Priorités opératoires : cours de maths en 5ème

Priorités opératoires avec un cours de maths en 5ème sur les quatre opérations et les règles de priorité.Cette fiche de leçon fait également intervenir les calculs contenant des parenthèses ainsi que des parenthèses emboîtées puis les priorités de la multiplication et division par rapport à l’addition et la soustraction en cinquième.

I.Vocabulaire :

Définition :

Les 4 opérations mathématiques sont :

  • L’addition (notée +) ;
  •  La soustraction (notée -) ;
  •  La multiplication (notée x)
  • La division (notée 🙂

Le résultat de l’addition de 2 termes est appelé somme.

Le résultat de la soustraction de 2 termes est appelé différence.

Le résultat de la multiplication de 2 facteurs est appelé produit.

Exemples :

4+5=9 est la somme de 4 et de 5.

4 et 5 sont les termes de cette somme

5×8=40 est le produit de 5 et de 8.

5 et 8 sont les termes de ce produit.

Rappels de 6ème : la division euclidienne.

La division euclidienne est une division faisant intervenir uniquement des nombres entiers.

Exemple :   

division euclidienne

23 est le dividende ; 5 est le diviseur ; 4 est le quotient et 3 est le reste.

L’égalité 23=5×4+3 qui traduit la division précédente est appelée « égalité euclidienne » .

II Calculs sans parenthèse :

1. L’expression ne comporte que des additions ou des multiplications :

Règles de calcul

Si un calcul ne comporte que des additions (ou des multiplications) les calculs peuvent être faits dans n’importe quel ordre,

on peut faire tous les regroupements que l’on veut.

Exemple : 

5+4+15+6+8\,\\\,=\,8+(5+15)+(6+4)\,\\=\,8+20+10\,\\=\,38

5\,\times  \,4\,\times  \,15\,\times  \,6\,\times  \,8\,\\\,=\,(5\,\times  \,6)\,\times  \,(4\,\times  \,15)\,\times  \,8\,\\\,=\,30\,\times  \,60\,\times  \,8\,\\\,=\,180\,\times  \,8\,\\\,=\,1\,440

2. L’expression ne comporte que des additions et des soustractions :

Règle
Si une expression ne comporte que des additions et des soustractions, on effectue les calculs dans l’ordre de l’écriture (de la gauche vers la droite).

Exemple :

7+4-6+3-5\,\\=\,11-6+3-5\,\\=\,5+3-5\,\\=\,8-5\,\\=\,3

Règle
Si une expression ne comporte que des additions et des soustractions, on peut faire la différence entre la somme des nombres que l’on doit ajouter et la somme des nombres que l’on doit retrancher.

Exemple :

7+4-6+3-5\,\\=\,(7+4+3)-(6+5)\,\\=\,14-11\,\\=\,3

3. L’expression à calculer comporte les quatre opérations :

Règle

Si une expression comporte des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions on commence :- par effectuer toutes les multiplications ou divisions dans l’ordre   de l’écriture.

– puis toutes les additions ou soustractions dans l’ordre de l’écriture.

Exemple :

-\,45-5\,\times  \,3+30:2-3\,\times  \,4\,\\=\,45-15+15-12\,\\=\,30+15-12\,\\=\,45-12\,\\=33\,\\\\\,-\,16+14:7\,\\=\,16+2\\\,=\,18

Remarque :
On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires par rapport aux additions et soustractions.

III. Calculs comportant des parenthèses :

Règle

Lorsque dans une expression à calculer il y a des parenthèses on commence à effectuer les calculs dans les parenthèses les plus intérieures en respectant les règles de priorités des opérations.

Exemple :

48-[2\,\times  \,(5+2\,\times  \,3-7)-8+5]-10\,\\=\,48-[2\,\times  \,(5+6-7)-8+5]-10\,\\=\,48-[2\,\times  \,4-8+5]-10\,\\=\,48-[8-8+5]-10\,\\=\,48-5-10\,\\=\,33

Calculs sur des fractions :

Une écriture fractionnaire est une division :

\frac{5+3\times   2}{18-5\times   2}

signifie (5+3\,\times  \,2):(18-5\,\times  \,2).

Pour effectuer l’opération, on calcul d’abord le numérateur et le dénominateur en respectant les priorités avant d’effectuer la division.

Exemple :

\frac{5+3\times   2}{18-5\times   2}=\frac{5+6}{18-10}=\frac{11}{8}=1,375


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