Voici le corrigé du contrôle de maths de 3ème sur le thème : factoriser et prouver avec le calcul littéral.
Voici la correction complète de l’évaluation sur la factorisation et la démonstration. Pour chaque factorisation, le facteur commun ou l’identité utilisée est repéré avant le calcul, et le résultat est contrôlé en redéveloppant.
Les exercices de preuve montrent la rédaction attendue au brevet : on appelle \(x\) ou \(n\) le nombre choisi, on traduit chaque étape par une expression littérale, puis on conclut. Tu verras aussi quand un simple contre-exemple suffit. Le barème détaillé te permet d’évaluer ta copie question par question.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 3ème : factoriser et prouver avec le calcul littéral.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes | 3 points |
| Exercice 2 : Factoriser des expressions | 5 points |
| Exercice 3 : Deux programmes de calcul | 5 points |
| Exercice 4 : Trois entiers consécutifs | 3 points |
| Exercice 5 : Une aire en fonction de x | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes (3 points)
- 3 est un facteur commun à \(6x\) et à 9 : \(6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3\). \(6x + 9 = 3(2x + 3)\).
- \(x\) est un facteur commun : \(x^2 – 7x = x \times x – 7 \times x\). \(x^2 – 7x = x(x – 7)\).
- \(x^2 – 25 = x^2 – 5^2\), de la forme \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\). C’est la réponse B : \((x – 5)(x + 5)\).
Barème : 1 point par réponse exacte.
Exercice 2 : Factoriser des expressions (5 points)
- Le facteur commun est \((x + 2)\) : \(A = (x + 2)[(3x – 1) + (x + 4)]\). \(A = (x + 2)(4x + 3)\).
- Le facteur commun est \((2x – 5)\), et le signe moins porte sur tout le second facteur :
\(B = (2x – 5)[(x + 1) – (3x – 2)] = (2x – 5)(x + 1 – 3x + 2)\).
\(B = (2x – 5)(-2x + 3)\). - \(C = (3x)^2 – 4^2\), de la forme \(a^2 – b^2\) avec \(a = 3x\) et \(b = 4\). \(C = (3x – 4)(3x + 4)\).
- \(D = (x + 3)^2 – 7^2\), de la forme \(a^2 – b^2\) avec \(a = x + 3\) et \(b = 7\) :
\(D = [(x + 3) – 7][(x + 3) + 7]\). \(D = (x – 4)(x + 10)\).
Contrôle : \((x – 4)(x + 10) = x^2 + 6x – 40\) et \((x + 3)^2 – 49 = x^2 + 6x + 9 – 49 = x^2 + 6x – 40\).
Barème : a) 1 point : 0,5 point pour le facteur commun mis en évidence, 0,5 point pour la réduction ; b) 1,5 point : 0,5 point pour le facteur commun, 1 point pour la gestion du signe moins et la réduction ; c) 1 point ; d) 1,5 point : 0,5 point pour reconnaître \(a^2 – b^2\), 1 point pour la factorisation réduite.
Erreur fréquente : en B, écrire \((x + 1 – 3x – 2)\) : devant la parenthèse \((3x – 2)\), le signe moins change aussi le signe de \(-2\), qui devient \(+2\).
Exercice 3 : Deux programmes de calcul (5 points)
- Programme de Hugo : \(2 + 5 = 7\) ; \(7^2 = 49\) ; \(49 – 25 = 24\).
Programme d’Aïcha : \(2 + 10 = 12\) ; \(12 \times 2 = 24\).
Les deux programmes donnent bien 24. - Programme de Hugo : \(-3 + 5 = 2\) ; \(2^2 = 4\) ; \(4 – 25 = -21\).
Programme d’Aïcha : \(-3 + 10 = 7\) ; \(7 \times (-3) = -21\).
Les deux programmes donnent \(-21\). - Conjecture : les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.
- Avec le nombre \(x\) :
Programme de Hugo : \((x + 5)^2 – 25 = x^2 + 10x + 25 – 25 = x^2 + 10x\).
Programme d’Aïcha : \((x + 10) \times x = x^2 + 10x\).
Les deux expressions sont égales pour tout nombre \(x\) : la conjecture est démontrée. - Si le nombre choisi est pair, il s’écrit \(x = 2k\) avec \(k\) entier. Le résultat vaut alors
\[x^2 + 10x = (2k)^2 + 10 \times 2k = 4k^2 + 20k = 4(k^2 + 5k).\]
Comme \(k^2 + 5k\) est un entier, le résultat est un multiple de 4.
Barème : a) 1 point : 0,5 point par programme ; b) 1 point : 0,5 point par programme ; c) 0,5 point ; d) 1,5 point : 0,5 point par expression littérale correcte, 0,5 point pour la conclusion ; e) 1 point : 0,5 point pour le calcul avec \(2k\), 0,5 point pour la factorisation par 4 et la conclusion.
Erreur fréquente : croire que les tests des questions a et b suffisent à prouver la conjecture. Deux exemples ne démontrent rien : il faut le calcul littéral de la question d.
Exercice 4 : Trois entiers consécutifs (3 points)
- \(12 + 13 + 14 = 39\) et \(39 = 3 \times 13\). La somme 39 est bien un multiple de 3.
- Si \(n\) est le plus petit, les trois entiers consécutifs sont \(n\), \(n + 1\) et \(n + 2\). Leur somme vaut
\[n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).\]
Comme \(n + 1\) est un entier, la somme est toujours un multiple de 3 : Lucas a raison. - Prenons 1, 2, 3 et 4 : \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\), et 10 n’est pas un multiple de 4. Ce contre-exemple suffit : Emma a tort.
Barème : a) 0,5 point ; b) 1,5 point : 0,5 point pour l’écriture des trois entiers, 0,5 point pour \(3n + 3\), 0,5 point pour la factorisation par 3 et la conclusion ; c) 1 point : 0,5 point pour le contre-exemple, 0,5 point pour la conclusion.
Exercice 5 : Une aire en fonction de x (4 points)
- L’aire du carré \(ABCD\) est \((x + 6)^2\) et celle du rectangle \(CEFG\) est \(3x\). Donc
\[S = (x + 6)^2 – 3x = x^2 + 12x + 36 – 3x.\]
\(S = x^2 + 9x + 36\) (en cm²). - Pour \(x = 4\) : \(S = 4^2 + 9 \times 4 + 36 = 16 + 36 + 36 = 88\). Vérification : \(10^2 – 3 \times 4 = 100 – 12 = 88\). L’aire grisée vaut 88 cm².
- \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\), donc
\[S – (x + 4)^2 = x^2 + 9x + 36 – x^2 – 8x – 16 = x + 20.\]
Comme \(x\) est positif, \(x + 20\) est strictement positif, donc \(S – (x + 4)^2\) est strictement positif. La partie grisée a toujours une aire plus grande que celle d’un carré de côté \(x + 4\).
Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour les deux aires, 1 point pour le développement réduit ; b) 1 point ; c) 1,5 point : 1 point pour le calcul de la différence, 0,5 point pour l’argument du signe et la conclusion.
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Après le corrigé du contrôle : factoriser et prouver avec le calcul littéral
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