Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques de Nouvelle-Calédonie, mars 2012 (enseignement obligatoire, épreuve de 4 heures). Le sujet comporte quatre exercices. Le premier mêle polynôme de degré 3 à coefficients complexes, factorisation, puis géométrie dans le plan complexe : symétrique d’un point, cercle, rotation et démonstration qu’un quadrilatère est un carré. Le deuxième est un exercice de probabilités avec un dé et deux urnes : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle puis loi binomiale. Le troisième est un vrai ou faux justifié sur les suites, les exponentielles complexes, les primitives, la distance d’un point à un plan et une équation différentielle. Le dernier est un problème d’optimisation d’aire : intégration par parties, aire d’un triangle et d’un trapèze, étude d’une fonction grâce à sa dérivée seconde et au théorème des valeurs intermédiaires. Chaque réponse est justifiée et les calculs sont détaillés.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Nombres complexes et géométrie, 5 points, commun à tous les candidats
Partie A
On étudie le polynôme \( P(z)=z^3-(2+\text{i}\sqrt{2})z^2+2(1+\text{i}\sqrt{2})z-2\text{i}\sqrt{2} \) défini sur \( \mathbb{C} \).
1. On doit vérifier que \( z_0=\text{i}\sqrt{2} \) est une racine de \( P \).
Calculons les puissances : \( (\text{i}\sqrt{2})^2=\text{i}^2\times 2=-2 \) et \( (\text{i}\sqrt{2})^3=-2\times \text{i}\sqrt{2}=-2\text{i}\sqrt{2} \). Donc :
\[ P(\text{i}\sqrt{2})=-2\text{i}\sqrt{2}-(2+\text{i}\sqrt{2})(-2)+2(1+\text{i}\sqrt{2})\text{i}\sqrt{2}-2\text{i}\sqrt{2} \]
\[ =-2\text{i}\sqrt{2}+4+2\text{i}\sqrt{2}+2\text{i}\sqrt{2}-4-2\text{i}\sqrt{2}=0. \]
\( \text{i}\sqrt{2} \) est donc bien solution de l’équation \( P(z)=0 \).
2. a. On cherche deux réels \( a \) et \( b \) tels que \( P(z)=(z-\text{i}\sqrt{2})(z^2+az+b) \).
En développant :
\[ (z-\text{i}\sqrt{2})(z^2+az+b)=z^3+(a-\text{i}\sqrt{2})z^2+(b-a\text{i}\sqrt{2})z-b\text{i}\sqrt{2}. \]
On identifie avec les coefficients de \( P \) :
- terme constant : \( -b\text{i}\sqrt{2}=-2\text{i}\sqrt{2} \), donc \( b=2 \) ;
- coefficient de \( z^2 \) : \( a-\text{i}\sqrt{2}=-2-\text{i}\sqrt{2} \), donc \( a=-2 \) ;
- vérification sur le coefficient de \( z \) : \( b-a\text{i}\sqrt{2}=2+2\text{i}\sqrt{2} \), ce qui est bien \( 2(1+\text{i}\sqrt{2}) \).
Donc \( a=-2 \), \( b=2 \) et \( P(z)=(z-\text{i}\sqrt{2})(z^2-2z+2) \).
2. b. On résout \( P(z)=0 \) dans \( \mathbb{C} \). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
- \( z-\text{i}\sqrt{2}=0 \) donne \( z=\text{i}\sqrt{2} \) ;
- \( z^2-2z+2=0 \) : le discriminant vaut \( \Delta=(-2)^2-4\times 1\times 2=-4=(2\text{i})^2 \lt 0 \), d’où deux solutions complexes conjuguées \( z=\dfrac{2+2\text{i}}{2}=1+\text{i} \) et \( z=1-\text{i} \).
L’ensemble des solutions est \( S=\{\text{i}\sqrt{2}\,;\,1+\text{i}\,;\,1-\text{i}\} \).
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \( (O\,;\,\vec{u},\vec{v}) \). On considère les points A, B, J, K d’affixes \( z_A=1+\text{i} \), \( z_B=1-\text{i} \), \( z_J=\text{i}\sqrt{2} \) et \( z_K=\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}} \).
1. On place les points. Pour K, on écrit \( z_K=\cos\dfrac{3\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}71+0{,}71\,\text{i} \). La figure ci-dessous est complétée avec les points L, D et C des questions suivantes.
2. L est le symétrique de J par rapport à K : on doit montrer que \( z_L=-\sqrt{2} \).
K est alors le milieu de [JL], donc \( z_K=\dfrac{z_J+z_L}{2} \), soit \( z_L=2z_K-z_J \) :
\[ z_L=2(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2})-\text{i}\sqrt{2}=-\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}=-\sqrt{2}. \]
L’affixe de L est bien \( -\sqrt{2} \).
3. On montre que A, B, J et L sont sur un même cercle. Calculons leurs distances à l’origine O :
- \( OA=|1+\text{i}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) ;
- \( OB=|1-\text{i}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \) ;
- \( OJ=|\text{i}\sqrt{2}|=\sqrt{2} \) ;
- \( OL=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2} \).
Les quatre points sont à la distance \( \sqrt{2} \) de O : ils appartiennent au cercle de centre O et de rayon \( \sqrt{2} \).
4. a. D a pour affixe \( z_D=-1+\text{i} \) et \( r \) est la rotation de centre O qui envoie J sur D. On cherche son angle.
On a \( |z_D|=\sqrt{2}=|z_J| \) (condition nécessaire pour qu’une rotation de centre O envoie J sur D), et :
\[ \dfrac{z_D}{z_J}=\dfrac{-1+\text{i}}{\text{i}\sqrt{2}}=\dfrac{(-1+\text{i})(-\text{i})}{\sqrt{2}}=\dfrac{\text{i}+1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}. \]
Autrement dit, un argument de \( z_J \) est \( \dfrac{\pi}{2} \), un argument de \( z_D \) est \( \dfrac{3\pi}{4} \), et \( \dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4} \).
La rotation \( r \) a pour angle \( \dfrac{\pi}{4} \) : son écriture complexe est \( z^{\prime}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z \).
4. b. C est l’image de L par \( r \) :
\[ z_C=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z_L=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2})(-\sqrt{2})=-\dfrac{2}{2}-\text{i}\dfrac{2}{2}=-1-\text{i}. \]
L’affixe de C est \( z_C=-1-\text{i} \).
5. Nature du quadrilatère ABCD.
- \( z_A+z_C=(1+\text{i})+(-1-\text{i})=0 \) et \( z_B+z_D=(1-\text{i})+(-1+\text{i})=0 \) : les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O, donc ABCD est un parallélogramme.
- \( AC=|z_C-z_A|=|-2-2\text{i}|=2\sqrt{2} \) et \( BD=|z_D-z_B|=|-2+2\text{i}|=2\sqrt{2} \) : les diagonales ont la même longueur, c’est donc un rectangle.
- \( \dfrac{z_D-z_B}{z_C-z_A}=\dfrac{-2+2\text{i}}{-2-2\text{i}}=\dfrac{-1+\text{i}}{-1-\text{i}}=\dfrac{(-1+\text{i})(-1+\text{i})}{(-1)^2+1^2}=\dfrac{-2\text{i}}{2}=-\text{i} \), nombre imaginaire pur : les diagonales sont perpendiculaires, c’est donc aussi un losange.
Un rectangle qui est aussi un losange est un carré : ABCD est un carré (de côté \( AB=|z_B-z_A|=|-2\text{i}|=2 \)), inscrit dans le cercle de la question 3.
Exercice 2 :
Probabilités conditionnelles et loi binomiale, 4 points, commun à tous les candidats
On lance un dé équilibré à six faces. Si l’on obtient 1, on tire une boule dans l’urne \( U_1 \) (3 rouges, 1 noire) ; sinon, on tire dans l’urne \( U_2 \) (3 rouges, 2 noires). On note A l’événement « obtenir 1 au dé » et B « obtenir une boule noire ».
1. a. Construction de l’arbre pondéré.
\( P(A)=\dfrac{1}{6} \) et \( P(\overline{A})=\dfrac{5}{6} \). Dans \( U_1 \), il y a 1 boule noire sur 4 : \( P_A(B)=\dfrac{1}{4} \). Dans \( U_2 \), il y a 2 boules noires sur 5 : \( P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{2}{5} \).
1. b. On montre que \( P(B)=\dfrac{3}{8} \).
Les événements A et \( \overline{A} \) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{24}+\dfrac{8}{24}=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}. \]
La probabilité d’obtenir une boule noire est bien \( \dfrac{3}{8}=0{,}375 \).
1. c. Sachant que la boule est noire, on cherche la probabilité d’avoir obtenu 1 au dé, c’est-à-dire \( P_B(A) \) :
\[ P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{24}}{\dfrac{3}{8}}=\dfrac{1}{24}\times \dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{9}. \]
\( P_B(A)=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}111 \).
2. Une partie est gagnée si la boule tirée est noire. On joue dix parties indépendantes (la boule est remise dans son urne après chaque partie) et X est le nombre de parties gagnées.
On répète 10 fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli dont le succès « la partie est gagnée » a pour probabilité \( p=\dfrac{3}{8} \). X suit donc la loi binomiale de paramètres \( n=10 \) et \( p=\dfrac{3}{8} \) : pour tout entier \( k \) entre 0 et 10,
\[ P(X=k)=\binom\,{10}{k}(\dfrac{3}{8})^k(\dfrac{5}{8})^{10-k}. \]
2. a. Probabilité de gagner exactement trois parties, arrondie au millième :
\[ P(X=3)=\binom\,{10}{3}(\dfrac{3}{8})^3(\dfrac{5}{8})^{7}=120\times \dfrac{27}{512}\times (\dfrac{5}{8})^{7}\approx 0{,}2357. \]
\( P(X=3)\approx 0{,}236 \).
2. b. Probabilité de gagner au moins une partie. On passe par l’événement contraire « ne gagner aucune partie » :
\[ P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-(\dfrac{5}{8})^{10}\approx 1-0{,}0091=0{,}9909. \]
\( P(X\geq\, 1)\approx 0{,}991 \).
2. c. L’énoncé donne les valeurs de \( P(X\lt k) \) pour \( k \) allant de 1 à 10. On cherche à partir de quelle valeur de l’entier \( N \) la probabilité de l’événement « gagner au moins \( N \) parties » devient inférieure à \( \dfrac{1}{10} \).
L’événement « gagner au moins \( N \) parties » est le contraire de « gagner strictement moins de \( N \) parties », donc :
\[ P(X\geq\, N)=1-P(X\lt N). \]
Ainsi \( P(X\geq\, N)\lt 0{,}1 \) équivaut à \( P(X\lt N)\gt 0{,}9 \). On lit dans le tableau :
| \( N \) | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \( P(X\lt N) \) | 0,6943 | 0,8725 | 0,9616 | 0,9922 |
| \( P(X\geq\, N) \) | 0,3057 | 0,1275 | 0,0384 | 0,0078 |
La suite \( P(X\lt N) \) est croissante ; elle dépasse 0,9 pour la première fois pour \( N=7 \) (pour \( N=6 \), on a seulement \( P(X\geq\, 6)\approx 0{,}128\gt 0{,}1 \)).
C’est à partir de \( N=7 \) que la probabilité de gagner au moins \( N \) parties est inférieure à \( \dfrac{1}{10} \).
Exercice 3 :
Vrai ou faux justifié, 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1. Proposition 1 : \( (a_n) \) est une suite non constante de réels et \( u_n=\sin(a_n) \). La proposition affirme qu’on peut choisir \( (a_n) \) de sorte que \( (u_n) \) converge vers \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).
Prenons par exemple \( a_n=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{n+1} \) pour tout entier naturel \( n \). Cette suite n’est pas constante (elle est strictement décroissante) et elle converge vers \( \dfrac{\pi}{4} \). La fonction sinus étant continue en \( \dfrac{\pi}{4} \), la suite \( u_n=\sin(a_n) \) converge vers \( \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).
La proposition 1 est VRAIE. (Autre exemple encore plus simple : \( a_n=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi \), non constante, pour laquelle \( u_n=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) pour tout \( n \).)
2. Proposition 2 : les points \( M_n \) ont pour affixes \( z_n=\text{e}^{\frac{2\text{i}n\pi}{3}} \) ; on affirme que O, \( M_1 \) et \( M_{20} \) sont alignés.
On a \( z_1=\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} \), d’argument \( \dfrac{2\pi}{3} \), et \( z_{20}=\text{e}^{\frac{40\text{i}\pi}{3}} \). Or \( \dfrac{40\pi}{3}=12\pi+\dfrac{4\pi}{3} \), donc \( z_{20}=\text{e}^{\frac{4\text{i}\pi}{3}} \), d’argument \( \dfrac{4\pi}{3} \).
Les points O, \( M_1 \), \( M_{20} \) sont alignés si et seulement si les arguments de \( z_1 \) et \( z_{20} \) diffèrent d’un multiple de \( \pi \). Ici \( \dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3} \), qui n’est pas un multiple de \( \pi \). On peut aussi le voir avec \( \dfrac{z_{20}}{z_1}=\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \), qui n’est pas réel.
La proposition 2 est FAUSSE.
3. Proposition 3 : trois courbes représentent (dans le désordre) une fonction \( f \), sa dérivée \( f^{\prime} \) et sa primitive \( F \) qui s’annule en 0. On affirme que la courbe 3 représente \( f \).
D’après les graduations de l’énoncé, la courbe 1 est celle de \( x\mapsto -4\sin(2x) \), la courbe 2 celle de \( x\mapsto 2\cos(2x) \) et la courbe 3 celle de \( x\mapsto \sin(2x) \).
Supposons que la courbe 3 représente \( f \). La primitive \( F \) vérifie \( F(0)=0 \) : ce ne peut pas être la courbe 2, qui passe par le point de coordonnées \( (0\,;\,2) \). Ce serait donc la courbe 1. Mais alors on devrait avoir \( F^{\prime}=f \). Or en \( x=\dfrac{\pi}{4} \), la courbe 1 atteint un minimum (elle vaut \( -4 \)) : sa tangente y est horizontale et \( F^{\prime}(\dfrac{\pi}{4})=0 \), alors que la courbe 3 donne \( f(\dfrac{\pi}{4})=1\neq 0 \). C’est contradictoire.
Le bon ordre est en fait : \( F \) = courbe 3 (\( \sin 2x \), nulle en 0), \( f=F^{\prime} \) = courbe 2 (\( 2\cos 2x \)) et \( f^{\prime} \) = courbe 1 (\( -4\sin 2x \)).
La proposition 3 est FAUSSE : la courbe 3 représente la primitive \( F \), pas \( f \).
4. Proposition 4 : A a pour coordonnées \( (0\,;\,0\,;\,3) \) et le plan \( \mathcal{P} \) a pour équation \( 2x-y+z=0 \). On affirme que la sphère de centre A et de rayon 2 coupe le plan \( \mathcal{P} \).
La sphère et le plan sont sécants si et seulement si la distance de A au plan est strictement inférieure au rayon. Par la formule de la distance d’un point à un plan :
\[ d(A\,;\,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times 0-0+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}22. \]
Comme \( \dfrac{\sqrt{6}}{2}\lt 2 \) (car \( \dfrac{6}{4}\lt 4 \)), le plan coupe la sphère selon un cercle.
La proposition 4 est VRAIE.
5. Proposition 5 : on considère l’équation différentielle \( (E) : y^{\prime}+2y=4 \) ; on affirme que la solution vérifiant \( y(0)=0 \) est représentée par la courbe \( C_4 \).
La fonction constante \( x\mapsto 2 \) est une solution particulière de \( (E) \) puisque \( 0+2\times 2=4 \). Les solutions de l’équation homogène \( y^{\prime}+2y=0 \) sont les fonctions \( x\mapsto K\text{e}^{-2x} \), \( K\in\mathbb{R} \). Les solutions de \( (E) \) sont donc les fonctions \( x\mapsto 2+K\text{e}^{-2x} \).
La condition \( y(0)=0 \) donne \( 2+K=0 \), soit \( K=-2 \). La solution cherchée est :
\[ y(x)=2-2\text{e}^{-2x}. \]
Cette fonction s’annule en 0, est strictement croissante (sa dérivée \( 4\text{e}^{-2x} \) est positive), tend vers \( 2 \) en \( +\infty \) et vers \( -\infty \) en \( -\infty \). Parmi les quatre courbes, c’est \( C_3 \) qui a ces propriétés. La courbe \( C_4 \), elle, reste en dessous de \( y=1{,}1 \) sur la figure et ne peut donc pas approcher la droite d’équation \( y=2 \) ; de plus, en \( x=1 \), la solution vaut \( 2-2\text{e}^{-2}\approx 1{,}73 \), valeur bien supérieure à celle lue sur \( C_4 \).
La proposition 5 est FAUSSE : la solution est représentée par la courbe \( C_3 \).
Exercice 4 :
Intégration, étude de fonction et optimisation d’aire, 6 points, commun à tous les candidats
On note \( \mathcal{C} \) la courbe de \( f(x)=x\text{e}^x \) sur \( [0\,;\,1] \). Pour \( a \) dans \( [0\,;\,1] \), A et B sont les points de \( \mathcal{C} \) d’abscisses \( a \) et 1, et \( A^{\prime}(a\,;\,0) \), \( B^{\prime}(1\,;\,0) \). On cherche \( a \) pour que l’aire de la partie comprise entre les segments [OA], [AB] et la courbe \( \mathcal{C} \) soit minimale.
Partie A
1. On montre que \( \displaystyle\int_0^1 x\text{e}^x\,\text{d}x=1 \) par une intégration par parties.
On pose \( u(x)=x \) et \( v^{\prime}(x)=\text{e}^x \), d’où \( u^{\prime}(x)=1 \) et \( v(x)=\text{e}^x \). Ces fonctions sont dérivables et leurs dérivées continues sur \( [0\,;\,1] \), donc :
\[ \int_0^1 x\text{e}^x\,\text{d}x=\Big[x\text{e}^x\Big]_0^1-\int_0^1 \text{e}^x\,\text{d}x=(1\times \text{e}-0)-\Big[\text{e}^x\Big]_0^1=\text{e}-(\text{e}-1)=1. \]
On a bien \( \displaystyle\int_0^1 x\text{e}^x\,\text{d}x=1 \).
2. a. Aire du triangle \( OAA^{\prime} \) et aire du trapèze \( ABB^{\prime}A^{\prime} \).
Le triangle \( OAA^{\prime} \) est rectangle en \( A^{\prime} \), de base \( OA^{\prime}=a \) et de hauteur \( AA^{\prime}=f(a)=a\text{e}^a \) :
\[ \mathcal{A}(OAA^{\prime})=\dfrac{1}{2}\times a\times a\text{e}^a=\dfrac{1}{2}a^2\text{e}^a. \]
Le trapèze \( ABB^{\prime}A^{\prime} \) a pour bases parallèles \( AA^{\prime}=a\text{e}^a \) et \( BB^{\prime}=f(1)=\text{e} \), et pour hauteur \( A^{\prime}B^{\prime}=1-a \) :
\[ \mathcal{A}(ABB^{\prime}A^{\prime})=\dfrac{(a\text{e}^a+\text{e})(1-a)}{2}=\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a^2\text{e}^a+\text{e}-a\text{e}). \]
On retrouve bien \( \dfrac{1}{2}(-a^2\text{e}^a+a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e}) \).
2. b. On en déduit l’aire \( \mathcal{A}(a) \) de la partie hachurée.
La fonction \( f \) est convexe sur \( [0\,;\,1] \) (on a \( f^{\prime\prime}(x)=(x+2)\text{e}^x\gt 0 \)), donc ses cordes [OA] et [AB] sont situées au-dessus de la courbe. La réunion du triangle et du trapèze est le domaine situé sous la ligne brisée OAB ; en lui retirant le domaine situé sous la courbe \( \mathcal{C} \) entre \( x=0 \) et \( x=1 \) (d’aire \( \displaystyle\int_0^1 f(x)\,\text{d}x=1 \) puisque \( f\geq\, 0 \)), il reste exactement la partie hachurée :
\[ \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}a^2\text{e}^a+\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a^2\text{e}^a+\text{e}-a\text{e})-1=\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e})-1. \]
L’aire hachurée vaut \( \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e}-2) \) unités d’aire.
Partie B
On étudie \( g(x)=x(\text{e}^x-\text{e})+\text{e}-2 \) sur \( [0\,;\,+\infty[ \). On remarque que \( g(a)=a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e}-2 \), donc \( \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}g(a) \).
1. Calcul de \( g^{\prime} \) et de \( g^{\prime\prime} \). La fonction \( g \) est dérivable sur \( [0\,;\,+\infty[ \) ; avec la dérivée d’un produit :
\[ g^{\prime}(x)=1\times (\text{e}^x-\text{e})+x\,\text{e}^x=(1+x)\text{e}^x-\text{e}. \]
En dérivant à nouveau : \( g^{\prime\prime}(x)=1\times \text{e}^x+(1+x)\text{e}^x=(2+x)\text{e}^x \).
On a bien \( g^{\prime}(x)=(1+x)\text{e}^x-\text{e} \) et \( g^{\prime\prime}(x)=(2+x)\text{e}^x \).
2. Variations de \( g^{\prime} \). Pour tout \( x\geq\, 0 \), \( \text{e}^x\gt 0 \) et \( 2+x\geq\, 2\gt 0 \), donc \( g^{\prime\prime}(x)\gt 0 \).
La fonction \( g^{\prime} \) est strictement croissante sur \( [0\,;\,+\infty[ \).
3. On montre que \( g^{\prime}(x)=0 \) a une unique solution \( \alpha \) dans \( [0\,;\,+\infty[ \).
- \( g^{\prime}(0)=1-\text{e}\lt 0 \) ;
- \( g^{\prime}(1)=2\text{e}-\text{e}=\text{e}\gt 0 \) ;
- pour \( x\geq\, 1 \), \( g^{\prime}(x)\geq\, g^{\prime}(1)\gt 0 \) par croissance, donc \( g^{\prime} \) ne s’annule pas sur \( [1\,;\,+\infty[ \).
Sur \( [0\,;\,1] \), la fonction \( g^{\prime} \) est continue et strictement croissante, et 0 est compris entre \( g^{\prime}(0) \) et \( g^{\prime}(1) \) : d’après le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l’équation \( g^{\prime}(x)=0 \) admet une unique solution \( \alpha \) dans \( [0\,;\,1] \), donc dans \( [0\,;\,+\infty[ \).
À la calculatrice : \( g^{\prime}(0{,}5)=1{,}5\sqrt{\text{e}}-\text{e}\approx -0{,}245\lt 0 \) et \( g^{\prime}(0{,}6)=1{,}6\,\text{e}^{0{,}6}-\text{e}\approx 0{,}197\gt 0 \), donc \( 0{,}5\lt\alpha\lt 0{,}6 \). Plus précisément \( \alpha\approx 0{,}557 \).
\( \alpha\approx 0{,}6 \) à \( 10^{-1} \) près.
4. Variations de \( g \). Comme \( g^{\prime} \) est strictement croissante et s’annule en \( \alpha \), on a \( g^{\prime}(x)\lt 0 \) sur \( [0\,;\,\alpha[ \) et \( g^{\prime}(x)\gt 0 \) sur \( ]\alpha\,;\,+\infty[ \).
| \( x \) | \( 0 \) | \( \alpha \) | \( +\infty \) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \( g^{\prime}(x) \) | \( – \) | 0 | \( + \) | ||
| variations de \( g \) | \( \text{e}-2 \) | décroissante | \( g(\alpha) \) | croissante |
\( g \) est strictement décroissante sur \( [0\,;\,\alpha] \) et strictement croissante sur \( [\alpha\,;\,+\infty[ \) ; elle admet un minimum en \( \alpha \).
5. Conclusion : l’aire hachurée est minimale pour une valeur de \( a \) à préciser.
D’après la partie A, pour tout \( a\in[0\,;\,1] \), l’aire hachurée vaut \( \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}g(a) \). D’après la question 4, \( g \) atteint son minimum sur \( [0\,;\,+\infty[ \) en \( \alpha \), et \( \alpha \) appartient à \( [0\,;\,1] \) : c’est donc aussi son minimum sur \( [0\,;\,1] \). Ainsi \( \mathcal{A} \) est minimale pour \( a=\alpha \).
L’aire hachurée est minimale pour \( a=\alpha\approx 0{,}6 \) (plus précisément \( \alpha\approx 0{,}557 \)), et cette aire minimale vaut \( \dfrac{1}{2}g(\alpha)\approx 0{,}088 \) unité d’aire.
