Contrôle de maths 4ème : prouver qu’un triangle est rectangle

Exercice 1 : Le bon théorème (3 points)

Calculatrice autorisée.

Pour chaque situation, indique la propriété à utiliser (le théorème de Pythagore, sa réciproque ou sa contraposée) et ce qu’elle permet de conclure ou de calculer. Aucun calcul n’est demandé.

1. Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\). On connaît \(RS\) et \(ST\) et on cherche \(RT\). (1 point)
2. On connaît les trois longueurs du triangle \(UVW\), dont le plus grand côté est \([UW]\), et on a trouvé \(UW^2 = UV^2 + VW^2\). (1 point)
3. Dans le triangle \(XYZ\), le plus grand côté est \([XZ]\), et on a trouvé \(XZ^2 \neq XY^2 + YZ^2\). (1 point)

Exercice 2 : Rectangle ou non ? (6 points)

Pour chacun des triangles suivants, dis s’il est rectangle ou non. Justifie ta réponse et, s’il est rectangle, précise en quel sommet.

(Les figures ne sont pas à l’échelle.)

1. Le triangle \(ABC\) tel que \(AB = 12\text{ cm}\), \(BC = 35\text{ cm}\) et \(AC = 37\text{ cm}\). (2 points)
2. Le triangle \(DEF\) tel que \(DE = 7\text{ cm}\), \(EF = 9\text{ cm}\) et \(DF = 11\text{ cm}\). (2 points)
3. Le triangle \(GHI\) tel que \(GH = 4{,}5\text{ cm}\), \(HI = 6\text{ cm}\) et \(GI = 7{,}5\text{ cm}\). (2 points)

Exercice 3 : Avec des nombres décimaux (3 points)

Attention : le plus grand côté n’est pas toujours cité en dernier.

1. Le triangle \(KLM\) est tel que \(KL = 2{,}8\text{ m}\), \(LM = 4{,}5\text{ m}\) et \(KM = 5{,}3\text{ m}\). Ce triangle est-il rectangle ? (1,5 point)
2. Le triangle \(NOP\) est tel que \(NO = 6{,}1\text{ cm}\), \(OP = 1{,}1\text{ cm}\) et \(NP = 6\text{ cm}\). Ce triangle est-il rectangle ? (1,5 point)

Exercice 4 : La corde à 13 nœuds (3 points)

Au Moyen Âge, les bâtisseurs utilisaient une corde fermée portant 13 nœuds régulièrement espacés : elle forme 12 intervalles de même longueur, ici 30 cm. En la tendant, ils obtenaient le triangle \(PQR\) ci-dessous, dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 intervalles.

1. Calcule les longueurs \(PQ\), \(QR\) et \(PR\) en centimètres, puis prouve que le triangle \(PQR\) est rectangle. Précise le sommet de l’angle droit. (1,5 point)
2. Pour vérifier le coin \(O\) d’une terrasse, Samia place un point \(M\) sur un bord et un point \(N\) sur l’autre bord, avec \(OM = 60\text{ cm}\) et \(ON = 80\text{ cm}\). Elle mesure \(MN = 98\text{ cm}\). Le coin de la terrasse est-il un angle droit ? Quelle longueur \(MN\) aurait-elle dû trouver pour un angle droit ? (1,5 point)

Exercice 5 : La charpente (5 points)

La figure ci-dessous représente la ferme d’une charpente. Le point \(D\) appartient au segment \([BC]\) et la poutre \([AD]\) est perpendiculaire à \([BC]\). On donne \(AD = 2{,}4\text{ m}\), \(BD = 1{,}8\text{ m}\) et \(DC = 3{,}2\text{ m}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule la longueur \(AB\). (1,5 point)
2. Calcule la longueur \(AC\). (1,5 point)
3. Le charpentier affirme que les deux pans du toit \([AB]\) et \([AC]\) sont perpendiculaires. A-t-il raison ? Justifie. (2 points)

Réviser avant le contrôle : prouver qu’un triangle est rectangle

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Théorème de Pythagore » en 4ème et « Initiation à la démonstration » en 4ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés théorème de pythagore.

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