Corrigé du contrôle de maths 3ème : fonctions en situation et lecture graphique

Exercice 1 : La température d’une journée (5 points)

1. On part de 12 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée : 14.
   \(T(12) = 14\) : à midi, il faisait \(14\,^\circ\text{C}\).
2. Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées \((15 \,;\, 17)\).
   La température maximale est de \(17\,^\circ\text{C}\), atteinte à 15 h.
3. Le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées \((6 \,;\, 3)\).
   La température minimale est de \(3\,^\circ\text{C}\), atteinte à 6 h.
4. On trace la droite horizontale d’ordonnée 14 : elle coupe la courbe en deux points d’abscisses 12 et 18.
   Les solutions de \(T(x) = 14\) sont 12 et 18 : il faisait \(14\,^\circ\text{C}\) à 12 h et à 18 h.
5. \(17 – 3 = 14\). L’amplitude thermique est de \(14\,^\circ\text{C}\).
6. La courbe est au-dessus de la droite d’ordonnée 8 (ou dessus) entre 9 h et 21 h.
   \(21 – 9 = 12\).
   La température a été supérieure ou égale à \(8\,^\circ\text{C}\) pendant 12 heures.

Erreur fréquente : à la question d), ne donner que 12 h. Une droite horizontale peut couper la courbe plusieurs fois : il faut relever toutes les abscisses des points d’intersection.

Barème : a) 0,5 point (valeur et phrase) ; b) 1 point (0,5 pour la température, 0,5 pour l’heure) ; c) 1 point, même répartition ; d) 1 point (0,5 par solution) ; e) 0,5 point ; f) 1 point : 0,5 point pour les heures 9 h et 21 h, 0,5 point pour la durée.

Exercice 2 : La hauteur d’un ballon (4 points)

1. \(h(1) = -5 \times 1^2 + 20 \times 1 = -5 + 20 = 15\)
   \(h(3) = -5 \times 3^2 + 20 \times 3 = -45 + 60 = 15\)
   \(h(1) = 15\) et \(h(3) = 15\) : le ballon est à 15 m de haut après 1 s et après 3 s.
2. Le sommet de la courbe a pour coordonnées \((2 \,;\, 20)\). Par le calcul : \(h(2) = -5 \times 4 + 40 = -20 + 40 = 20\).
   Le ballon atteint sa hauteur maximale, 20 m, au bout de 2 secondes.
3. La droite horizontale d’ordonnée 15 coupe la courbe aux points d’abscisses 1 et 3.
   Les solutions de \(h(t) = 15\) sont 1 et 3, ce qui est cohérent avec la question a) : \(h(1) = h(3) = 15\).
4. La courbe revient sur l’axe des abscisses pour \(t = 4\).
   Vérification : \(h(4) = -5 \times 4^2 + 20 \times 4 = -80 + 80 = 0\).
   Le ballon retombe au sol au bout de 4 secondes.

Barème : a) 1 point (0,5 par image) ; b) 1 point (0,5 pour 20 m, 0,5 pour 2 s) ; c) 1 point : 0,5 point pour les deux solutions, 0,5 point pour le lien avec a) ; d) 1 point : 0,5 point pour la lecture, 0,5 point pour le calcul.

Exercice 3 : Deux trajets vers le lac (4 points)

1. 14 h 20 correspond à 20 minutes. Le point de la droite de Sami d’abscisse 20 a pour ordonnée 5.
   À 14 h 20, Sami a parcouru 5 km.
2. La courbe de Nora reste à 0 km jusqu’à 20 minutes, puis monte.
   Nora part à 14 h 20.
3. Les deux courbes se coupent au point de coordonnées \((40 \,;\, 10)\).
   Nora rattrape Sami à 14 h 40, à 10 km du village.
4. Nora atteint 15 km au bout de 50 minutes, soit à 14 h 50 ; Sami au bout de 60 minutes, soit à 15 h.
   \(60 – 50 = 10\).
   Nora arrive la première, avec 10 minutes d’avance.
5. Sami parcourt 15 km en 60 minutes, c’est-à-dire en 1 heure.
   \(v = \dfrac{15\text{ km}}{1\text{ h}} = 15\text{ km/h}\).
   La vitesse moyenne de Sami est de 15 km/h.

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point ; c) 1 point (0,5 pour l’heure, 0,5 pour la distance) ; d) 1 point (0,5 pour Nora, 0,5 pour les 10 minutes) ; e) 1 point : 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour le résultat avec l’unité.

Exercice 4 : L’enclos et le tableur (3 points)

1. Le périmètre du rectangle vaut 20 m, donc une largeur plus une longueur font la moitié : \(20 : 2 = 10\) m.
   La longueur est donc \(10 – x\).
2. L’aire est largeur \(\times \) longueur, soit \(x(10 – x)\), et la largeur se trouve dans la cellule A2.
   Formule : =A2*(10-A2)
3. \(1 \times 9 = 9\) ; \(2 \times 8 = 16\) ; \(3 \times 7 = 21\) ; \(4 \times 6 = 24\) ; \(5 \times 5 = 25\) ; \(6 \times 4 = 24\).
   

   	A	B
   1	Largeur \(x\) (m)	Aire (m²)
   2	1	9
   3	2	16
   4	3	21
   5	4	24
   6	5	25
   7	6	24

4. L’aire vaut \(24\text{ m}^2\) pour une largeur de 4 m ou de 6 m (c’est le même rectangle de 4 m sur 6 m). La plus grande aire du tableau, \(25\text{ m}^2\), est obtenue pour \(x = 5\) : l’enclos est alors un carré de 5 m de côté.

Erreur fréquente : écrire la formule sans le signe « = » ou avec \(x\) à la place de A2. Le tableur ne connaît pas \(x\) : il faut désigner la cellule qui contient la largeur.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point (0,5 pour le signe = et la référence A2, 0,5 pour l’expression juste) ; c) 1 point (0,5 point pour trois valeurs justes, 1 point pour les six) ; d) 0,5 point.

Exercice 5 : La distance de freinage (4 points)

1. \(d(60) = \dfrac{60^2}{200} = \dfrac{3\,600}{200} = 18\)
   \(d(100) = \dfrac{100^2}{200} = \dfrac{10\,000}{200} = 50\)
   \(d(60) = 18\) et \(d(100) = 50\) : à 60 km/h on freine sur 18 m, à 100 km/h sur 50 m.
2. La courbe de \(d\) doit passer par les points \((60 \,;\, 18)\) et \((100 \,;\, 50)\).
   La courbe 1 passe par \((100 \,;\, 60)\) et la courbe 3 par \((100 \,;\, 100)\) : elles ne conviennent pas. La courbe 2 passe bien par \((60 \,;\, 18)\) et \((100 \,;\, 50)\).
   C’est la courbe 2 qui représente la fonction \(d\).
3. Sur la courbe 2, la droite horizontale d’ordonnée 32 coupe la courbe au point d’abscisse 80.
   Vérification : \(d(80) = \dfrac{80^2}{200} = \dfrac{6\,400}{200} = 32\).
   La distance de freinage est de 32 m à 80 km/h.
4. \(d(50) = \dfrac{50^2}{200} = \dfrac{2\,500}{200} = 12{,}5\) et \(d(100) = 50\).
   \(4 \times 12{,}5 = 50\).
   En passant de 50 km/h à 100 km/h, la vitesse double et la distance de freinage est bien multipliée par 4.

Barème : a) 1 point (0,5 par calcul) ; b) 1 point : 0,5 point pour la courbe 2, 0,5 point pour la justification qui élimine les deux autres ; c) 1 point : 0,5 point pour la lecture, 0,5 point pour la vérification ; d) 1 point : 0,5 point pour \(d(50)\), 0,5 point pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : fonctions en situation et lecture graphique

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