Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques 2011 passé en France métropolitaine. L’épreuve comporte quatre exercices. Le premier porte sur les probabilités conditionnelles à partir d’un test de dépistage d’un virus (arbre pondéré, formule des probabilités totales), puis sur une loi binomiale. Le deuxième est un questionnaire sur les nombres complexes : rotation, médiatrice, cercle et demi-droite définis par un module ou un argument. Le troisième, le plus long, étudie la famille de fonctions \(f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\) : limites, dérivées, tangentes, puis une suite d’intégrales calculée par intégration par parties et encadrée pour obtenir sa limite. Le quatrième exercice propose, en enseignement obligatoire, la distance d’un point à un plan et l’intersection d’une sphère et d’un plan, et, en spécialité, les théorèmes de Bézout et de Gauss appliqués à un système de congruences. Chaque question est rappelée puis résolue pas à pas.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Probabilités conditionnelles et loi binomiale
On étudie un test de dépistage d’un virus. On note \(V\) l’événement « la personne est contaminée » et \(T\) l’événement « le test est positif ». On sait que 2 % de la population est contaminée, que le test est positif pour 99 % des personnes contaminées et qu’il est négatif pour 97 % des personnes non contaminées.
Partie A
1. a) On traduit les données de l’énoncé et on construit l’arbre pondéré :
\(P(V)=0{,}02\), \(P_V(T)=0{,}99\) et \(P_{\overline{V}}(\overline{T})=0{,}97\). On en déduit \(P(\overline{V})=0{,}98\), \(P_V(\overline{T})=0{,}01\) et \(P_{\overline{V}}(T)=0{,}03\).
b) On demande la probabilité que la personne soit contaminée et que son test soit positif :
\[P(V\cap T)=P(V)\times P_V(T)=0{,}02\times 0{,}99=0{,}0198.\]
\(P(V\cap T)=0{,}0198\).
2. On calcule la probabilité que le test soit positif. Les événements \(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :
\[P(T)=P(V\cap T)+P(\overline{V}\cap T)=0{,}02\times 0{,}99+0{,}98\times (1-0{,}97)=0{,}0198+0{,}0294=0{,}0492.\]
\(P(T)=0{,}0492\).
3. a) On cherche la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit réellement contaminée :
\[P_T(V)=\frac{P(V\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}0198}{0{,}0492}\approx 0{,}4024.\]
\(P_T(V)\approx 0{,}4024\) : moins d’une personne testée positive sur deux est réellement contaminée.
b) On cherche la probabilité qu’une personne dont le test est négatif ne soit pas contaminée :
\[P_{\overline{T}}(\overline{V})=\frac{P(\overline{V}\cap\overline{T})}{P(\overline{T})}=\frac{P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(\overline{T})}{1-P(T)}=\frac{0{,}98\times 0{,}97}{1-0{,}0492}=\frac{0{,}9506}{0{,}9508}\approx 0{,}9998.\]
\(P_{\overline{T}}(\overline{V})\approx 0{,}9998\) : un test négatif est donc très fiable.
Partie B
1. On choisit au hasard 10 personnes dans la population (tirages assimilés à des tirages avec remise) et \(X\) désigne le nombre de personnes contaminées. On justifie la loi de \(X\).
Pour chaque personne choisie, il n’y a que deux issues : « elle est contaminée » (succès, de probabilité \(p=0{,}02\)) ou « elle ne l’est pas ». C’est une épreuve de Bernoulli. On répète cette épreuve 10 fois de façon indépendante et \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}02\). Ainsi, pour tout entier \(k\) compris entre 0 et 10 :
\[P(X=k)=\binom\,{10}{k}\,0{,}02^k\times 0{,}98^{10-k}.\]
2. On calcule la probabilité qu’au moins deux des dix personnes soient contaminées, en passant par l’événement contraire « \(X=0\) ou \(X=1\) » :
\[P(X\geq\, 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}98^{10}-10\times 0{,}02\times 0{,}98^{9}\approx 0{,}0162.\]
\(P(X\geq\, 2)\approx 0{,}0162\).
Exercice 2 :
Nombres complexes, questionnaire (aucune justification n’était exigée)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) d’affixes respectives \(1\), \(\mathrm{i}\), \(-1\) et \(-\mathrm{i}\). Les justifications ci-dessous sont données pour comprendre les réponses.
1. On cherche l’affixe du point \(E\), image de \(D\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\). L’écriture complexe de cette rotation donne :
\[z_E-z_A=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}(z_D-z_A)\quad\text{soit}\quad z_E=1+(\frac12+\mathrm{i}\frac{\sqrt3}{2})(-1-\mathrm{i}).\]
En développant : \((\frac12+\mathrm{i}\frac{\sqrt3}{2})(-1-\mathrm{i})=\frac{\sqrt3-1}{2}-\mathrm{i}\,\frac{\sqrt3+1}{2}\), d’où
\[z_E=\frac{1+\sqrt3}{2}-\mathrm{i}\,\frac{1+\sqrt3}{2}=\frac{1+\sqrt3}{2}(1-\mathrm{i}).\]
\(z_E=\frac{1+\sqrt3}{2}(1-\mathrm{i})\).
2. On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z+\mathrm{i}|=|z-1|\). Or \(|z+\mathrm{i}|=|z-z_D|=DM\) et \(|z-1|=|z-z_A|=AM\). La condition s’écrit \(DM=AM\) : \(M\) est équidistant de \(A\) et de \(D\).
L’ensemble cherché est la médiatrice du segment \([AD]\) (c’est la droite d’équation \(y=-x\)).
3. On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) (avec \(z\neq -1\)) tels que \(\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}\) soit un imaginaire pur. On a \(\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}=\dfrac{z-z_D}{z-z_C}\).
- Si \(M=D\), le quotient vaut 0, qui est un imaginaire pur.
- Si \(M\) est distinct de \(C\) et de \(D\), le quotient est un imaginaire pur non nul si et seulement si son argument vaut \(\frac{\pi}{2}\) à \(\pi\) près, c’est-à-dire \((\vec{MC},\vec{MD})=\frac{\pi}{2}+k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\) : le triangle \(MCD\) est rectangle en \(M\).
L’ensemble cherché est le cercle de diamètre \([CD]\) privé du point \(C\).
4. On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(\arg(z-\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). Comme \(z-\mathrm{i}=z-z_B\), cela signifie \(M\neq B\) et \((\vec{u},\vec{BM})=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) : le vecteur \(\vec{BM}\) a la direction et le sens de \(-\vec{v}\).
L’ensemble cherché est la demi-droite \([BD)\) d’origine \(B\) passant par \(D\), privée du point \(B\) (en \(B\), \(z-\mathrm{i}=0\) n’a pas d’argument).
Exercice 3 :
Étude des fonctions \(f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\) et d’une suite d’intégrales
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(f_n\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\) et \(\mathcal{C}_n\) sa courbe représentative. L’énoncé représentait une courbe \(\mathcal{C}_k\) (pour un entier \(k\) non nul inconnu) et sa tangente \(T_k\) au point d’abscisse 1, qui coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse \(\frac45\).
Partie A
1. a) On étudie les limites de \(f_1(x)=x\mathrm{e}^{-x}\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
- En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to-\infty}f_1(x)=-\infty\).
- En \(+\infty\) : \(f_1(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\) et, par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f_1(x)=0\).
b) On étudie les variations de \(f_1\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables et, pour tout réel \(x\) :
\[f_1^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+x\times (-\mathrm{e}^{-x})=(1-x)\,\mathrm{e}^{-x}.\]
Comme \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\), \(f_1^{\prime}(x)\) est du signe de \(1-x\) : positif sur \(]-\infty;1]\), négatif sur \([1;+\infty[\). Le maximum vaut \(f_1(1)=\mathrm{e}^{-1}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f_1^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f_1\) | \(-\infty\) | croissante | \(\mathrm{e}^{-1}\) | décroissante | \(0\) |
c) On justifie que \(k\geq\, 2\). La fonction \(f_1\) atteint son maximum en \(x=1\) : sa tangente au point d’abscisse 1 est horizontale et ne coupe donc pas l’axe des abscisses. Or la tangente \(T_k\) représentée coupe l’axe des abscisses : la courbe \(\mathcal{C}_k\) ne correspond pas à \(f_1\), donc \(k\neq 1\). Comme \(k\) est un entier naturel non nul, \(k\geq\, 2\).
2. a) On cherche les points communs à toutes les courbes \(\mathcal{C}_n\). Pour tout \(n\geq\, 1\), \(f_n(0)=0\) et \(f_n(1)=1^n\mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}\). Toutes les courbes \(\mathcal{C}_n\) passent par l’origine \(O\) et par le point de coordonnées \((1;\mathrm{e}^{-1})\).
b) On calcule la dérivée de \(f_n\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables et, pour tout réel \(x\) :
\[f_n^{\prime}(x)=nx^{n-1}\mathrm{e}^{-x}-x^n\mathrm{e}^{-x}=x^{n-1}(n-x)\,\mathrm{e}^{-x}.\]
3. On montre que \(f_3\) admet un maximum en 3. D’après la question précédente, \(f_3^{\prime}(x)=x^2(3-x)\,\mathrm{e}^{-x}\). Pour tout réel \(x\), \(x^2\mathrm{e}^{-x}\geq\, 0\) (nul seulement en 0), donc \(f_3^{\prime}(x)\) est du signe de \(3-x\) : \(f_3\) est croissante sur \(]-\infty;3]\) et décroissante sur \([3;+\infty[\). \(f_3\) admet donc un maximum en 3, égal à \(f_3(3)=27\,\mathrm{e}^{-3}\).
4. a) On cherche l’abscisse du point d’intersection de \(T_k\) avec l’axe des abscisses. La tangente \(T_k\) a pour équation \(y=f_k^{\prime}(1)(x-1)+f_k(1)\), avec \(f_k(1)=\mathrm{e}^{-1}\) et \(f_k^{\prime}(1)=1\times (k-1)\,\mathrm{e}^{-1}=(k-1)\,\mathrm{e}^{-1}\). Elle coupe l’axe des abscisses lorsque :
\[(k-1)\,\mathrm{e}^{-1}(x-1)+\mathrm{e}^{-1}=0\iff (k-1)(x-1)=-1\iff x=1-\frac{1}{k-1}=\frac{k-2}{k-1},\]
en divisant par \(\mathrm{e}^{-1}\neq 0\) et par \(k-1\neq 0\) (car \(k\geq\, 2\)). \(T_k\) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse \(\dfrac{k-2}{k-1}\).
b) On détermine \(k\). Sur la figure, cette abscisse vaut \(\frac45\), donc :
\[\frac{k-2}{k-1}=\frac45\iff 5(k-2)=4(k-1)\iff 5k-10=4k-4\iff k=6.\]
La courbe représentée est \(\mathcal{C}_6\) : \(k=6\).
Partie B
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\).
1. On calcule \(I_1\) par une intégration par parties. On pose \(u(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\), d’où \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0;1]\).
\[I_1=\Big[-x\,\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1(-\mathrm{e}^{-x})\mathrm{d}x=-\mathrm{e}^{-1}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1=-\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1}+1.\]
\(I_1=1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}\approx 0{,}264\).
2. a) On interprète \(I_n\) et on conjecture le sens de variation de \((I_n)\). Sur \([0;1]\), \(f_n\) est continue et positive, donc \(I_n\) est l’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre \(\mathcal{C}_n\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\). Sur \([0;1]\), plus \(n\) est grand, plus la courbe \(\mathcal{C}_n\) est basse (car \(x^{n+1}\leq\, x^n\)) : on conjecture que la suite \((I_n)\) est décroissante.
b) On démontre cette conjecture. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), par linéarité de l’intégrale :
\[I_{n+1}-I_n=\int_0^1 x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x-\int_0^1 x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}(x-1)\,\mathrm{d}x.\]
Sur \([0;1]\), \(x^n\geq\, 0\), \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\) et \(x-1\leq\, 0\), donc \(x^n\mathrm{e}^{-x}(x-1)\leq\, 0\). Par positivité de l’intégrale (bornes dans l’ordre croissant), \(I_{n+1}-I_n\leq\, 0\). La suite \((I_n)\) est décroissante.
c) On montre que la suite converge. Pour tout \(x\in[0;1]\), \(f_n(x)\geq\, 0\), donc \(I_n\geq\, 0\) : la suite est minorée par 0. Étant décroissante et minorée, la suite \((I_n)\) est convergente.
d) On détermine sa limite. Pour tout \(x\in[0;1]\), \(-x\leq\, 0\) donc \(0\lt\mathrm{e}^{-x}\leq\, 1\), et en multipliant par \(x^n\geq\, 0\) : \(0\leq\, f_n(x)\leq\, x^n\). En intégrant sur \([0;1]\) :
\[0\leq\, I_n\leq\,\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x=[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1=\frac{1}{n+1}.\]
Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0\).
Exercice 4 :
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité : géométrie dans l’espace
Partie A : distance d’un point à un plan
On considère un plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(ax+by+cz+d=0\) (avec \(a\), \(b\), \(c\) non tous nuls), le vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\), un point \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) et \(H\) son projeté orthogonal sur \(\mathcal{P}\).
1. On montre que \(|\vec{n}\cdot\vec{M_0H}|=M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}\). Puisque \(H\) est le projeté orthogonal de \(M_0\) sur \(\mathcal{P}\), la droite \((M_0H)\) est orthogonale au plan : les vecteurs \(\vec{n}\) et \(\vec{M_0H}\) sont colinéaires. Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires vaut, en valeur absolue, le produit de leurs normes :
\[|\vec{n}\cdot\vec{M_0H}|=\|\vec{n}\|\times M_0H=M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\]
2. On montre que \(\vec{n}\cdot\vec{M_0H}=-(ax_0+by_0+cz_0+d)\). Notons \((\alpha;\beta;\gamma)\) les coordonnées de \(H\). Avec l’expression analytique du produit scalaire :
\[\vec{n}\cdot\vec{M_0H}=a(\alpha-x_0)+b(\beta-y_0)+c(\gamma-z_0)=(a\alpha+b\beta+c\gamma)-ax_0-by_0-cz_0.\]
Comme \(H\) appartient à \(\mathcal{P}\), \(a\alpha+b\beta+c\gamma=-d\), d’où \(\vec{n}\cdot\vec{M_0H}=-ax_0-by_0-cz_0-d\).
3. On en déduit la formule de la distance. En égalant les deux expressions :
\[M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}=|ax_0+by_0+cz_0+d|,\quad\text{donc}\quad d(M_0,\mathcal{P})=M_0H=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]
Partie B
On considère les points \(A(4;1;5)\), \(B(-3;2;0)\), \(C(1;3;6)\) et \(F(-7;0;4)\).
1. a) On montre que \(A\), \(B\), \(C\) définissent un plan d’équation \(x+2y-z-1=0\). On a \(\vec{AB}(-7;1;-5)\) et \(\vec{AC}(-3;2;1)\). Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (\(\frac{-7}{-3}\neq\frac12\)), donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires : les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et définissent un plan.
On vérifie ensuite que leurs coordonnées satisfont l’équation proposée :
- \(A\) : \(4+2\times 1-5-1=0\) ;
- \(B\) : \(-3+2\times 2-0-1=0\) ;
- \(C\) : \(1+2\times 3-6-1=0\).
Comme \(x+2y-z-1=0\) est l’équation d’un plan et que ce plan contient les trois points non alignés, c’est une équation du plan \((ABC)\). (On pouvait aussi vérifier que \(\vec{n}(1;2;-1)\) est orthogonal à \(\vec{AB}\) et à \(\vec{AC}\) : \(-7+2+5=0\) et \(-3+4-1=0\).)
b) On calcule la distance \(d\) du point \(F\) au plan \((ABC)\) avec la formule de la partie A :
\[d=\frac{|-7+2\times 0-4-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{12}{\sqrt6}=2\sqrt6.\]
\(d=2\sqrt6\).
2. a) On cherche une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(F\) et perpendiculaire au plan \((ABC)\). Elle est dirigée par le vecteur normal \(\vec{n}(1;2;-1)\) :
\[\Delta :\ \begin{cases}x=-7+t\\ y=2t\\ z=4-t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]
b) On détermine les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(F\) sur le plan, c’est-à-dire l’intersection de \(\Delta\) et du plan. On remplace dans l’équation du plan :
\[(-7+t)+2(2t)-(4-t)-1=0\iff 6t-12=0\iff t=2.\]
D’où \(H(-5;4;2)\).
c) On retrouve la distance \(d\) :
\[FH=\sqrt{(-5+7)^2+(4-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6.\]
On retrouve bien \(d=FH=2\sqrt6\).
3. a) On considère la sphère \(\mathcal{S}\) de centre \(F\) et de rayon 6. Son équation est \((x+7)^2+y^2+(z-4)^2=36\). Pour \(B(-3;2;0)\) : \((4)^2+2^2+(-4)^2=16+4+16=36\). Le point \(B\) appartient à la sphère \(\mathcal{S}\).
b) On détermine l’intersection de \(\mathcal{S}\) et du plan \((ABC)\). Comme \(d=2\sqrt6\lt 6\), cette intersection est un cercle ; son centre est le projeté orthogonal de \(F\) sur le plan, c’est-à-dire \(H\). Le point \(B\) est sur la sphère et dans le plan, donc sur ce cercle, et le triangle \(FHB\) est rectangle en \(H\). Par le théorème de Pythagore :
\[BH=\sqrt{FB^2-FH^2}=\sqrt{36-(2\sqrt6)^2}=\sqrt{36-24}=\sqrt{12}=2\sqrt3.\]
L’intersection est le cercle de centre \(H(-5;4;2)\) et de rayon \(2\sqrt3\).
Exercice 4 :
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité : arithmétique
Partie A : restitution organisée de connaissances
1. On démontre le théorème de Gauss à partir du théorème de Bézout : si \(a\) divise \(bc\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(a\) divise \(c\).
Comme \(a\) divise \(bc\), il existe un entier relatif \(k\) tel que \(bc=ka\). Comme \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, le théorème de Bézout fournit deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(au+bv=1\). En multipliant par \(c\) :
\[c=acu+bcv=acu+kav=a(cu+kv).\]
Comme \(cu+kv\) est un entier relatif, \(a\) divise \(c\).
2. On montre que si \(p\) et \(q\) sont deux entiers naturels premiers entre eux et si \(a\equiv 0\ [p]\) et \(a\equiv 0\ [q]\), alors \(a\equiv 0\ [pq]\).
Il existe deux entiers relatifs \(k\) et \(t\) tels que \(a=kp=tq\). Ainsi \(p\) divise \(tq\) ; comme \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne que \(p\) divise \(t\) : il existe un entier relatif \(u\) tel que \(t=pu\). Donc \(a=pqu\), c’est-à-dire \(a\equiv 0\ [pq]\).
Partie B
On note \(\mathcal{S}\) l’ensemble des entiers relatifs \(n\) vérifiant simultanément \(n\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv 3\ [5]\).
1. a) On justifie l’existence de deux entiers \(u\) et \(v\) tels que \(17u+5v=1\). Les nombres 17 et 5 sont premiers (et distincts), donc premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(17u+5v=1\).
b) On pose \(n_0=3\times 17u+9\times 5v\) et on vérifie que \(n_0\in\mathcal{S}\).
- Comme \(17u=1-5v\), on a \(n_0=3(1-5v)+45v=3+30v\equiv 3\ [5]\).
- Comme \(5v=1-17u\), on a \(n_0=51u+9(1-17u)=9-102u=9-17\times 6u\equiv 9\ [17]\).
Donc \(n_0\) appartient à \(\mathcal{S}\).
c) On donne un exemple de tel entier \(n_0\). Le couple \((u;v)=(-2;7)\) convient car \(17\times (-2)+5\times 7=-34+35=1\). On obtient :
\[n_0=3\times 17\times (-2)+9\times 5\times 7=-102+315=213.\]
\(n_0=213\) (vérification : \(213=12\times 17+9\) et \(213=42\times 5+3\)).
2. a) Soit \(n\) un élément de \(\mathcal{S}\) ; on montre que \(n-n_0\equiv 0\ [85]\). Comme \(n\) et \(n_0\) sont dans \(\mathcal{S}\), \(n\equiv n_0\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv n_0\equiv 3\ [5]\), donc \(n-n_0\equiv 0\ [17]\) et \(n-n_0\equiv 0\ [5]\). Puisque 17 et 5 sont premiers entre eux, la question A.2 donne \(n-n_0\equiv 0\ [85]\).
b) On démontre l’équivalence : \(n\in\mathcal{S}\) si et seulement s’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(n=43+85k\).
- Sens direct. Si \(n\in\mathcal{S}\), d’après 2. a), il existe un entier relatif \(t\) tel que \(n=213+85t=43+85(t+2)\). En posant \(k=t+2\), on a bien \(n=43+85k\).
- Réciproque. Si \(n=43+85k\) avec \(k\in\mathbb{Z}\), alors, comme \(85=5\times 17\), \(n\equiv 43\ [17]\) et \(n\equiv 43\ [5]\). Or \(43=2\times 17+9\) et \(43=8\times 5+3\), donc \(n\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv 3\ [5]\) : \(n\in\mathcal{S}\).
\(\mathcal{S}\) est l’ensemble des entiers de la forme \(43+85k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
3. On cherche le nombre \(n\) de jetons de Zoé. Les données de l’énoncé se traduisent par \(300\leq\, n\leq\, 400\), \(n\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv 3\ [5]\).
Ainsi \(n\in\mathcal{S}\) et \(n=43+85k\) avec \(k\) entier. De plus :
\[300\leq\, 43+85k\leq\, 400\iff 257\leq\, 85k\leq\, 357\iff 3{,}02\ldots\leq\, k\leq\, 4{,}2\ldots\]
d’où \(k=4\) et \(n=43+85\times 4=383\). Zoé possède 383 jetons.
