Contrôle de maths 5ème : hauteurs, médianes et aire du triangle

Exercice 1 : Quatre droites dans un triangle (4 points)

Calculatrice interdite.

Sur la figure codée ci-dessous, quatre droites \((d_1)\), \((d_2)\), \((d_3)\) et \((d_4)\) sont tracées dans le triangle ABC. Le point K est sur le côté [AB].

(La figure n’est pas à l’échelle.)

Pour chaque droite, dis si c’est une hauteur, une médiane ou une médiatrice du triangle ABC (en précisant de quel sommet ou de quel côté), ou si on ne peut rien affirmer. Justifie à l’aide des codages.

1. La droite \((d_1)\). (1 point)
2. La droite \((d_2)\). (1 point)
3. La droite \((d_3)\). (1 point)
4. La droite \((d_4)\). (1 point)

Exercice 2 : Orthocentre et cercle circonscrit (4 points)

Tu as besoin d’une règle, d’une équerre et d’un compas.

1. Construis un triangle EFG tel que EF = 7 cm, EG = 5 cm et FG = 6 cm. (1 point)
2. Trace en bleu les trois hauteurs du triangle EFG. Elles sont concourantes : nomme H leur point d’intersection. Comment appelle-t-on ce point ? (1,5 point)
3. Sur une nouvelle figure (ou en vert sur la même), trace les médiatrices des trois côtés. Nomme O leur point d’intersection et trace le cercle de centre O passant par E. Explique pourquoi ce cercle passe aussi par F et par G. (1,5 point)

Exercice 3 : Calculer des aires (5 points)

Les trois triangles ci-dessous ne sont pas à l’échelle, mais les longueurs indiquées sont exactes.

1. Calcule l’aire du triangle PQR. (1 point)
2. Calcule l’aire du triangle STU, rectangle en T. (1 point)
3. Calcule l’aire du triangle XYZ. Le point K est sur la droite (YZ). (1,5 point)
4. Un triangle a une aire de \(30\text{ cm}^2\) et l’un de ses côtés mesure 12 cm. Calcule la hauteur associée à ce côté. (1,5 point)

Exercice 4 : Le pouvoir de la médiane (4 points)

ABC est un triangle, M est le milieu du côté [BC] et H est le pied de la hauteur issue de A. Le segment [AM] partage le triangle ABC en deux triangles ABM et AMC.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Explique pourquoi [AH] est une hauteur à la fois du triangle ABM et du triangle AMC. (1 point)
2. Démontre que les triangles ABM et AMC ont la même aire. (1,5 point)
3. On donne BC = 10 cm et AH = 6 cm. Calcule l’aire du triangle ABC, puis celle du triangle ABM. (1,5 point)

Exercice 5 : Le gazon de Yanis (3 points)

Le terrain de Yanis est un rectangle ABCD de 20 m sur 12 m. Il veut semer du gazon sur le triangle ABE, où E est un point du côté [DC].

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule l’aire du triangle ABE. (1,5 point)
2. Quelle fraction de l’aire du terrain le gazon occupe-t-il ? Cette fraction dépend-elle de la position de E sur [DC] ? (0,5 point)
3. Il faut 1 kg de graines pour \(40\text{ m}^2\), et les graines sont vendues en sacs de 2 kg. Combien de sacs Yanis doit-il acheter ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : hauteurs, médianes et aire du triangle

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les triangles et son cercle circonscrit et l’inégalité triangulaire » en 5ème et « Droites remarquables du triangle » en 5ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés triangle.

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