du trinôme \(2x^2 – 3x + 5\). Combien l’équation \(2x^2 – 3x + 5 = 0\) a-t-elle de solutions réelles ? (1 point)

Exercice 2 : Vers la forme canonique (4 points)

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), \(x^2 – 6x + 5 = (x – 3)^2 – 4\). (1,5 point)
2. En déduire une forme factorisée de \(x^2 – 6x + 5\). (1 point)
3. Écrire \(k(x) = 2x^2 + 8x – 10\) sous forme canonique. (1 point)
4. À l’aide de la question précédente, résoudre l’équation \(k(x) = 0\) sans calculer de discriminant. (0,5 point)

Exercice 3 : Résoudre des équations (5 points)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes. Donner les solutions sous forme exacte et simplifiée.

1. \(x^2 + 2x – 15 = 0\) (1,5 point)
2. \(2x^2 – 4x – 1 = 0\) (1,5 point)
3. \(9x^2 – 12x + 4 = 0\) (1 point)
4. \(x^2 + x + 3 = 0\) (1 point)

Exercice 4 : Une parabole à identifier (3 points)

La parabole \(\mathcal{P}\) ci-dessous représente une fonction polynôme du second degré \(p\), définie sur \(\mathbb{R}\). Les points de \(\mathcal{P}\) dont on a besoin ont des coordonnées entières, lisibles sur le quadrillage.

1. Lire les coordonnées du sommet de \(\mathcal{P}\) et les solutions de l’équation \(p(x) = 0\). (1 point)
2. On admet que \(p(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta\). Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\), puis calculer \(a\) à l’aide du point d’intersection de \(\mathcal{P}\) avec l’axe des ordonnées. En déduire la forme canonique et la forme factorisée de \(p(x)\). (1 point)
3. Développer les deux formes obtenues et vérifier qu’elles donnent la même expression. (1 point)

Exercice 5 : Somme et produit des racines (4 points)

On rappelle que, si un trinôme \(ax^2 + bx + c\) a deux racines \(x_1\) et \(x_2\), alors \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) et \(x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\).

1. On considère l’équation \(3x^2 + 5x – 8 = 0\).
   • Vérifier que 1 est une racine évidente. (0,5 point)
   • À l’aide du produit des racines, déterminer l’autre solution sans calculer le discriminant. (1 point)
   • Vérifier le résultat avec la somme des racines. (0,5 point)
2. Inès veut découper un rectangle de carton de périmètre 14 cm et d’aire \(10\text{ cm}^2\). On note \(L\) et \(\ell\) sa longueur et sa largeur.
   • Justifier que \(L + \ell = 7\) et \(L \times \ell = 10\), puis que \(L\) et \(\ell\) sont les solutions de l’équation \(x^2 – 7x + 10 = 0\). (1 point)
   • Résoudre cette équation et donner les dimensions du rectangle. (1 point)

Réviser avant le contrôle : forme canonique et équations du second degré

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Equations et inéquations du second degré » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les équations et inéquations du second degré.

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