Contrôle de maths 4ème : théorèmes de Pythagore et de Thalès

Exercice 1 : Calculer avec Pythagore (4 points)

Calculatrice autorisée. Dans tout le contrôle, cite la propriété utilisée à chaque étape.

(Les figures ne sont pas à l’échelle.)

1. Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), avec \(RS = 9\text{ cm}\) et \(ST = 12\text{ cm}\). Calcule \(RT\). (2 points)
2. Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\), avec \(KL = 7\text{ cm}\) et \(KM = 10\text{ cm}\). Calcule \(LM\), arrondie au millimètre. (2 points)

Exercice 2 : Triangle rectangle ou pas ? (3 points)

1. Le triangle \(EFG\) est tel que \(EF = 20\text{ cm}\), \(FG = 21\text{ cm}\) et \(EG = 29\text{ cm}\). Est-il rectangle ? Si oui, précise en quel sommet. (1,5 point)
2. Le triangle \(UVW\) est tel que \(UV = 8\text{ cm}\), \(VW = 11\text{ cm}\) et \(UW = 14\text{ cm}\). Est-il rectangle ? (1,5 point)

Exercice 3 : Triangles emboîtés (5 points)

Dans le triangle \(ABC\), le point \(M\) est sur le segment \([AB]\) et le point \(N\) sur le segment \([AC]\). Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. On donne \(AM = 4\text{ cm}\), \(AB = 10\text{ cm}\), \(AC = 9\text{ cm}\) et \(BC = 12\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Écris les trois quotients égaux donnés par le théorème de Thalès, en justifiant qu’on peut l’appliquer. (1 point)
2. Calcule \(AN\). (1,5 point)
3. Calcule \(MN\). (1,5 point)
4. Déduis-en la longueur \(NC\). (1 point)

Exercice 4 : Droites parallèles ou pas ? (3 points)

Sur la figure, les points \(O\), \(R\), \(P\) sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points \(O\), \(S\), \(T\), \(Q\). On donne \(OR = 3\text{ cm}\), \(OP = 7{,}5\text{ cm}\), \(OS = 4\text{ cm}\), \(OT = 4{,}5\text{ cm}\) et \(OQ = 10\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Démontre que les droites \((RS)\) et \((PQ)\) sont parallèles. (2 points)
2. Les droites \((RT)\) et \((PQ)\) sont-elles parallèles ? Justifie. (1 point)

Exercice 5 : Problème : la charpente (5 points)

Voici le schéma de la moitié gauche d’une charpente de toit. Le poinçon \([AB]\) est vertical et la poutre \([BC]\) est horizontale : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(AB = 2{,}5\text{ m}\) et \(BC = 6\text{ m}\). Une jambe de force \([DE]\) relie la poutre \([BC]\) à l’arbalétrier \([AC]\) ; elle est perpendiculaire à \([BC]\) et \(CE = 2{,}4\text{ m}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule la longueur de l’arbalétrier \([AC]\). (1,5 point)
2. Démontre que les droites \((DE)\) et \((AB)\) sont parallèles. (1 point)
3. Calcule la longueur de la jambe de force \([DE]\). (1,5 point)
4. La charpente complète est symétrique par rapport à la droite \((AB)\) (partie en pointillés). Quelle longueur totale de bois faut-il pour le poinçon, la poutre horizontale complète, les deux arbalétriers et les deux jambes de force ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : théorèmes de Pythagore et de Thalès

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Théorème de Pythagore » en 4ème et « Initiation à la démonstration » en 4ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés théorème de pythagore.

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