Voici le corrigé du contrôle de maths de 4ème sur le thème : prouver qu’un triangle est rectangle.
Voici la correction rédigée de l’évaluation sur la réciproque du théorème de Pythagore. Chaque preuve suit le même modèle : on identifie le plus grand côté, on calcule d’un côté son carré, de l’autre la somme des carrés des deux autres côtés, puis on compare.
Quand les deux résultats sont égaux, la réciproque permet de conclure et de nommer le sommet de l’angle droit, opposé au plus grand côté. Quand ils sont différents, c’est la contraposée qui prouve que le triangle n’est pas rectangle. Le barème détaillé suit chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 4ème : prouver qu’un triangle est rectangle.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Le bon théorème | 3 points |
| Exercice 2 : Rectangle ou non ? | 6 points |
| Exercice 3 : Avec des nombres décimaux | 3 points |
| Exercice 4 : La corde à 13 nœuds | 3 points |
| Exercice 5 : La charpente | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Le bon théorème (3 points)
- On sait que le triangle est rectangle et on cherche une longueur : on utilise le théorème de Pythagore, qui donne \(RT^2 = RS^2 + ST^2\) et permet de calculer l’hypoténuse \(RT\).
- On connaît les trois longueurs et l’égalité est vérifiée : on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Elle permet de conclure que le triangle \(UVW\) est rectangle en \(V\), le sommet opposé au plus grand côté \([UW]\).
- L’égalité n’est pas vérifiée pour le plus grand côté : on utilise la contraposée du théorème de Pythagore. Elle permet de conclure que le triangle \(XYZ\) n’est pas rectangle.
Barème : 1 point par situation : 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour la conclusion (en b, le sommet \(V\) doit être cité).
Exercice 2 : Rectangle ou non ? (6 points)
- Dans le triangle \(ABC\), le plus grand côté est \([AC]\).
D’une part : \(AC^2 = 37^2 = 1\,369\).
D’autre part : \(AB^2 + BC^2 = 12^2 + 35^2 = 144 + 1\,225 = 1\,369\).
On constate que \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). - Dans le triangle \(DEF\), le plus grand côté est \([DF]\).
D’une part : \(DF^2 = 11^2 = 121\).
D’autre part : \(DE^2 + EF^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130\).
On constate que \(DF^2 \neq DE^2 + EF^2\). D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(DEF\) n’est pas rectangle. - Dans le triangle \(GHI\), le plus grand côté est \([GI]\).
D’une part : \(GI^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25\).
D’autre part : \(GH^2 + HI^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25\).
On constate que \(GI^2 = GH^2 + HI^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(GHI\) est rectangle en \(H\).
Barème : 2 points par triangle : 0,5 point pour le plus grand côté, 0,5 point pour chacun des deux calculs séparés, 0,5 point pour la conclusion avec la propriété citée (et le sommet de l’angle droit en a et c).
Erreur fréquente : écrire directement \(37^2 = 12^2 + 35^2\) avant de l’avoir vérifié. On calcule les deux membres séparément, puis on compare.
Exercice 3 : Avec des nombres décimaux (3 points)
- Dans le triangle \(KLM\), le plus grand côté est \([KM]\).
D’une part : \(KM^2 = 5{,}3^2 = 28{,}09\).
D’autre part : \(KL^2 + LM^2 = 2{,}8^2 + 4{,}5^2 = 7{,}84 + 20{,}25 = 28{,}09\).
On constate que \(KM^2 = KL^2 + LM^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\). - Dans le triangle \(NOP\), le plus grand côté est \([NO]\), qui mesure 6,1 cm.
D’une part : \(NO^2 = 6{,}1^2 = 37{,}21\).
D’autre part : \(OP^2 + NP^2 = 1{,}1^2 + 6^2 = 1{,}21 + 36 = 37{,}21\).
On constate que \(NO^2 = OP^2 + NP^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(NOP\) est rectangle en \(P\).
Barème : 1,5 point par triangle : 0,5 point pour chaque calcul séparé, 0,5 point pour la conclusion avec le sommet de l’angle droit.
Erreur fréquente : en b, prendre \([NP]\) (6 cm), cité en dernier, comme plus grand côté : on trouverait \(36 \neq 38{,}42\) et on conclurait à tort que le triangle n’est pas rectangle.
Exercice 4 : La corde à 13 nœuds (3 points)
- \(PQ = 3 \times 30 = 90\text{ cm}\), \(QR = 4 \times 30 = 120\text{ cm}\) et \(PR = 5 \times 30 = 150\text{ cm}\).
Le plus grand côté est \([PR]\).
D’une part : \(PR^2 = 150^2 = 22\,500\).
D’autre part : \(PQ^2 + QR^2 = 90^2 + 120^2 = 8\,100 + 14\,400 = 22\,500\).
On constate que \(PR^2 = PQ^2 + QR^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(PQR\) est rectangle en \(Q\). - Dans le triangle \(OMN\), le plus grand côté est \([MN]\).
D’une part : \(MN^2 = 98^2 = 9\,604\).
D’autre part : \(OM^2 + ON^2 = 60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000\).
On constate que \(MN^2 \neq OM^2 + ON^2\). D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(OMN\) n’est pas rectangle en \(O\) : le coin de la terrasse n’est pas un angle droit.
Pour un angle droit, il faudrait \(MN^2 = 10\,000\), soit \(MN = \sqrt{10\,000} = 100\) : Samia aurait dû trouver \(MN = 100\text{ cm}\).
Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour les trois longueurs, 0,5 point pour les calculs séparés, 0,5 point pour la conclusion avec le sommet \(Q\) ; b) 1,5 point : 0,5 point pour les calculs séparés, 0,5 point pour la conclusion avec la contraposée, 0,5 point pour la longueur de 100 cm.
Exercice 5 : La charpente (5 points)
- La droite \((AD)\) est perpendiculaire à \((BC)\), donc le triangle \(ABD\) est rectangle en \(D\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AB^2 = AD^2 + BD^2\)
\(AB^2 = 2{,}4^2 + 1{,}8^2 = 5{,}76 + 3{,}24 = 9\)
\(AB = \sqrt{9} = 3\)
\(AB = 3\text{ m}\). - De même, le triangle \(ACD\) est rectangle en \(D\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AD^2 + DC^2\)
\(AC^2 = 2{,}4^2 + 3{,}2^2 = 5{,}76 + 10{,}24 = 16\)
\(AC = \sqrt{16} = 4\)
\(AC = 4\text{ m}\). - Le point \(D\) appartient au segment \([BC]\), donc \(BC = BD + DC = 1{,}8 + 3{,}2 = 5\text{ m}\).
Dans le triangle \(ABC\), le plus grand côté est \([BC]\).
D’une part : \(BC^2 = 5^2 = 25\).
D’autre part : \(AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25\).
On constate que \(BC^2 = AB^2 + AC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Les pans \([AB]\) et \([AC]\) sont perpendiculaires : le charpentier a raison.
Barème : a) et b) 1,5 point chacune : 0,5 point pour le triangle rectangle cité, 0,5 point pour l’égalité et le calcul, 0,5 point pour le résultat avec unité ; c) 2 points : 0,5 point pour \(BC = 5\text{ m}\), 0,5 point pour chaque calcul séparé, 0,5 point pour la conclusion avec la réciproque et le sommet \(A\).
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Après le corrigé du contrôle : prouver qu’un triangle est rectangle
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