Corrigé du contrôle de maths 2de : probabilités sur un univers fini

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. Les multiples de 3 entre 1 et 6 sont 3 et 6 : 2 issues favorables sur 6 équiprobables. \(P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Réponse : \(\frac{1}{3}\).
2. \(P(\overline{A}) = 1 – 0{,}27 = 0{,}73\). Réponse : \(0{,}73\).
3. \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\). Réponse : \(0{,}375\).
4. L’univers est {PP ; PF ; FP ; FF}. Réponse : 4 issues.
5. \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 – 0{,}2 = 0{,}7\). Réponse : \(0{,}7\).
6. \(A\) et \(B\) sont incompatibles, donc \(P(A \cap B) = 0\) et \(P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}25 = 0{,}55\). Réponse : \(0{,}55\).
7. L’urne contient \(4 + 6 + 10 = 20\) boules, dont \(4 + 6 = 10\) ne sont pas blanches. \(P = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). Réponse : \(\frac{1}{2}\).
8. Non : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1, or \(\frac{4}{3} > 1\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte ; à la question h, la justification est exigée pour le point.

Exercice 2 : La roue de la fête foraine (3 points)

1. La probabilité d’obtenir le jaune est le double de celle du rouge : \(P(J) = 2 \times 0{,}15 = 0{,}30\).
   La somme des probabilités d’une loi vaut 1, donc \(P(V) = 1 – (0{,}15 + 0{,}35 + 0{,}30) = 1 – 0{,}80 = 0{,}20\).
   La probabilité d’obtenir le jaune est \(0{,}30\) et celle d’obtenir le vert est \(0{,}20\).
2. S’il y avait équiprobabilité, chaque couleur aurait la probabilité \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). Or \(P(R) = 0{,}15 \neq 0{,}25\). Il n’y a pas équiprobabilité entre les couleurs.
3. Les issues « rouge » et « jaune » sont distinctes, on additionne leurs probabilités : \(0{,}15 + 0{,}30 = 0{,}45\). La probabilité de gagner un lot est \(0{,}45\).
4. \(E\) est l’événement contraire de « obtenir le bleu » : \(P(E) = 1 – 0{,}35 = 0{,}65\). \(P(E) = 0{,}65\).
5. Les 20 secteurs sont identiques, donc équiprobables : le nombre de secteurs verts est \(0{,}20 \times 20 = 4\). La roue compte 4 secteurs verts. (On vérifie : 3 rouges, 7 bleus, 4 verts et 6 jaunes, soit 20 secteurs.)

Barème : a) 0,5 point pour le jaune, 0,5 point pour le vert avec la somme égale à 1 ; b) 0,5 point avec justification ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point.

Exercice 3 : L’écart entre deux dés (4 points)

1. Tableau complété :
   

   Dé rouge / Dé bleu	1	2	3	4	5	6
   1	0	1	2	3	4	5
   2	1	0	1	2	3	4
   3	2	1	0	1	2	3
   4	3	2	1	0	1	2
   5	4	3	2	1	0	1
   6	5	4	3	2	1	0

2. Le tableau compte \(6 \times 6 = 36\) cases. Les dés sont équilibrés et on distingue le dé rouge du dé bleu, donc les 36 couples de résultats sont équiprobables.
3. On note \(X\) l’écart. Il vaut 0 dans les 6 cases de la diagonale : \(P(X = 0) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). La probabilité est \(\frac{1}{6}\).
4. L’écart \(X\) vaut 1 dans 10 cases : \(P(X = 1) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\). La probabilité est \(\frac{5}{18}\).
5. On compte les cases pour chaque valeur (6, 10, 8, 6, 4 et 2 cases, soit 36 au total) :
   

   Écart	0	1	2	3	4	5
   Probabilité	\(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)	\(\frac{10}{36} = \frac{5}{18}\)	\(\frac{8}{36} = \frac{2}{9}\)	\(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)	\(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)

   La somme des probabilités vaut bien \(\frac{36}{36} = 1\).

6. \(P(X \geq\, 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = \frac{6 + 4 + 2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). La probabilité que l’écart soit au moins 3 est \(\frac{1}{3}\).

Erreur fréquente : compter 21 issues en confondant (2 ; 5) et (5 ; 2) ; ces issues ne sont alors plus équiprobables.

Barème : a) 1 point (0,5 point si une ou deux erreurs) ; b) 0,25 point pour 36, 0,25 point pour la justification ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point ; e) 0,75 point (0,5 point pour les effectifs, 0,25 point pour les fractions) ; f) 0,5 point pour la méthode, 0,25 point pour le résultat.

Exercice 4 : Une carte tirée au hasard (3,5 points)

1. Le tirage se fait au hasard : les 32 cartes sont équiprobables. Il y a 8 cœurs, donc \(P(A) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\). Il y a 3 figures dans chacune des 4 couleurs, soit 12 figures, donc \(P(B) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}\). \(P(A) = \frac{1}{4}\) et \(P(B) = \frac{3}{8}\).
2. \(A \cap B\) : « la carte tirée est une figure de cœur », c’est-à-dire le valet, la dame ou le roi de cœur. \(P(A \cap B) = \frac{3}{32}\).
3. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{8}{32} + \frac{12}{32} – \frac{3}{32} = \frac{17}{32}\). \(P(A \cup B) = \frac{17}{32}\).
4. L’événement contraire de \(A \cup B\) est : « la carte tirée n’est ni un cœur ni une figure ». Sa probabilité vaut \(1 – \frac{17}{32} = \frac{15}{32}\). La probabilité est \(\frac{15}{32}\). (Vérification : il y a 5 cartes non figures dans chacune des 3 autres couleurs, soit 15 cartes.)

Erreur fréquente : écrire \(P(A \cup B) = \frac{8}{32} + \frac{12}{32} = \frac{20}{32}\) : les trois figures de cœur sont alors comptées deux fois.

Barème : a) 0,5 point par probabilité ; b) 0,25 point pour la phrase, 0,5 point pour la probabilité ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,25 point pour la phrase, 0,5 point pour la probabilité.

Exercice 5 : Trois lettres dans un sac (3 points)

1. Arbre complété : après chaque première lettre, il reste deux lettres possibles, puis une seule.

   

   L’univers compte 6 issues : NOS, NSO, ONS, OSN, SNO, SON. Les tirages se font au hasard, donc ces 6 issues sont équiprobables.

2. Une seule issue donne « SON » : \(P = \frac{1}{6}\).
3. Le mot commence par N ou par S dans 4 issues (NOS, NSO, SNO, SON) : \(P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). La probabilité est \(\frac{2}{3}\).
4. La lettre O est au milieu dans NOS et SON, soit 2 issues : \(P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). La probabilité est \(\frac{1}{3}\).

Barème : a) 0,75 point pour l’arbre, 0,5 point pour la liste des 6 issues ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point ; d) 0,25 point pour les issues favorables, 0,5 point pour la probabilité.

Exercice 6 : Simuler en Python (2,5 points)

1. La fonction experience simule le lancer des deux dés : d1 et d2 sont deux entiers au hasard entre 1 et 6. Elle renvoie 1 lorsque les deux dés donnent le même nombre (écart nul), et 0 sinon.
2. La variable s compte le nombre de doubles obtenus sur \(n\) lancers simulés, puis on divise par \(n\). frequence(n) renvoie la fréquence d’apparition d’un double sur \(n\) lancers.
3. D’après l’exercice 3, la probabilité d’obtenir un écart nul est \(\frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). La fréquence observée \(0{,}1683\) en diffère de moins de \(0{,}002\). Sur un grand nombre de lancers, la fréquence observée est proche de la probabilité théorique, ce qui confirme le résultat de l’exercice 3.
4. Il faut modifier le test : remplacer if d1 == d2: par if d1 + d2 == 7:.

Barème : a) 0,25 point pour le lancer des deux dés, 0,5 point pour le cas où la fonction renvoie 1 ; b) 0,5 point ; c) 0,25 point pour la valeur \(\frac{1}{6}\), 0,5 point pour le commentaire ; d) 0,5 point.

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Après le corrigé du contrôle : probabilités sur un univers fini

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