Corrigé du contrôle de maths 5ème : expériences aléatoires et probabilités

Exercice 1 : Le vocabulaire des probabilités (3 points)

1. Oui, c’est une expérience aléatoire : on connaît tous les résultats possibles, mais on ne peut pas prévoir à l’avance lequel va se produire.
2. Les issues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
3. « Obtenir 7 » : aucune face ne porte le nombre 7, c’est un évènement impossible.
   « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 » : toutes les issues le réalisent, c’est un évènement certain.
   « Obtenir un nombre pair » : il est réalisé par 2, 4 et 6 mais pas par 1, 3 et 5, il n’est ni certain ni impossible.
4. Les multiples de 3 compris entre 1 et 6 sont 3 et 6. Les issues 3 et 6 réalisent l’évènement.

Barème : a) 0,5 point avec l’explication ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour deux réponses justes, 1 point pour les trois ; d) 0,5 point par issue.

Exercice 2 : L’échelle des probabilités (3 points)

1. • Évènement 1 : il est certain, sa probabilité est 1. Lettre \(D\).
   • Évènement 2 : 1 issue favorable sur 2, probabilité \(\frac{1}{2}\). Lettre \(C\).
   • Évènement 3 : il est impossible, probabilité 0. Lettre \(B\).
   • Évènement 4 : 8 cartes favorables sur 32, probabilité \(\frac{8}{32} = \frac{1}{4}\). Lettre \(E\).
   • Évènement 5 : 3 secteurs favorables sur 4, probabilité \(\frac{3}{4}\). Lettre \(A\).
2. Une probabilité est toujours comprise entre 0 (évènement impossible) et 1 (évènement certain). \(1{,}2 > 1\), donc ce ne peut pas être une probabilité.

Barème : a) 0,5 point par lettre juste ; b) 0,5 point.

Exercice 3 : Une urne (4 points)

Les boules sont indiscernables et tirées au hasard : les 10 issues ont la même probabilité. La probabilité d’un évènement est égale au nombre d’issues favorables divisé par 10.

1. Il y a 5 boules rouges sur 10 : \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%\). La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{1}{2}\), soit 0,5 ou 50 %.
2. Il y a 3 boules bleues sur 10 : \(\frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%\). La probabilité de tirer une boule bleue est \(\frac{3}{10}\), soit 0,3 ou 30 %.
3. « Ne pas tirer une boule verte » revient à tirer une boule rouge ou bleue : \(5 + 3 = 8\) boules. \(\frac{8}{10} = 0{,}8 = 80\,\%\). La probabilité de ne pas tirer une boule verte est \(\frac{8}{10}\), soit 80 %.
4. Pour avoir une probabilité de \(\frac{1}{3}\), il faut qu’une boule sur trois soit verte, donc que le nombre total de boules soit le triple du nombre de boules vertes. On essaie :

   1 boule ajoutée : 3 vertes sur 11 boules, et \(3 \times 3 = 9 \neq 11\).

   2 boules ajoutées : 4 vertes sur 12 boules, et \(4 \times 3 = 12\) : \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\).

   Il faut ajouter 2 boules vertes.

Barème : a) et b) 0,5 point pour la fraction, 0,5 point pour le décimal et le pourcentage ; c) 0,5 point pour les 8 issues favorables, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour la démarche, 0,5 point pour la réponse vérifiée.

Erreur fréquente : en d), oublier que le nombre total de boules augmente aussi quand on ajoute des boules vertes.

Exercice 4 : La roue de la kermesse (4 points)

Les 8 secteurs ont la même taille : les 8 issues sont équiprobables.

1. 3 secteurs rouges (1, 4 et 6) sur 8 : \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). La probabilité d’obtenir un secteur rouge est \(\frac{3}{8}\), soit 0,375 ou 37,5 %.
2. 4 secteurs bleus (2, 3, 5 et 8) sur 8 : \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). La probabilité d’obtenir un secteur bleu est \(\frac{1}{2}\) : on a une chance sur deux.
3. Nombres pairs : 2, 4, 6 et 8, soit 4 secteurs sur 8. La probabilité d’obtenir un nombre pair est \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
4. Secteurs rouges : 1, 4, 6. Parmi eux, les nombres pairs sont 4 et 6 : 2 secteurs sur 8. \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\). La probabilité de gagner une peluche est \(\frac{1}{4}\) : une chance sur quatre.
5. Les trois couleurs n’occupent pas le même nombre de secteurs : le jaune n’en occupe qu’un seul sur 8. Lucas a tort : la probabilité d’obtenir le jaune est \(\frac{1}{8}\), et non \(\frac{1}{3}\).

Barème : a) 0,5 point pour la fraction, 0,5 point pour le décimal et le pourcentage ; b) 0,5 point pour la probabilité, 0,5 point pour la phrase ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour les secteurs 4 et 6, 0,5 point pour \(\frac{1}{4}\) ; e) 0,5 point.

Erreur fréquente : raisonner sur les couleurs au lieu des secteurs, comme Lucas. Seules des issues équiprobables (ici les 8 secteurs) peuvent être comptées.

Exercice 5 : Problème : fréquences et probabilité (6 points)

1. La face 6 est sortie 13 fois sur 60 lancers : \(\frac{13}{60} = 13 : 60 \approx 0{,}2167\). La fréquence de la face 6 est environ 0,22.
2. Le dé est équilibré : les 6 faces ont la même probabilité. La probabilité d’obtenir 6 est \(\frac{1}{6} \approx 0{,}17\).
3. Nombres pairs obtenus : \(12 + 11 + 13 = 36\) fois. Fréquence : \(\frac{36}{60} = 0{,}6\).
   Issues paires : 2, 4 et 6, soit 3 issues sur 6 : probabilité \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
   La fréquence observée (0,6) est un peu plus grande que la probabilité (0,5) : sur seulement 60 lancers, le hasard crée des écarts.
4. \(\frac{506}{3\,000} = 506 : 3\,000 \approx 0{,}1687\). La fréquence est environ 0,169.
   La probabilité est \(\frac{1}{6} \approx 0{,}167\). Sur 3 000 lancers, la fréquence est beaucoup plus proche de la probabilité que sur 60 lancers (0,169 contre 0,22) : plus on répète l’expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité.
5. Sur 60 lancers seulement, il est normal que les faces ne sortent pas exactement le même nombre de fois (10 fois chacune) : les écarts observés (de 7 à 13) sont dus au hasard. D’ailleurs, sur les 3 000 lancers de la classe, la fréquence du 6 est très proche de \(\frac{1}{6}\). Maëlle ne peut pas conclure que son dé est truqué.

Barème : a) 0,5 point pour la fraction, 0,5 point pour l’arrondi ; b) 0,5 point pour \(\frac{1}{6}\), 0,5 point pour l’arrondi ; c) 0,5 point pour la fréquence, 0,5 point pour la probabilité, 0,5 point pour la comparaison ; d) 0,5 point pour 0,169, 1 point pour la remarque sur le grand nombre de lancers ; e) 1 point pour une réponse argumentée.

Erreur fréquente : confondre fréquence et probabilité. La fréquence dépend des lancers effectués ; la probabilité, elle, ne change pas.

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Après le corrigé du contrôle : expériences aléatoires et probabilités

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