Corrigé du contrôle de maths 2de : vecteurs et équations de droites

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(\vec{u} + \vec{v}(2 – 1\,;-3 + 5)\). Réponse : \(\vec{u} + \vec{v}(1\,;2)\).
2. \(\vec{AB}(4 – 1\,;-1 – 2)\). Réponse : \(\vec{AB}(3\,;-3)\).
3. \((\frac{-2 + 4}{2}\,;\frac{5 + 1}{2})\). Réponse : le milieu a pour coordonnées \((1\,;3)\).
4. \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 – 3 \times 4 = 0\). Oui, ils sont colinéaires (d’ailleurs \(\vec{v} = 2\vec{u}\)).
5. Coefficient directeur \(-2\), ordonnée à l’origine \(5\).
6. Pour une droite d’équation \(ax + by + c = 0\), le vecteur de coordonnées \((-b\,;a)\) est directeur. Réponse : \(\vec{u}(2\,;3)\).
7. \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\), donc \(\vec{AB} + \vec{BC} – \vec{AC} = \vec{AC} – \vec{AC}\). Réponse : \(\vec{0}\).
8. \(3 \times 2 – 5 = 1\), qui est bien l’ordonnée de \(M\). Oui, \(M\) appartient à la droite.

Barème : 0,5 point par réponse exacte ; à la question e, 0,25 point par nombre.

Exercice 2 : Relation de Chasles dans un parallélogramme (3 points)

1. D’après la relation de Chasles, \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
2. \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\vec{DC} = \vec{AB}\). Ainsi \(\vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DA} + \vec{AB}\), et d’après la relation de Chasles, \(\vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DB}\).
3. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc \(O\) est le milieu de \([AC]\) et \(\vec{OC} = -\vec{OA}\). \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\).
4. Soit \(M\) un point du plan. D’après la relation de Chasles :
   \(\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MO} + \vec{OA} + \vec{MO} + \vec{OC} = 2\vec{MO} + (\vec{OA} + \vec{OC}) = 2\vec{MO}\), d’après la question c.
   De même, \(O\) est le milieu de \([BD]\), donc \(\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}\) et :
   \(\vec{MB} + \vec{MD} = \vec{MO} + \vec{OB} + \vec{MO} + \vec{OD} = 2\vec{MO}\).
   Les deux sommes sont égales à \(2\vec{MO}\), donc \(\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}\) pour tout point \(M\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,25 point pour \(\vec{DC} = \vec{AB}\), 0,25 point pour le résultat ; c) 0,25 point pour la propriété des diagonales, 0,25 point pour le résultat ; d) 0,75 point pour le premier calcul, 0,5 point pour le second, 0,25 point pour la conclusion.

Exercice 3 : Points dans un repère (5 points)

1. \(\vec{AB}(4 – (-2)\,;3 – 1)\), soit \(\vec{AB}(6\,;2)\), et \(\vec{AC}(3 – (-2)\,;-2 – 1)\), soit \(\vec{AC}(5\,;-3)\).
2. \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AB} = \vec{DC}\). En notant \(D(x\,;y)\), on a \(\vec{DC}(3 – x\,;-2 – y)\), d’où \(3 – x = 6\) et \(-2 – y = 2\), soit \(x = -3\) et \(y = -4\). \(D(-3\,;-4)\).
3. \(K(\frac{-2 + 3}{2}\,;\frac{1 + (-2)}{2})\), soit \(K(0{,}5\,;-0{,}5)\).
   Milieu de \([BD]\) : \((\frac{4 + (-3)}{2}\,;\frac{3 + (-4)}{2}) = (0{,}5\,;-0{,}5)\). C’est bien le point \(K\) : les diagonales de \(ABCD\) ont le même milieu, ce qui confirme que \(ABCD\) est un parallélogramme.
4. \(\vec{AE}(7 – (-2)\,;4 – 1)\), soit \(\vec{AE}(9\,;3)\).
   \(\det(\vec{AB}, \vec{AE}) = 6 \times 3 – 2 \times 9 = 18 – 18 = 0\).
   Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AE}\) sont colinéaires et ont le point \(A\) en commun. Les points \(A\), \(B\) et \(E\) sont alignés.
5. Le repère est orthonormé : \(AB = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10}\). \(AB = 2\sqrt{10}\) unités de longueur.

Erreur fréquente : écrire \(\vec{AB} = \vec{CD}\) pour le parallélogramme \(ABCD\) : on obtiendrait alors le parallélogramme \(ABDC\), et non \(ABCD\).

Barème : a) 0,5 point par vecteur ; b) 0,5 point pour l’égalité de vecteurs, 0,5 point pour les coordonnées ; c) 0,5 point pour \(K\), 0,5 point pour la vérification ; d) 0,25 point pour \(\vec{AE}\), 0,5 point pour le déterminant, 0,25 point pour la conclusion ; e) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la forme simplifiée.

Exercice 4 : Équations de droites (4 points)

1. Soit \(M(x\,;y)\). \(M\) appartient à \((AB)\) si et seulement si \(\vec{AM}(x + 2\,;y – 1)\) et \(\vec{AB}(6\,;2)\) sont colinéaires, c’est-à-dire :
   \(\det(\vec{AM}, \vec{AB}) = (x + 2) \times 2 – (y – 1) \times 6 = 0\)
   \(2x + 4 – 6y + 6 = 0\), soit \(2x – 6y + 10 = 0\).
   En divisant par 2 : \(x – 3y + 5 = 0\) est une équation cartésienne de \((AB)\).
2. \(x – 3y + 5 = 0\) équivaut à \(3y = x + 5\), soit \(y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\).
3. \(M(x\,;y)\) appartient à \(d\) si et seulement si \(\vec{CM}(x – 3\,;y + 2)\) et \(\vec{w}(1\,;-2)\) sont colinéaires :
   \((x – 3) \times (-2) – (y + 2) \times 1 = 0\), soit \(-2x + 6 – y – 2 = 0\), soit \(-2x – y + 4 = 0\).
   Une équation cartésienne de \(d\) est \(2x + y – 4 = 0\) et son équation réduite est \(y = -2x + 4\).
4. Les coordonnées de \(I\) vérifient les deux équations : \(x – 3y + 5 = 0\) et \(y = -2x + 4\).
   Par substitution : \(x – 3(-2x + 4) + 5 = 0\), soit \(x + 6x – 12 + 5 = 0\), soit \(7x = 7\), donc \(x = 1\).
   Puis \(y = -2 \times 1 + 4 = 2\).
   Vérification dans la première équation : \(1 – 3 \times 2 + 5 = 0\).
   Les droites \((AB)\) et \(d\) se coupent en \(I(1\,;2)\).

Barème : a) 0,5 point pour la condition de colinéarité, 0,5 point pour le calcul, 0,25 point pour la simplification ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour l’équation cartésienne, 0,5 point pour l’équation réduite ; d) 0,75 point pour la résolution, 0,5 point pour les coordonnées de \(I\).

Exercice 5 : Parallélisme et alignement (4 points)

1. \(\Delta\) est parallèle à \((AB)\), donc \(\vec{AB}(6\,;2)\) est un vecteur directeur de \(\Delta\) : elle a une équation de la forme \(x – 3y + c = 0\), comme \((AB)\).
   \(C \in \Delta\), donc \(3 – 3 \times (-2) + c = 0\), soit \(9 + c = 0\) et \(c = -9\).
   Une équation cartésienne de \(\Delta\) est \(x – 3y – 9 = 0\).
2. \(H\) est sur l’axe des abscisses, donc \(y = 0\) et \(x – 9 = 0\). \(H(9\,;0)\).
3. \(\vec{AC}(5\,;-3)\) et \(\vec{AP}(13 – (-2)\,;y – 1)\), soit \(\vec{AP}(15\,;y – 1)\).
   \(A\), \(C\), \(P\) sont alignés si et seulement si \(\det(\vec{AC}, \vec{AP}) = 0\) :
   \(5(y – 1) – (-3) \times 15 = 0\), soit \(5y – 5 + 45 = 0\), soit \(5y = -40\).
   \(y = -8\) : le point \(P(13\,;-8)\) est aligné avec \(A\) et \(C\).
4. \(\vec{AC}(5\,;-3)\) et \(\vec{BH}(9 – 4\,;0 – 3)\), soit \(\vec{BH}(5\,;-3)\). Donc \(\vec{AC} = \vec{BH}\).
   De plus, \(A\), \(C\) et \(B\) ne sont pas alignés car \(\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 6 \times (-3) – 2 \times 5 = -28 \neq 0\).
   Comme \(\vec{AC} = \vec{BH}\), le quadrilatère \(ACHB\) est un parallélogramme. On retrouve que \((CH)\), c’est-à-dire \(\Delta\), est parallèle à \((AB)\).

Erreur fréquente : se tromper dans l’ordre des sommets : \(\vec{AC} = \vec{BH}\) donne le parallélogramme \(ACHB\) (et non \(ACBH\)).

Barème : a) 0,5 point pour la forme de l’équation, 0,5 point pour \(c = -9\) ; b) 0,5 point ; c) 0,25 point pour \(\vec{AP}\), 0,5 point pour la condition, 0,5 point pour \(y = -8\) ; d) 0,5 point pour les deux vecteurs, 0,25 point pour les points non alignés, 0,5 point pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : vecteurs et équations de droites

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