Corrigé du bac S de maths 2012 en France (spécialité)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Vrai ou faux à partir de la courbe de la dérivée, 4 points

On connaît la courbe représentative de la dérivée \(f^{\prime}\) d’une fonction \(f\) définie sur \([-3\,;\,2]\), ainsi que \(f(0) = -1\). La courbe de \(f^{\prime}\) est sous l’axe des abscisses sur \([-3\,;\,-1]\), coupe cet axe en \(-1\), puis est au-dessus sur \(]-1\,;\,2]\), avec \(f^{\prime}(0) = 1\). On en déduit le tableau suivant.

\(x\)	\(-3\)		\(-1\)		\(0\)		\(2\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(1\)	\(+\)
variations de \(f\)		décroissante		croissante	\(-1\)	croissante

1. Affirmation : sur \([-3\,;\,-1]\), \(f^{\prime}(x) \leq\, 0\).

Sur cet intervalle, la courbe de \(f^{\prime}\) est située sous l’axe des abscisses (elle le touche en \(-1\)), donc \(f^{\prime}(x) \leq\, 0\). L’affirmation est vraie.

2. Affirmation : \(f\) est croissante sur \([-1\,;\,2]\).

Sur \([-1\,;\,2]\), la courbe de \(f^{\prime}\) est au-dessus de l’axe des abscisses, donc \(f^{\prime}(x) \geq\, 0\) et \(f\) est croissante sur cet intervalle. L’affirmation est vraie.

3. Affirmation : pour tout \(x\) de \([-1\,;\,0]\), \(f(x) \geq\, -1\).

Sur \(]-1\,;\,0]\), \(f^{\prime}(x) \gt 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([-1\,;\,0]\). Pour tout \(x\) de \([-1\,;\,0[\), on a donc \(f(x) \lt f(0)\), c’est-à-dire \(f(x) \lt -1\). Par exemple \(f(-1) \lt -1\), ce qui contredit l’affirmation. L’affirmation est fausse.

4. Affirmation : la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) de \(f\) au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées \((1\,;\,0)\).

La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\), soit, avec \(f^{\prime}(0) = 1\) et \(f(0) = -1\) :

\[y = x – 1.\]

Pour \(x = 1\), on obtient \(y = 1 – 1 = 0\) : le point \((1\,;\,0)\) est bien sur cette tangente. L’affirmation est vraie.

Exercice 2 :

Probabilités, cabinet de recrutement, 5 points

Un cabinet de recrutement examine les dossiers des candidats à un poste de cadre. On note \(D\) l’événement « le dossier est retenu », \(E_1\) « le candidat réussit le premier entretien », \(E_2\) « le candidat réussit le second entretien » et \(F\) « le candidat n’est pas recruté ». Le dossier est retenu avec la probabilité 0,4 ; un candidat dont le dossier est retenu réussit le premier entretien avec la probabilité 0,7 ; un candidat qui a réussi le premier entretien réussit le second avec la probabilité 0,25. Un candidat est recruté lorsqu’il franchit les trois étapes.

1. a. Arbre pondéré de la situation.

b. On demande \(p(E_1)\). Un candidat ne peut passer le premier entretien que si son dossier est retenu, donc \(E_1 = D \cap E_1\) :

\[p(E_1) = p(D) \times p_D(E_1) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28.\]

c. On demande \(p(F)\). Un candidat n’est pas recruté s’il est écarté à l’une des trois étapes ; ces trois cas sont incompatibles :

\[p(F) = p(\overline{D}) + p(D \cap \overline{E_1}) + p(D \cap E_1 \cap \overline{E_2}) = 0{,}6 + 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}7 \times 0{,}75.\]
\[p(F) = 0{,}6 + 0{,}12 + 0{,}21 = 0{,}93.\]

On peut vérifier : la probabilité d’être recruté est \(0{,}4 \times 0{,}7 \times 0{,}25 = 0{,}07\) et \(1 – 0{,}07 = 0{,}93\). \(p(F) = 0{,}93\).

2. Cinq amis postulent, leurs candidatures étant traitées de façon indépendante. \(X\) désigne le nombre d’entre eux qui sont recrutés.

a. Loi de \(X\). Chaque candidature est une épreuve de Bernoulli : le succès « le candidat est recruté » a pour probabilité \(p = 1 – 0{,}93 = 0{,}07\). On répète cinq fois cette épreuve de manière identique et indépendante, et \(X\) compte le nombre de succès. \(X\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0{,}07\).

b. Probabilité qu’exactement deux des cinq amis soient recrutés :

\[p(X = 2) = \binom\,{5}{2} \times 0{,}07^2 \times 0{,}93^3 = 10 \times 0{,}0049 \times 0{,}804357 \approx 0{,}039.\]

La probabilité cherchée vaut environ 0,039.

3. Combien de dossiers le cabinet doit-il traiter pour que la probabilité de recruter au moins un candidat dépasse 0,999 ?

Si le cabinet traite \(n\) dossiers de façon indépendante, le nombre \(Y\) de candidats recrutés suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,07. On a \(p(Y = 0) = 0{,}93^n\), donc \(p(Y \geq\, 1) = 1 – 0{,}93^n\). On résout :

\[1 – 0{,}93^n \gt 0{,}999 \iff 0{,}93^n \lt 0{,}001 \iff n\ln(0{,}93) \lt \ln(0{,}001)\]

en appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). Comme \(\ln(0{,}93) \lt 0\), on change le sens de l’inégalité en divisant :

\[n \gt \frac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}93)} \approx 95{,}19.\]

Comme \(n\) est entier, le cabinet doit traiter au moins 96 dossiers. Vérification : \(0{,}93^{95} \approx 0{,}00101 \gt 0{,}001\) et \(0{,}93^{96} \approx 0{,}00094 \lt 0{,}001\).

Exercice 3 :

Étude de fonction et suite \(u_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} – \ln n\), 6 points

Partie A

\(f\) est définie sur \([1\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x+1} + \ln(\dfrac{x}{x+1})\).

1. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

On a \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty\), donc par quotient \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x+1} = 0\).

Pour \(x \geq\, 1\), \(\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}}\), donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x+1} = 1\). Comme \(\lim\limits_{X \to 1} \ln X = \ln 1 = 0\), par composition \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(\dfrac{x}{x+1}) = 0\).

Par somme : \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

2. Dérivée et variations de \(f\).

Posons \(h(x) = \dfrac{x}{x+1}\), strictement positive sur \([1\,;\,+\infty[\). On a \(h^{\prime}(x) = \dfrac{1 \times (x+1) – x \times 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}\). La dérivée de \(\ln(h)\) est \(\dfrac{h^{\prime}}{h}\), donc :

\[f^{\prime}(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+1)^2} \times \frac{x+1}{x} = -\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x(x+1)} = \frac{-x + (x+1)}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x(x+1)^2}.\]

Sur \([1\,;\,+\infty[\), \(x \gt 0\) et \((x+1)^2 \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\).

De plus \(f(1) = \dfrac{1}{2} + \ln(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{2} – \ln 2 \approx -0{,}19\).

\(x\)	\(1\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)
variations de \(f\)	\(\frac{1}{2} – \ln 2\)	croissante	\(0\)

3. Signe de \(f\).

\(f\) est strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\) et tend vers 0 en \(+\infty\). Si l’on avait \(f(a) \geq\, 0\) pour un réel \(a \geq\, 1\), on aurait \(f(x) \gt f(a) \geq\, 0\) pour tout \(x \gt a\), puis une limite strictement positive : impossible. Donc \(f(x) \lt 0\) pour tout \(x \geq\, 1\) (en particulier \(f(1) \approx -0{,}19 \lt 0\)).

Partie B

On considère la suite définie pour tout entier \(n \geq\, 1\) par \(u_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n} – \ln n\). L’algorithme proposé demande \(n\), met \(u\) à 0, puis, pour \(i\) allant de 1 à \(n\), remplace \(u\) par \(u + \frac{1}{i}\), et affiche \(u\).

1. Valeur affichée pour \(n = 3\) : l’algorithme calcule simplement la somme des inverses,

\[u = 0 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}.\]

L’algorithme affiche \(\frac{11}{6}\) (il n’affiche pas \(u_3\), puisque \(\ln 3\) n’est pas retranché).

2. Algorithme modifié qui affiche \(u_n\) : il suffit de retrancher \(\ln n\) après la boucle.

Variables :     i et n sont des entiers naturels, u est un réel
Entrée :        demander à l'utilisateur la valeur de n
Initialisation : affecter à u la valeur 0
Traitement :    pour i variant de 1 à n
                    affecter à u la valeur u + 1/i
                fin pour
                affecter à u la valeur u - ln(n)
Sortie :        afficher u

3. Conjecture. Les valeurs obtenues diminuent quand \(n\) augmente (par exemple \(u_1 = 1\), \(u_2 \approx 0{,}807\), \(u_3 \approx 0{,}735\), \(u_{10} \approx 0{,}626\), \(u_{100} \approx 0{,}582\)). On peut conjecturer que la suite \((u_n)\) est décroissante ; elle semble se stabiliser, mais ces valeurs ne permettent pas de conjecturer sa limite avec précision.

Partie C

1. Sens de variation de \((u_n)\). Pour tout \(n \geq\, 1\) :

\[u_{n+1} – u_n = (1 + \dots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} – \ln(n+1)) – (1 + \dots + \frac{1}{n} – \ln n) = \frac{1}{n+1} – \ln(n+1) + \ln n.\]
\[u_{n+1} – u_n = \frac{1}{n+1} + \ln(\frac{n}{n+1}) = f(n).\]

D’après la partie A, \(f\) est strictement négative sur \([1\,;\,+\infty[\), donc \(u_{n+1} – u_n \lt 0\) : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante, ce qui confirme la conjecture.

2. a. Montrer que pour tout entier \(k \geq\, 1\) : \(\ln(k+1) – \ln k \leq\, \dfrac{1}{k}\).

Pour \(x\) dans \([k\,;\,k+1]\), on a \(0 \lt k \leq\, x\), et la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc \(\dfrac{1}{x} \leq\, \dfrac{1}{k}\), soit \(\dfrac{1}{k} – \dfrac{1}{x} \geq\, 0\). Par positivité de l’intégrale (les bornes sont dans l’ordre \(k \lt k+1\)) :

\[\int_k^{k+1} (\frac{1}{k} – \frac{1}{x}) \mathrm{d}x \geq\, 0.\]

Par linéarité, \(\displaystyle\int_k^{k+1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \leq\, \int_k^{k+1} \frac{1}{k}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{k}\,\big((k+1) – k\big) = \frac{1}{k}\). Or

\[\int_k^{k+1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln x\big]_k^{k+1} = \ln(k+1) – \ln k.\]

On obtient bien \(\ln(k+1) – \ln k \leq\, \dfrac{1}{k}\) (inégalité (1)).

b. Montrer que \(\ln(n+1) \leq\, 1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{n}\).

On écrit l’inégalité (1) pour \(k = 1, 2, \dots, n\) :

\[\ln 2 – \ln 1 \leq\, 1,\quad \ln 3 – \ln 2 \leq\, \frac{1}{2},\quad \dots,\quad \ln(n+1) – \ln n \leq\, \frac{1}{n}.\]

En additionnant membre à membre, les termes intermédiaires s’annulent deux à deux (somme télescopique) :

\[\ln(n+1) – \ln 1 \leq\, 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}.\]

Comme \(\ln 1 = 0\) : \(\ln(n+1) \leq\, 1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{n}\).

c. En déduire que \(u_n \geq\, 0\). En retranchant \(\ln n\) aux deux membres :

\[u_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} – \ln n \geq\, \ln(n+1) – \ln n = \ln(\frac{n+1}{n}).\]

Or \(\dfrac{n+1}{n} \gt 1\), donc \(\ln(\dfrac{n+1}{n}) \gt 0\). Ainsi \(u_n \gt 0\), donc \(u_n \geq\, 0\) pour tout \(n \geq\, 1\).

3. Convergence. La suite \((u_n)\) est décroissante (question 1) et minorée par 0 (question 2. c.). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) est convergente. (Sa limite, voisine de 0,577, est appelée constante d’Euler ; elle n’était pas demandée.)

Exercice 4 :

Spécialité : similitude directe et transformation \(z \mapsto \frac{1}{z}\), 5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u}, \vec{v})\). On note \(D\) la droite d’équation \(y = x + 2\) et \(A\), \(B\), \(C\) les points d’affixes \(z_A = -1 + \mathrm{i}\), \(z_B = 2\mathrm{i}\), \(z_C = 1 + 3\mathrm{i}\). La transformation \(f\) associe au point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime} = \dfrac{1}{(1+\mathrm{i})z + 3 – \mathrm{i}}\). On l’écrit \(f = h \circ g\), où \(g\) a pour écriture complexe \(z^{\prime} = (1+\mathrm{i})z + 3 – \mathrm{i}\) et \(h\) a pour écriture complexe \(z^{\prime} = \dfrac{1}{z}\).

1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent à \(D\).

\(A(-1\,;\,1)\) : \(x_A + 2 = -1 + 2 = 1 = y_A\), donc \(A \in D\). \(B(0\,;\,2)\) : \(0 + 2 = 2\), donc \(B \in D\). \(C(1\,;\,3)\) : \(1 + 2 = 3\), donc \(C \in D\). Les trois points sont sur \(D\).

2. Point \(K\) qui n’a pas d’image par \(f\). \(f(M)\) n’existe pas lorsque le dénominateur est nul :

\[(1+\mathrm{i})z + 3 – \mathrm{i} = 0 \iff z = \frac{-3 + \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(-3 + \mathrm{i})(1 – \mathrm{i})}{1^2 + 1^2} = \frac{-3 + 3\mathrm{i} + \mathrm{i} + 1}{2} = -1 + 2\mathrm{i}.\]

Le point \(K\) a pour affixe \(z_K = -1 + 2\mathrm{i}\). Comme \(x_K + 2 = -1 + 2 = 1 \neq 2 = y_K\), \(K\) n’appartient pas à \(D\) : \(f\) est donc définie en tout point de \(D\).

3. a. Nature et éléments caractéristiques de \(g\).

L’écriture complexe de \(g\) est de la forme \(z^{\prime} = az + b\) avec \(a = 1 + \mathrm{i}\) et \(b = 3 – \mathrm{i}\), et \(a \neq 1\) : \(g\) est une similitude directe qui n’est pas une translation.

• Rapport : \(|a| = |1 + \mathrm{i}| = \sqrt{2}\).
• Angle : \(1 + \mathrm{i} = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\), donc l’angle est \(\frac{\pi}{4}\).
• Centre : le point invariant, d’affixe \(\omega\) telle que \(\omega = (1 + \mathrm{i})\omega + 3 – \mathrm{i}\), soit \(-\mathrm{i}\,\omega = 3 – \mathrm{i}\), d’où \(\omega = \dfrac{3 – \mathrm{i}}{-\mathrm{i}} = \mathrm{i}(3 – \mathrm{i}) = 1 + 3\mathrm{i}\).

\(g\) est la similitude directe de centre \(C(1 + 3\mathrm{i})\), de rapport \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\frac{\pi}{4}\).

b. Images \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) de \(A\), \(B\), \(C\) par \(g\).

\[z_{A_1} = (1 + \mathrm{i})(-1 + \mathrm{i}) + 3 – \mathrm{i} = -2 + 3 – \mathrm{i} = 1 – \mathrm{i},\]
\[z_{B_1} = (1 + \mathrm{i})(2\mathrm{i}) + 3 – \mathrm{i} = -2 + 2\mathrm{i} + 3 – \mathrm{i} = 1 + \mathrm{i},\]

et \(C_1 = C\), car \(C\) est le centre de la similitude : \(z_{C_1} = 1 + 3\mathrm{i}\).

c. Image \(D_1\) de la droite \(D\) par \(g\). Une similitude transforme une droite en une droite ; comme \(A\) et \(B\) sont sur \(D\), \(D_1\) est la droite \((A_1B_1)\). Les points \(A_1(1\,;\,-1)\) et \(B_1(1\,;\,1)\) ont la même abscisse 1 : \(D_1\) est la droite d’équation \(x = 1\) (elle passe bien par \(C_1 = C(1\,;\,3)\)).

4. a. Images par \(h\) de \(A_1\), \(B_1\) et \(C_1\) :

\[z_{h(A_1)} = \frac{1}{1 – \mathrm{i}} = \frac{1 + \mathrm{i}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}, \qquad z_{h(B_1)} = \frac{1}{1 + \mathrm{i}} = \frac{1 – \mathrm{i}}{2} = \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\mathrm{i},\]
\[z_{h(C_1)} = \frac{1}{1 + 3\mathrm{i}} = \frac{1 – 3\mathrm{i}}{1^2 + 3^2} = \frac{1}{10} – \frac{3}{10}\mathrm{i}.\]

b. Montrer que, pour \(z \neq 0\) : \(|\dfrac{1}{z} – \dfrac{1}{2}| = \dfrac{1}{2} \iff |2 – z| = |z|\).

\[|\frac{1}{z} – \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \iff |\frac{2 – z}{2z}| = \frac{1}{2} \iff \frac{|2 – z|}{2|z|} = \frac{1}{2} \iff \frac{|2 – z|}{|z|} = 1 \iff |2 – z| = |z|.\]

c. Image de \(D_1\) par \(h\). Soit \(M(z)\) un point de \(D_1\), avec \(z = x + \mathrm{i}y\). On a \(z \neq 0\) (car \(x = 1\)) et :

\[|2 – z| = |z| \iff (2 – x)^2 + y^2 = x^2 + y^2 \iff 4 – 4x = 0 \iff x = 1.\]

Ainsi \(M \in D_1 \iff |2 – z| = |z|\). Si \(M^{\prime}(z^{\prime})\) est l’image de \(M \in D_1\) par \(h\), alors \(z^{\prime} = \frac{1}{z}\) et, d’après la question b :

\[|2 – z| = |z| \Longrightarrow |\frac{1}{z} – \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \Longrightarrow |z^{\prime} – \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\]

Donc \(M^{\prime}\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(I(\frac{1}{2})\) et de rayon \(\frac{1}{2}\) : l’image de \(D_1\) par \(h\) est contenue dans \(\mathcal{C}\). On retrouve que les trois points de la question 4. a. sont sur ce cercle ; par exemple \(|\frac{1}{10} – \frac{3}{10}\mathrm{i} – \frac{1}{2}| = \sqrt{0{,}16 + 0{,}09} = \frac{1}{2}\).

d. Réciproque : tout point de \(\mathcal{C}\) distinct de \(O\) est l’image par \(h\) d’un point de \(D_1\).

Soit \(M^{\prime}(z^{\prime})\) un point de \(\mathcal{C}\) avec \(z^{\prime} \neq 0\). Posons \(z = \dfrac{1}{z^{\prime}}\), de sorte que \(z^{\prime} = \dfrac{1}{z}\), c’est-à-dire \(M^{\prime} = h(M)\) avec \(M(z)\). Alors :

\[|z^{\prime} – \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \Longrightarrow |\frac{1}{z} – \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \Longrightarrow |2 – z| = |z| \Longrightarrow M \in D_1.\]

Tout point de \(\mathcal{C}\) distinct de \(O\) est donc l’image d’un point de \(D_1\) par \(h\). Le point \(O\), lui, n’est l’image d’aucun point, car \(\frac{1}{z}\) n’est jamais nul. L’image de \(D_1\) par \(h\) est donc exactement le cercle \(\mathcal{C}\) privé de \(O\).

5. Image de \(D\) par \(f\). Comme \(f = h \circ g\), l’image de \(D\) par \(f\) est l’image par \(h\) de \(g(D) = D_1\). D’après la question 4 : l’image de la droite \(D\) par \(f\) est le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(I(\frac{1}{2})\) et de rayon \(\frac{1}{2}\), privé du point \(O\).