Corrigé du bac S de maths 2006 en France

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Géométrie dans l’espace, vrai ou faux – 5 points, commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère les points \(A(2\,;4\,;1)\), \(B(0\,;4\,;-3)\), \(C(3\,;1\,;-3)\), \(D(1\,;0\,;-2)\), \(E(3\,;2\,;-1)\) et \(I(\frac{3}{5}\,;4\,;-\frac{9}{5})\). Pour chaque proposition, il faut dire si elle est vraie ou fausse et justifier.

1. Proposition : « une équation du plan \((ABC)\) est \(2x+2y-z-11=0\) ».

On vérifie que les coordonnées des trois points satisfont l’équation :

• \(A\) : \(2\times 2+2\times 4-1-11=4+8-12=0\) ;
• \(B\) : \(2\times 0+2\times 4-(-3)-11=8+3-11=0\) ;
• \(C\) : \(2\times 3+2\times 1-(-3)-11=6+2+3-11=0\).

De plus \(\vec{AB}(-2\,;0\,;-4)\) et \(\vec{AC}(1\,;-3\,;-4)\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{AB}\) est nulle, pas celle de \(\vec{AC}\)), donc \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et définissent un unique plan. Ce plan est celui d’équation \(2x+2y-z-11=0\) : la proposition est VRAIE.

2. Proposition : « \(E\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur le plan \((ABC)\) ».

\(E\) est bien dans le plan : \(2\times 3+2\times 2-(-1)-11=0\). Mais pour que \(E\) soit le projeté orthogonal de \(D\), il faut aussi que \(\vec{DE}\) soit normal au plan, c’est-à-dire colinéaire à \(\vec{n}(2\,;2\,;-1)\), vecteur normal lu dans l’équation.

Or \(\vec{DE}(3-1\,;2-0\,;-1+2)=(2\,;2\,;1)\). Les deux premières coordonnées imposeraient \(\vec{DE}=\vec{n}\), mais les troisièmes valent \(1\) et \(-1\) : les vecteurs ne sont pas colinéaires. La proposition est FAUSSE.

3. Proposition : « les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales ».

\(\vec{AB}(-2\,;0\,;-4)\) et \(\vec{CD}(1-3\,;0-1\,;-2+3)=(-2\,;-1\,;1)\). Leur produit scalaire vaut :

\[\vec{AB}\cdot\vec{CD}=(-2)\times (-2)+0\times (-1)+(-4)\times 1=4+0-4=0.\]

Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales : VRAI.

4. Proposition : « la droite \((CD)\) admet pour représentation paramétrique \(x=-1+2t\), \(y=-1+t\), \(z=1-t\) (\(t\in\mathbb{R}\)) ».

Le vecteur directeur de cette droite \(d\) est \(\vec{w}(2\,;1\,;-1)=-\vec{CD}\) : \(d\) est donc parallèle à \((CD)\). Reste à savoir si \(C\) est sur \(d\). On cherche \(t\) tel que \(3=-1+2t\), \(1=-1+t\) et \(-3=1-t\) : les deux premières équations donnent \(t=2\), la troisième \(t=4\). Le système n’a pas de solution, donc \(C\notin d\). Les droites \(d\) et \((CD)\) sont parallèles et distinctes : la proposition est FAUSSE.

5. Proposition : « le point \(I\) est sur la droite \((AB)\) ».

\(\vec{AI}(\frac{3}{5}-2\,;4-4\,;-\frac{9}{5}-1)=(-\frac{7}{5}\,;0\,;-\frac{14}{5})=\frac{7}{10}\,(-2\,;0\,;-4)\), donc \(\vec{AI}=\frac{7}{10}\vec{AB}\), soit \(\vec{AB}=\frac{10}{7}\vec{AI}\).

Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AI}\) sont colinéaires : \(A\), \(B\), \(I\) sont alignés et \(I\) appartient à \((AB)\) : VRAI (il est même sur le segment \([AB]\), puisque \(0\leq\,\frac{7}{10}\leq\, 1\)).

Exercice 2 :

Fonction exponentielle et suite d’intégrales – 5 points, commun à tous les candidats

On étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2\mathrm{e}^{1-x}\), de courbe \(\mathcal{C}\), puis la suite définie pour \(n\geq\, 1\) par \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x\).

1. a. On demande les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), et leur interprétation graphique.

En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^2=+\infty\) ; comme \(\lim\limits_{x\to-\infty}(1-x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty\), par composition \(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{1-x}=+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).

En \(+\infty\) : la forme est indéterminée (\(+\infty\times 0\)). On écrit \(f(x)=\mathrm{e}\times \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^2}=+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}=0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\).

Interprétation : l’axe des abscisses (droite d’équation \(y=0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).

1. b. On demande de justifier la dérivabilité de \(f\) et de calculer \(f^{\prime}(x)\).

\(x\mapsto x^2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(x\mapsto \mathrm{e}^{1-x}\) aussi (composée de la fonction affine \(x\mapsto 1-x\) et de l’exponentielle). Par produit, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, puisque la dérivée de \(\mathrm{e}^{1-x}\) est \(-\mathrm{e}^{1-x}\) :

\[f^{\prime}(x)=2x\,\mathrm{e}^{1-x}+x^2\times (-\mathrm{e}^{1-x})=(2x-x^2)\mathrm{e}^{1-x}.\]

Donc \(f^{\prime}(x)=x(2-x)\,\mathrm{e}^{1-x}\).

1. c. On demande le sens de variation de \(f\) et le tracé de \(\mathcal{C}\).

Comme \(\mathrm{e}^{1-x}\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x(2-x)\), qui s’annule en \(0\) et \(2\) et est positif entre ses racines (coefficient de \(x^2\) égal à \(-1\)).

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(x\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(2-x\)		\(+\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(+\infty\)	décroissante	\(0\)	croissante	\(\frac{4}{\mathrm{e}}\)	décroissante	\(0\)

Avec \(f(0)=0\) et \(f(2)=4\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{4}{\mathrm{e}}\approx 1{,}47\). Ainsi \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;2]\) et décroissante sur \([2\,;+\infty[\) ; elle admet un minimum \(0\) en \(0\) (\(f\) est positive sur \(\mathbb{R}\)) et un maximum local \(\frac{4}{\mathrm{e}}\) en \(2\).

2. a. On demande une relation entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\), par une intégration par parties.

Pour \(n\geq\, 1\), \(I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x\). On pose \(u(x)=x^{n+1}\), \(v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{1-x}\), d’où \(u^{\prime}(x)=(n+1)x^n\) et \(v(x)=-\mathrm{e}^{1-x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;1]\). Alors :

\[I_{n+1}=\Big[-x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\Big]_0^1+(n+1)\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x=(-1\times \mathrm{e}^{0}+0)+(n+1)I_n.\]

Donc, pour tout \(n\geq\, 1\), \(I_{n+1}=(n+1)I_n-1\).

2. b. On demande de calculer \(I_1\) puis \(I_2\).

Même méthode avec \(u(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{1-x}\), donc \(u^{\prime}(x)=1\), \(v(x)=-\mathrm{e}^{1-x}\) :

\[I_1=\Big[-x\,\mathrm{e}^{1-x}\Big]_0^1+\int_0^1\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x=-1+\Big[-\mathrm{e}^{1-x}\Big]_0^1=-1+(-1+\mathrm{e}).\]

Donc \(I_1=\mathrm{e}-2\). La relation du 2. a. avec \(n=1\) donne \(I_2=2I_1-1=2\mathrm{e}-4-1\), soit \(I_2=2\mathrm{e}-5\approx 0{,}44\).

2. c. On demande une interprétation graphique de \(I_2\).

\(I_2=\displaystyle\int_0^1 x^2\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x=\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\), et \(f\) est positive et continue sur \([0\,;1]\). Donc \(I_2\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par \(\mathcal{C}\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\) (surface colorée sur la figure).

3. a. On demande de démontrer que, pour tout \(x\in[0\,;1]\) et tout \(n\geq\, 1\), \(x^n\leq\, x^n\mathrm{e}^{1-x}\leq\, \mathrm{e}\,x^n\).

Si \(0\leq\, x\leq\, 1\), alors \(0\leq\, 1-x\leq\, 1\). L’exponentielle étant croissante, \(\mathrm{e}^{0}\leq\,\mathrm{e}^{1-x}\leq\,\mathrm{e}^{1}\), c’est-à-dire \(1\leq\,\mathrm{e}^{1-x}\leq\,\mathrm{e}\). En multipliant par \(x^n\), qui est positif ou nul sur \([0\,;1]\) (l’ordre est conservé), on obtient bien \(x^n\leq\, x^n\mathrm{e}^{1-x}\leq\,\mathrm{e}\,x^n\).

3. b. On demande d’en déduire un encadrement de \(I_n\), puis la limite de \(I_n\).

Par positivité (croissance) de l’intégrale sur \([0\,;1]\), avec \(0\lt 1\) :

\[\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x\leq\, I_n\leq\, \mathrm{e}\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x.\]

Or \(\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x=[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1=\frac{1}{n+1}\). Donc, pour tout \(n\geq\, 1\), \(\dfrac{1}{n+1}\leq\, I_n\leq\,\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}\).

Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}=0\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0\).

Contrôle : \(\frac{1}{3}\approx 0{,}33\leq\, I_2\approx 0{,}44\leq\,\frac{\mathrm{e}}{3}\approx 0{,}91\).

Exercice 3 :

Nombres complexes – 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan \(\mathcal{P}\) est rapporté à un repère orthonormal direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On note \(U\) et \(V\) les points d’affixes \(1\) et \(\mathrm{i}\), et \(f\) l’application qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\neq 0\) associe le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}=\dfrac{1}{\overline{z}}\).

1. a. Restitution organisée des connaissances : en admettant que \(\arg(zz^{\prime})=\arg z+\arg z^{\prime}\) à \(2\pi\) près, on demande de démontrer que \(\arg(\frac{1}{z^{\prime}})=-\arg z^{\prime}\) et \(\arg(\frac{z}{z^{\prime}})=\arg z-\arg z^{\prime}\) à \(2\pi\) près (\(z\), \(z^{\prime}\) non nuls).

Pour \(z^{\prime}\neq 0\) : \(z^{\prime}\times \frac{1}{z^{\prime}}=1\), donc \(\arg z^{\prime}+\arg(\frac{1}{z^{\prime}})=\arg 1=0\ [2\pi]\), d’où \(\arg(\frac{1}{z^{\prime}})=-\arg z^{\prime}\ [2\pi]\).

Ensuite \(\frac{z}{z^{\prime}}=z\times \frac{1}{z^{\prime}}\), donc \(\arg(\frac{z}{z^{\prime}})=\arg z+\arg(\frac{1}{z^{\prime}})=\arg z-\arg z^{\prime}\ [2\pi]\), ce qu’il fallait démontrer.

1. b. On demande de démontrer que, pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) distincts d’affixes \(a\), \(b\), \(c\) : \(\arg(\frac{c-a}{b-a})=(\vec{AB},\vec{AC})\ [2\pi]\).

\(c-a\) est l’affixe de \(\vec{AC}\) et \(b-a\) celle de \(\vec{AB}\), toutes deux non nulles, donc \(\arg(c-a)=(\vec{u},\vec{AC})\) et \(\arg(b-a)=(\vec{u},\vec{AB})\). D’après 1. a. puis la relation de Chasles pour les angles orientés :

\[\arg(\frac{c-a}{b-a})=(\vec{u},\vec{AC})-(\vec{u},\vec{AB})=(\vec{AB},\vec{u})+(\vec{u},\vec{AC})=(\vec{AB},\vec{AC})\ [2\pi].\]

2. a. On demande de montrer que, pour \(z\neq 0\), \(\arg z^{\prime}=\arg z\ [2\pi]\), et d’en déduire que \(O\), \(M\), \(M^{\prime}\) sont sur une même demi-droite d’origine \(O\).

D’après 1. a., \(\arg z^{\prime}=\arg(\frac{1}{\overline{z}})=-\arg\overline{z}=-(-\arg z)=\arg z\ [2\pi]\), car un complexe et son conjugué ont des arguments opposés. Ainsi \((\vec{u},\vec{OM^{\prime}})=(\vec{u},\vec{OM})\ [2\pi]\) : \(M\) et \(M^{\prime}\) sont sur une même demi-droite d’origine \(O\) (et \(M^{\prime}\) est même un multiple positif de \(M\) : \(z^{\prime}=\frac{z}{|z|^2}\)).

2. b. On demande l’ensemble des points \(M\) tels que \(f(M)=M\).

\(f(M)=M\iff \frac{1}{\overline{z}}=z\iff z\overline{z}=1\iff |z|^2=1\iff |z|=1\iff OM=1\).

L’ensemble des points invariants est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1.

2. c. Pour \(M\) distinct de \(O\), \(U\), \(V\) (on admet que \(M^{\prime}\) l’est aussi), on demande d’exprimer \(\dfrac{z^{\prime}-1}{z^{\prime}-\mathrm{i}}\) à l’aide du conjugué de \(\dfrac{z-1}{z-\mathrm{i}}\), puis d’en déduire une relation entre les arguments.

On multiplie numérateur et dénominateur par \(\overline{z}\) :

\[\frac{z^{\prime}-1}{z^{\prime}-\mathrm{i}}=\frac{\frac{1}{\overline{z}}-1}{\frac{1}{\overline{z}}-\mathrm{i}}=\frac{1-\overline{z}}{1-\mathrm{i}\,\overline{z}}.\]

Or \(1-\mathrm{i}\,\overline{z}=-\mathrm{i}(\overline{z}+\mathrm{i})\) (car \(-\mathrm{i}\times \mathrm{i}=1\)) et \(1-\overline{z}=-(\overline{z}-1)\), donc :

\[\frac{z^{\prime}-1}{z^{\prime}-\mathrm{i}}=\frac{-(\overline{z}-1)}{-\mathrm{i}(\overline{z}+\mathrm{i})}=\frac{1}{\mathrm{i}}\times \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+\mathrm{i}}=-\mathrm{i}\times \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+\mathrm{i}}.\]

Enfin \(\overline{z-1}=\overline{z}-1\) et \(\overline{z-\mathrm{i}}=\overline{z}+\mathrm{i}\), donc \(\dfrac{z^{\prime}-1}{z^{\prime}-\mathrm{i}}=-\mathrm{i}\,\overline{(\dfrac{z-1}{z-\mathrm{i}})}\).

En passant aux arguments, avec \(\arg(-\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}\) et \(\arg\overline{w}=-\arg w\) :

\[\arg(\frac{z^{\prime}-1}{z^{\prime}-\mathrm{i}})=-\frac{\pi}{2}-\arg(\frac{z-1}{z-\mathrm{i}})\ [2\pi].\]

3. a. On demande de montrer que \(M\) (avec \(z\neq 1\) et \(z\neq\mathrm{i}\)) appartient à la droite \((UV)\) privée de \(U\) et \(V\) si et seulement si \(\dfrac{z-1}{z-\mathrm{i}}\) est un réel non nul.

\(M\in(UV)\) privée de \(U\) et \(V\) \(\iff\) \(\vec{MU}\) et \(\vec{MV}\) sont colinéaires et non nuls \(\iff\) il existe un réel \(k\neq 0\) tel que \(1-z=k(\mathrm{i}-z)\) \(\iff\) \(\dfrac{z-1}{z-\mathrm{i}}=k\) avec \(k\) réel non nul. On a aussi \(k\neq 1\) automatiquement, puisque \(1\neq\mathrm{i}\). C’est l’équivalence demandée.

3. b. On demande l’image par \(f\) de la droite \((UV)\) privée de \(U\) et de \(V\).

Soit \(M\) sur \((UV)\), \(M\neq U\), \(M\neq V\) (la droite ne passe pas par \(O\), donc \(z\neq 0\)). D’après 3. a., \(\frac{z-1}{z-\mathrm{i}}\) est réel non nul, donc son argument vaut \(0\ [\pi]\). Par 2. c. :

\[\arg(\frac{z^{\prime}-1}{z^{\prime}-\mathrm{i}})=-\frac{\pi}{2}\ [\pi].\]

D’après 1. b. (avec \(A=M^{\prime}\), \(B=V\), \(C=U\)), cet argument est l’angle \((\vec{M^{\prime}V},\vec{M^{\prime}U})\). Il vaut \(\pm\frac{\pi}{2}\) : le triangle \(UM^{\prime}V\) est rectangle en \(M^{\prime}\), donc \(M^{\prime}\) est sur le cercle \(\Gamma\) de diamètre \([UV]\), distinct de \(U\) et \(V\).

Réciproquement, \(f\) est sa propre réciproque (\(\frac{1}{\overline{z^{\prime}}}=z\)) : si \(M^{\prime}\) est sur \(\Gamma\), distinct de \(U\), \(V\) et de \(O\), le même calcul lu dans l’autre sens montre que \(M=f(M^{\prime})\) est sur \((UV)\). Il faut exclure \(O\), qui est sur \(\Gamma\) (l’angle \(\widehat{UOV}\) est droit) mais n’est l’image d’aucun point. Conclusion : l’image de la droite \((UV)\) privée de \(U\) et \(V\) est le cercle de diamètre \([UV]\) privé des points \(U\), \(V\) et \(O\).

Exercice 3 (spécialité) :

Arithmétique : Bézout, Gauss et congruences – 5 points, candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : restitution organisée des connaissances

1. On demande d’énoncer les théorèmes de Bézout et de Gauss.

• Théorème de Bézout : deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(au+bv=1\).
• Théorème de Gauss : soient \(a\), \(b\), \(c\) trois entiers relatifs non nuls. Si \(a\) divise \(bc\) et si \(a\) est premier avec \(b\), alors \(a\) divise \(c\).

2. On demande de démontrer le théorème de Gauss à l’aide de celui de Bézout.

Puisque \(a\) divise \(bc\), il existe un entier \(k\) tel que \(bc=ka\). Puisque \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, Bézout fournit des entiers \(u\), \(v\) tels que \(au+bv=1\). En multipliant par \(c\) : \(acu+bcv=c\), soit \(acu+kav=c\), c’est-à-dire \(c=a(cu+kv)\). Comme \(cu+kv\) est un entier, \(a\) divise \(c\).

Partie B

On étudie le système \((S)\) : \(n\equiv 13\ [19]\) et \(n\equiv 6\ [12]\), d’inconnue l’entier relatif \(n\).

1. On demande de justifier l’existence d’entiers \(u\), \(v\) tels que \(19u+12v=1\), puis de vérifier que \(N=13\times 12v+6\times 19u\) est solution de \((S)\).

L’algorithme d’Euclide donne : \(19=12\times 1+7\), \(12=7\times 1+5\), \(7=5\times 1+2\), \(5=2\times 2+1\), \(2=1\times 2+0\). Le dernier reste non nul est \(1\), donc \(\mathrm{PGCD}(19\,;12)=1\) (d’ailleurs \(19\) est premier et ne divise pas \(12\)). D’après Bézout, il existe \((u\,;v)\) tel que \(19u+12v=1\).

Vérification : de \(19u+12v=1\) on tire \(12v\equiv 1\ [19]\) et \(19u\equiv 1\ [12]\). Alors :

• modulo 19 : \(N\equiv 13\times 12v\equiv 13\times 1=13\ [19]\) (le terme \(6\times 19u\) est multiple de 19) ;
• modulo 12 : \(N\equiv 6\times 19u\equiv 6\times 1=6\ [12]\) (le terme \(13\times 12v\) est multiple de 12).

\(N\) est donc solution de \((S)\).

2. a. Soit \(n_0\) une solution de \((S)\). On demande de vérifier que \((S)\) équivaut à : \(n\equiv n_0\ [19]\) et \(n\equiv n_0\ [12]\).

Comme \(n_0\equiv 13\ [19]\) et \(n_0\equiv 6\ [12]\), la condition \(n\equiv 13\ [19]\) équivaut à \(n\equiv n_0\ [19]\) et la condition \(n\equiv 6\ [12]\) à \(n\equiv n_0\ [12]\), par transitivité de la congruence. D’où l’équivalence.

2. b. On demande de démontrer que ce dernier système équivaut à \(n\equiv n_0\ [12\times 19]\).

Si \(n\equiv n_0\ [12\times 19]\), alors \(n-n_0\) est multiple de \(228\), donc de \(19\) et de \(12\) : les deux congruences sont vraies.

Réciproquement, si \(n-n_0=19k\) et \(n-n_0=12k^{\prime}\) avec \(k\), \(k^{\prime}\) entiers, alors \(12\) divise \(19k\). Comme \(12\) et \(19\) sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne \(12\) divise \(k\) : \(k=12k^{\prime\prime}\). Donc \(n-n_0=19\times 12\,k^{\prime\prime}\), soit \(n\equiv n_0\ [228]\).

3. a. On demande de trouver un couple \((u\,;v)\) solution de \(19u+12v=1\) et d’en déduire \(N\).

On remonte l’algorithme d’Euclide :

\[1=5-2\times 2=5-2\,(7-5)=3\times 5-2\times 7=3\,(12-7)-2\times 7=3\times 12-5\times 7=3\times 12-5\,(19-12)=8\times 12-5\times 19.\]

Donc \((u\,;v)=(-5\,;8)\) convient : \(19\times (-5)+12\times 8=-95+96=1\). Alors \(N=13\times 12\times 8+6\times 19\times (-5)=1248-570\), soit \(N=678\).

3. b. On demande l’ensemble des solutions de \((S)\).

\(n_0=678\) est solution d’après 1. D’après 2., \(n\) est solution si et seulement si \(n\equiv 678\ [228]\). Comme \(678=2\times 228+222\), cela s’écrit \(n\equiv 222\ [228]\). Les solutions sont les entiers \(n=222+228k\), \(k\in\mathbb{Z}\) (on vérifie : \(222=11\times 19+13\) et \(222=18\times 12+6\)).

4. Un entier naturel \(n\) a pour reste \(6\) dans la division par \(12\) et \(13\) dans la division par \(19\). On demande le reste \(r\) de sa division par \(228=12\times 19\).

Ces hypothèses signifient exactement que \(n\) est solution de \((S)\). Donc \(n\equiv 222\ [228]\) avec \(0\leq\, 222\lt 228\) : le reste est \(r=222\).

Exercice 4 :

Probabilités et adéquation à une loi équirépartie – 5 points, commun à tous les candidats

Un tireur vise un ballon. À chaque tir, la probabilité de le crever est \(0{,}2\), et les tirs sont indépendants. Il s’arrête dès que le ballon est crevé.

1. a. On demande la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact.

À chaque tir, la probabilité de ne pas crever le ballon est \(1-0{,}2=0{,}8\). Le ballon est intact après deux tirs si les deux tirs échouent ; par indépendance, \(p=0{,}8\times 0{,}8=0{,}64\).

1. b. On demande la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon.

C’est l’événement contraire du précédent : \(1-0{,}64=0{,}36\). On retrouve ce résultat en distinguant « réussite au 1er tir » et « échec puis réussite » : \(0{,}2+0{,}8\times 0{,}2=0{,}36\). La probabilité est \(0{,}36\).

1. c. On demande la probabilité \(p_n\) que \(n\) tirs suffisent pour crever le ballon.

L’événement contraire est « les \(n\) tirs échouent », de probabilité \(0{,}8^n\) par indépendance. Donc \(p_n=1-0{,}8^n\).

1. d. On demande la plus petite valeur de \(n\) telle que \(p_n\gt 0{,}99\).

\[p_n\gt 0{,}99\iff 0{,}8^n\lt 0{,}01\iff n\ln 0{,}8\lt \ln 0{,}01\iff n\gt\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}\approx 20{,}64,\]

en divisant par \(\ln 0{,}8\lt 0\), ce qui change le sens de l’inégalité. Il faut donc au moins \(n=21\) tirs (contrôle : \(0{,}8^{20}\approx 0{,}0115\) et \(0{,}8^{21}\approx 0{,}0092\)).

2. Le tireur lance maintenant un dé tétraédrique équilibré (faces 1 à 4) et a droit à autant de tirs que le numéro obtenu. On demande la probabilité que le ballon soit crevé.

Chaque face sort avec la probabilité \(\frac{1}{4}\). Sachant que la face \(k\) est sortie, la probabilité de crever le ballon est \(p_k=1-0{,}8^k\) : \(p_1=0{,}2\), \(p_2=0{,}36\), \(p_3=0{,}488\), \(p_4=0{,}5904\).

Par la formule des probabilités totales :

\[P(C)=\frac{1}{4}(0{,}2+0{,}36+0{,}488+0{,}5904)=\frac{1{,}6384}{4}=0{,}4096.\]

La probabilité que le ballon soit crevé est \(0{,}4096\) (les quatre termes sont \(0{,}05\), \(0{,}09\), \(0{,}122\) et \(0{,}1476\)).

3. On soupçonne le dé d’être truqué. Sur 200 lancers, la face 1 est sortie 58 fois, la face 2 49 fois, la face 3 52 fois et la face 4 41 fois.

a. On demande les fréquences de sortie \(f_k\) de chaque face.

Face \(k\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
Nombre de sorties	\(58\)	\(49\)	\(52\)	\(41\)
Fréquence \(f_k\)	\(0{,}29\)	\(0{,}245\)	\(0{,}26\)	\(0{,}205\)

(par exemple \(f_1=\frac{58}{200}=0{,}29\)).

b. On demande de calculer \(d^2=\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(f_k-\frac{1}{4})^2\).

\[d^2=(0{,}04)^2+(-0{,}005)^2+(0{,}01)^2+(-0{,}045)^2=0{,}0016+0{,}000025+0{,}0001+0{,}002025.\]

Donc \(d^2=0{,}00375\).

c. On a simulé 1 000 séries de 200 lancers d’un dé équilibré ; le neuvième décile de la série des \(d^2\) obtenus vaut \(D_9=0{,}00452\). On demande si l’on peut considérer le dé comme équilibré au risque de 10 %.

Par définition du neuvième décile, 90 % des valeurs de \(d^2\) obtenues avec un dé équilibré sont inférieures ou égales à \(0{,}00452\). La valeur observée \(d^2=0{,}00375\) vérifie \(0{,}00375\lt 0{,}00452\) : elle se situe dans la zone des 90 % de valeurs « normales ». On peut donc considérer, au risque de 10 %, que le dé n’est pas truqué.