Corrigé du contrôle de maths 4ème : théorèmes de Pythagore et de Thalès

Exercice 1 : Calculer avec Pythagore (4 points)

1. Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), donc son hypoténuse est \([RT]\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(RT^2 = RS^2 + ST^2\)
   \(RT^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
   \(RT = \sqrt{225} = 15\).
   \(RT = 15\text{ cm}\).
2. Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\), donc son hypoténuse est \([KM]\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(KM^2 = KL^2 + LM^2\)
   \(10^2 = 7^2 + LM^2\)
   \(LM^2 = 100 – 49 = 51\)
   \(LM = \sqrt{51} \approx 7{,}14\).
   \(LM \approx 7{,}1\text{ cm}\).

Erreur fréquente : dans la question b), additionner \(100 + 49\) : ici on connaît l’hypoténuse, il faut soustraire.

Barème : a) 0,5 point pour l’hypoténuse identifiée et la propriété citée, 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat avec l’unité ; b) même répartition, l’arrondi au millimètre compte dans le résultat.

Exercice 2 : Triangle rectangle ou pas ? (3 points)

1. Le plus grand côté est \([EG]\).
   D’une part : \(EG^2 = 29^2 = 841\).
   D’autre part : \(EF^2 + FG^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\).
   On constate que \(EG^2 = EF^2 + FG^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(EFG\) est rectangle en \(F\) (le sommet opposé au plus grand côté).
2. Le plus grand côté est \([UW]\).
   D’une part : \(UW^2 = 14^2 = 196\).
   D’autre part : \(UV^2 + VW^2 = 8^2 + 11^2 = 64 + 121 = 185\).
   \(196 \neq 185\), donc \(UW^2 \neq UV^2 + VW^2\). Si le triangle était rectangle, l’égalité de Pythagore serait vraie : le triangle \(UVW\) n’est pas rectangle.

Barème : pour chaque triangle, 0,5 point pour les deux calculs séparés, 0,5 point pour la comparaison, 0,5 point pour la conclusion avec la propriété (réciproque ou contraposée) et, en a), le sommet de l’angle droit.

Exercice 3 : Triangles emboîtés (5 points)

1. Les points \(A\), \(M\), \(B\) sont alignés, ainsi que les points \(A\), \(N\), \(C\), et les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).
2. On remplace par les longueurs connues : \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{9} = \dfrac{MN}{12}\).
   \(AN = \dfrac{4 \times 9}{10} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6\).
   \(AN = 3{,}6\text{ cm}\).
3. \(MN = \dfrac{4 \times 12}{10} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8\).
   \(MN = 4{,}8\text{ cm}\).
4. Le point \(N\) est sur le segment \([AC]\), donc \(NC = AC – AN = 9 – 3{,}6 = 5{,}4\).
   \(NC = 5{,}4\text{ cm}\).

Erreur fréquente : écrire \(\dfrac{AM}{MB}\) au lieu de \(\dfrac{AM}{AB}\) : les quotients comparent les côtés du petit triangle \(AMN\) à ceux du grand triangle \(ABC\).

Barème : a) 0,5 point pour les hypothèses, 0,5 point pour les quotients ; b) 0,5 point pour le produit en croix, 1 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour le produit en croix, 1 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour la soustraction justifiée, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 4 : Droites parallèles ou pas ? (3 points)

1. D’une part : \(\dfrac{OR}{OP} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\).
   D’autre part : \(\dfrac{OS}{OQ} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\).
   Donc \(\dfrac{OR}{OP} = \dfrac{OS}{OQ}\). De plus, les points \(O\), \(R\), \(P\) et les points \(O\), \(S\), \(Q\) sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((RS)\) et \((PQ)\) sont parallèles.
2. \(\dfrac{OT}{OQ} = \dfrac{4{,}5}{10} = 0{,}45\) alors que \(\dfrac{OR}{OP} = 0{,}4\).
   Les quotients sont différents. Si les droites \((RT)\) et \((PQ)\) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des quotients égaux : les droites \((RT)\) et \((PQ)\) ne sont pas parallèles.
   On pouvait aussi dire : par \(R\), il ne passe qu’une seule parallèle à \((PQ)\), c’est \((RS)\), et \(T\) n’est pas sur cette droite.

Barème : a) 0,5 point par quotient calculé, 0,5 point pour l’alignement dans le même ordre, 0,5 point pour la conclusion avec la propriété ; b) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion justifiée.

Exercice 5 : Problème : la charpente (5 points)

1. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), d’hypoténuse \([AC]\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2{,}5^2 + 6^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25\)
   \(AC = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5\).
   L’arbalétrier mesure \(6{,}5\text{ m}\).
2. Les droites \((DE)\) et \((AB)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite \((BC)\). Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc \((DE)\) et \((AB)\) sont parallèles.
3. Les points \(C\), \(E\), \(B\) sont alignés, les points \(C\), \(D\), \(A\) sont alignés et \((DE)\) est parallèle à \((AB)\). D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}\), soit \(\dfrac{2{,}4}{6} = \dfrac{CD}{6{,}5} = \dfrac{DE}{2{,}5}\).
   \(DE = \dfrac{2{,}4 \times 2{,}5}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\).
   La jambe de force mesure \(1\text{ m}\).
4. Par symétrie, la poutre complète mesure \(2 \times 6 = 12\text{ m}\) et il y a deux arbalétriers de \(6{,}5\text{ m}\) et deux jambes de force de \(1\text{ m}\).
   \(2{,}5 + 12 + 2 \times 6{,}5 + 2 \times 1 = 2{,}5 + 12 + 13 + 2 = 29{,}5\).
   Il faut \(29{,}5\text{ m}\) de bois au total.

Erreur fréquente : appliquer le théorème de Thalès sans avoir d’abord prouvé que \((DE)\) et \((AB)\) sont parallèles : c’est l’objet de la question b).

Barème : a) 0,5 point pour la propriété citée, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour les deux perpendiculaires, 0,5 point pour la propriété citée ; c) 0,5 point pour les hypothèses et les quotients, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour l’inventaire des pièces, 0,5 point pour le total.

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Après le corrigé du contrôle : théorèmes de Pythagore et de Thalès

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