Contrôle de maths 2de : probabilités sur un univers fini

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Exercice 1 sans calculatrice. Calculatrice autorisée, en revanche, pour les exercices 2 à 6.

Donne donc directement la réponse, sans justification sauf à la question h.

1. On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Quelle est alors la probabilité d’obtenir un multiple de 3 ? (0,5 point)
2. On sait que \(P(A) = 0{,}27\). Donne ensuite \(P(\overline{A})\). (0,5 point)
3. Écris la fraction \(\frac{3}{8}\) sous forme décimale. (0,5 point)
4. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, puis on note les deux faces obtenues dans l’ordre. Combien l’univers compte-t-il donc d’issues ? (0,5 point)
5. On donne \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Calcule alors \(P(A \cup B)\). (0,5 point)
6. Les événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles, avec \(P(A) = 0{,}3\) et \(P(B) = 0{,}25\). Calcule donc \(P(A \cup B)\). (0,5 point)
7. Une urne contient 4 boules rouges, 6 boules noires et 10 boules blanches, indiscernables au toucher. Puis on tire une boule au hasard. Quelle est ainsi la probabilité qu’elle ne soit pas blanche ? (0,5 point)
8. Enfin, une probabilité peut-elle être égale à \(\frac{4}{3}\) ? Justifie en une phrase. (0,5 point)

Exercice 2 : La roue de la fête foraine (3 points)

Sur un stand de fête foraine, on fait tourner une roue partagée en secteurs rouges, bleus, verts et jaunes. Puis, quand la roue s’arrête, on note la couleur du secteur désigné par la flèche. Ainsi, la loi de probabilité de cette expérience est donnée par le tableau suivant, dans lequel deux valeurs manquent.

On sait de plus que la probabilité d’obtenir le jaune est le double de celle d’obtenir le rouge.

1. Calcule d’abord la probabilité d’obtenir le jaune, puis celle d’obtenir le vert. (1 point)
2. Y a-t-il donc équiprobabilité entre les quatre couleurs ? Justifie. (0,5 point)
3. Le joueur gagne un lot s’il obtient le rouge ou le jaune. Calcule alors la probabilité qu’il gagne un lot. (0,5 point)
4. On note ensuite \(E\) l’événement « la roue ne s’arrête pas sur le bleu ». Calcule \(P(E)\). (0,5 point)
5. Enfin, la roue est en réalité partagée en 20 secteurs identiques. Combien de secteurs sont donc verts ? (0,5 point)

Exercice 3 : L’écart entre deux dés (4 points)

Inès lance deux dés équilibrés à six faces, l’un rouge et l’autre bleu. Puis elle note l’écart entre les deux résultats, c’est-à-dire le plus grand nombre moins le plus petit. Ainsi, l’écart vaut 0 si les deux nombres sont égaux.

1. Recopie d’abord et complète ce tableau à double entrée. (1 point)
2. Combien d’issues compte donc cette expérience ? Pourquoi sont-elles équiprobables ? (0,5 point)
3. Calcule ensuite la probabilité que l’écart soit égal à 0. (0,5 point)
4. De même, calcule la probabilité que l’écart soit égal à 1. (0,5 point)
5. Donne alors, sous forme d’un tableau, la loi de probabilité de l’écart. (0,75 point)
6. Enfin, calcule la probabilité que l’écart soit supérieur ou égal à 3. (0,75 point)

Exercice 4 : Une carte tirée au hasard (3,5 points)

Un jeu de 32 cartes comporte quatre couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle). Dans chaque couleur, il y a donc huit cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as. De plus, le valet, la dame et le roi sont appelés des figures. Hugo tire alors une carte au hasard dans ce jeu. On considère les événements :

• \(A\) : « la carte tirée est un cœur » ;
• \(B\) : « la carte tirée est une figure ».

1. Calcule d’abord \(P(A)\) et \(P(B)\). (1 point)
2. Décris par une phrase l’événement \(A \cap B\), puis calcule sa probabilité. (0,75 point)
3. Calcule ensuite \(P(A \cup B)\). (1 point)
4. Enfin, décris par une phrase l’événement contraire de \(A \cup B\), puis calcule sa probabilité. (0,75 point)

Exercice 5 : Trois lettres dans un sac (3 points)

Un sac contient trois jetons indiscernables au toucher, portant les lettres N, O et S. Maël tire les trois jetons l’un après l’autre, sans remise. Puis il les aligne dans l’ordre du tirage pour former un « mot » de trois lettres (qui n’a pas forcément de sens). Il a ainsi commencé l’arbre ci-dessous.

1. Recopie et complète l’arbre, puis écris la liste de toutes les issues. (1,25 point)
2. Calcule alors la probabilité que Maël forme le mot « SON ». (0,5 point)
3. Calcule ensuite la probabilité que le mot commence par une consonne. (0,5 point)
4. Enfin, calcule la probabilité que la lettre O soit au milieu du mot. (0,75 point)

Exercice 6 : Simuler en Python (2,5 points)

Cet exercice reprend les deux dés de l’exercice 3. Par ailleurs, randint(1, 6) renvoie un entier au hasard entre 1 et 6 (1 et 6 compris). Soit alors le programme suivant.

from random import randint

def experience():
    d1 = randint(1, 6)
    d2 = randint(1, 6)
    if d1 == d2:
        return 1
    else:
        return 0

def frequence(n):
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + experience()
    return s / n

1. Explique d’abord ce que simule la fonction experience et dans quel cas elle renvoie 1. (0,75 point)
2. Que représente donc la valeur renvoyée par frequence(n) ? (0,5 point)
3. L’appel frequence(10000) a renvoyé \(0{,}1683\). Compare alors cette valeur à la probabilité calculée dans l’exercice 3 et commente. (0,75 point)
4. Enfin, quelle ligne faut-il modifier, et comment, pour estimer la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 7 ? (0,5 point)

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