Contrôle de maths 3ème : théorème de Thalès et trigonométrie

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice autorisée pour tout le sujet (en mode degrés).

Donne directement la réponse.

1. \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\). Exprime \(\cos \widehat{ABC}\) à l’aide de deux longueurs du triangle. (0,5 point)
2. Dans le même triangle, exprime \(\tan \widehat{ACB}\). (0,5 point)
3. Donne la valeur exacte de \(\cos 60^\circ\). (0,5 point)
4. \(x\) est un angle aigu tel que \(\sin x = 0{,}5\). Donne la mesure de \(x\). (0,5 point)
5. Dans un triangle \(ABC\), \(M\) est un point de \([AB]\) et \(N\) un point de \([AC]\) tels que \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. Écris l’égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès. (0,5 point)
6. Dans la situation de la question e), \(AM = 3\text{ cm}\), \(AB = 12\text{ cm}\) et \(BC = 10\text{ cm}\). Calcule \(MN\). (0,5 point)
7. Un triangle rectangle a une hypoténuse de \(10\text{ cm}\) et un angle aigu de \(30^\circ\). Quelle est la longueur du côté opposé à cet angle ? (0,5 point)
8. Donne l’arrondi au centième de \(\tan 35^\circ\). (0,5 point)

Exercice 2 : Une configuration papillon (3 points)

Sur la figure ci-dessous, les droites \((MB)\) et \((NC)\) sont sécantes en \(A\), et les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. On donne : \(AM = 4\text{ cm}\), \(AB = 6\text{ cm}\), \(AN = 3{,}6\text{ cm}\) et \(BC = 7{,}5\text{ cm}\).

1. Calcule la longueur \(AC\). (1,5 point)
2. Calcule la longueur \(MN\). (1,5 point)

Exercice 3 : Droites parallèles ou non (3 points)

Sur la figure, les points \(O\), \(E\), \(F\) sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points \(O\), \(G\), \(H\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. On donne \(OE = 2{,}8\text{ cm}\), \(OF = 4{,}2\text{ cm}\), \(OG = 3{,}6\text{ cm}\) et \(OH = 5{,}4\text{ cm}\). Les droites \((EG)\) et \((FH)\) sont-elles parallèles ? Justifie. (1,5 point)
2. Même question avec \(OE = 2{,}8\text{ cm}\), \(OF = 4{,}2\text{ cm}\), \(OG = 3{,}6\text{ cm}\) et \(OH = 5{,}5\text{ cm}\). (1,5 point)

Exercice 4 : L’échelle et la rampe (4 points)

Figure 1 : une échelle \([PT]\) de \(5\text{ m}\) est appuyée contre un mur vertical ; elle fait un angle de \(70^\circ\) avec le sol horizontal. Le triangle \(PBT\) est rectangle en \(B\).
Figure 2 : une rampe d’accès \([RU]\) monte de \(SU = 0{,}5\text{ m}\) sur une distance horizontale \(RS = 8\text{ m}\). Le triangle \(RSU\) est rectangle en \(S\).

(Les figures ne sont pas à l’échelle.)

1. À quelle hauteur \(BT\) l’échelle touche-t-elle le mur ? Arrondis au centimètre. (1,5 point)
2. À quelle distance \(PB\) du mur se trouve le pied de l’échelle ? Arrondis au centimètre. (1 point)
3. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{SRU}\) que fait la rampe avec l’horizontale, arrondie au dixième de degré. (1,5 point)

Exercice 5 : Le parcours de course (6 points)

Pour la course du collège, deux parcours sont tracés dans un parc (figure ci-dessous) :

• le grand parcours suit le trajet \(A \to B \to C \to A\) ;
• le petit parcours suit le trajet \(A \to D \to E \to A\).

Les points \(A\), \(D\), \(B\) sont alignés, les points \(A\), \(E\), \(C\) sont alignés, les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ADE}\) sont droits. On donne \(AB = 1\,200\text{ m}\), \(BC = 500\text{ m}\) et \(AD = 480\text{ m}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Démontre que \(AC = 1\,300\text{ m}\). (1,5 point)
2. Justifie que les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles. (1 point)
3. Calcule les longueurs \(DE\) et \(AE\). (1,5 point)
4. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\), arrondie au degré. (1 point)
5. Calcule la longueur de chaque parcours. Combien de tours du petit parcours faut-il faire pour courir la même distance qu’un tour du grand parcours ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : théorème de Thalès et trigonométrie

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Théorème de Thalès » en 3ème et « Trigonométrie dans le triangle rectangle » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés théorème de thalès, trigonométrie.

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