Voici le corrigé du bac ES de mathématiques 2017 en France métropolitaine, pour les candidats qui n’avaient pas choisi la spécialité (sujet obligatoire, également passé par les élèves de L). L’épreuve comporte quatre exercices. Le premier traite des probabilités autour du temps d’attente en caisse : loi uniforme, loi normale, loi binomiale et intervalle de fluctuation. Le deuxième étudie l’évolution des adhérents d’un club grâce à une suite arithmético-géométrique, une inéquation résolue avec le logarithme népérien et un algorithme de somme. Le troisième porte sur une fonction avec exponentielle : variations, convexité et point d’inflexion, position relative de deux courbes et calcul d’aire par intégrale. Le dernier exercice découvre la loi de Benford sur le premier chiffre des nombres. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Probabilités : lois uniforme, normale, binomiale et échantillonnage
1. a) Le temps d’attente \(T_1\) (en minutes) à la première caisse suit la loi uniforme sur \([0\,;12]\). On cherche la probabilité que l’attente dépasse 5 minutes. Pour une loi uniforme sur \([a\,;b]\), la probabilité d’un intervalle est le quotient de sa longueur par \(b-a\) :
\[P(T_1 \gt 5)=P(5 \lt T_1 \leq\, 12)=\frac{12-5}{12-0}=\frac{7}{12}\approx 0{,}583.\]
La probabilité d’attendre plus de 5 minutes est \(\frac{7}{12}\approx 0{,}583\).
b) Le temps d’attente moyen est l’espérance de \(T_1\). Pour la loi uniforme sur \([a\,;b]\), \(E(T_1)=\frac{a+b}{2}\), d’où
\[E(T_1)=\frac{0+12}{2}=6.\]
Le temps d’attente moyen est de 6 minutes.
2. À la seconde caisse, le temps d’attente \(T_2\) suit une loi normale (d’espérance 5 et d’écart type 1,5). On cherche la probabilité d’attendre entre 45 secondes et 6 minutes. Comme 45 secondes valent \(\frac{45}{60}=0{,}75\) minute, on calcule à la calculatrice :
\[P(0{,}75 \lt T_2 \lt 6)\approx 0{,}745.\]
La probabilité cherchée vaut environ 0,745.
3. a) On observe 10 clients choisis au hasard, de façon indépendante (tirages assimilés à des tirages avec remise). Pour chacun, l’événement étudié (le « succès ») a une probabilité de 0,1. La variable \(X\) compte le nombre de succès : on répète 10 fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1.
\(X\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}1\).
b) On cherche la probabilité qu’aucun des 10 clients ne soit concerné :
\[P(X=0)=\binom\,{10}{0}\times 0{,}1^{0}\times 0{,}9^{10}=0{,}9^{10}\approx 0{,}349.\]
\(P(X=0)\approx 0{,}349\).
4. Le gérant annonce une proportion \(p=0{,}9\). Une enquête portant sur un échantillon de \(n=860\) clients en recense 763 qui vont dans le sens de cette affirmation. Faut-il la remettre en cause ?
Conditions d’utilisation de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
- \(n=860 \geq\, 30\) ;
- \(np=860\times 0{,}9=774 \geq\, 5\) ;
- \(n(1-p)=860\times 0{,}1=86 \geq\, 5\).
Elles sont remplies. L’intervalle de fluctuation est
\[I=[p-1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\,;\;p+1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]=[0{,}9-1{,}96\sqrt{\frac{0{,}09}{860}}\,;\;0{,}9+1{,}96\sqrt{\frac{0{,}09}{860}}]\approx[0{,}879\,;0{,}921].\]
(borne inférieure arrondie par défaut, borne supérieure par excès). La fréquence observée vaut
\[f=\frac{763}{860}\approx 0{,}887.\]
Comme \(f\in I\), l’enquête ne permet pas de remettre en question l’affirmation du gérant au seuil de 95 %.
Exercice 2 :
Suites arithmético-géométriques, logarithme, algorithme
Un club compte 900 adhérents au 1er janvier 2017. Chaque mois, 25 % des adhérents partent et 12 nouveaux s’inscrivent. On note \(u_n\) le nombre d’adhérents \(n\) mois après le 1er janvier 2017 : \(u_0=900\) et \(u_{n+1}=0{,}75\,u_n+12\).
Partie A
1. Calculons les premiers termes :
\[u_1=0{,}75\times 900+12=687,\qquad u_2=0{,}75\times 687+12=527{,}25.\]
Le 1er mars 2017 correspond à \(n=2\) : on peut estimer le nombre d’adhérents à environ 527.
2. a) On pose \(v_n=u_n-48\). Montrons que \((v_n)\) est géométrique. Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-48=0{,}75\,u_n+12-48=0{,}75\,u_n-36.\]
Or \(u_n=v_n+48\), donc
\[v_{n+1}=0{,}75\,(v_n+48)-36=0{,}75\,v_n+36-36=0{,}75\,v_n.\]
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=0{,}75\).
b) Son premier terme est \(v_0=u_0-48=900-48=852\), d’où, pour tout \(n\) :
\[v_n=v_0\times q^{n}=852\times 0{,}75^{n}.\]
c) On en déduit l’expression de \(u_n\) :
\[u_n=v_n+48=852\times 0{,}75^{n}+48.\]
3. La présidente démissionne lorsque le nombre d’adhérents devient inférieur à 100. On résout \(u_n \lt 100\) :
\[852\times 0{,}75^{n}+48 \lt 100 \iff 852\times 0{,}75^{n} \lt 52 \iff 0{,}75^{n} \lt \frac{52}{852}.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), donc l’inégalité est conservée :
\[n\ln(0{,}75) \lt \ln(\frac{52}{852}).\]
Comme \(\ln(0{,}75)\lt 0\), on change le sens de l’inégalité en divisant :
\[n \gt \frac{\ln(\frac{52}{852})}{\ln(0{,}75)}\approx 9{,}72.\]
Le plus petit entier qui convient est \(n=10\) (vérification : \(u_9\approx 112\) et \(u_{10}\approx 96\)). La présidente démissionnera au bout de 10 mois, c’est-à-dire le 1er novembre 2017.
Partie B
Chaque adhérent paie une cotisation mensuelle de 10 euros. On complète un algorithme qui calcule le montant total des cotisations perçues sur les 12 mois de l’année 2017 (de \(u_0\) à \(u_{11}\)).
1. Dans la boucle, on cumule le nombre d’adhérents du mois avant de calculer celui du mois suivant, puis on multiplie la somme obtenue par 10 à la fin :
Initialisation : U prend la valeur 900
S prend la valeur 0
Traitement : Pour i allant de 1 à 12
S prend la valeur S + U
U prend la valeur 0,75 × U + 12
Fin Pour
Sortie : Afficher S × 10
Les deux lignes à compléter sont donc « S prend la valeur S + U » et « Afficher S × 10 ».
2. Calculons la valeur affichée. En utilisant \(u_k=v_k+48\) :
\[u_0+u_1+\dots+u_{11}=(v_0+v_1+\dots+v_{11})+12\times 48.\]
La somme des 12 premiers termes de la suite géométrique \((v_n)\) vaut
\[v_0+\dots+v_{11}=852\times \frac{1-0{,}75^{12}}{1-0{,}75}\approx 3300{,}05,\]
donc
\[u_0+\dots+u_{11}\approx 3300{,}05+576=3876{,}05.\]
En multipliant par 10 : le montant total des cotisations de l’année 2017 est d’environ 38 760 euros.
Exercice 3 :
Fonction exponentielle, convexité, intégrale et aire
On étudie sur \([0\,;1]\) la fonction \(f\) définie par \(f(x)=(1-x)\,\mathrm{e}^{3x}\).
Partie A
1. Variations de \(f\). \(f\) est de la forme \(u\,v\) avec \(u(x)=1-x\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{3x}\), donc \(u^{\prime}(x)=-1\) et \(v^{\prime}(x)=3\mathrm{e}^{3x}\) :
\[f^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{3x}+3(1-x)\mathrm{e}^{3x}=(-3x+2)\,\mathrm{e}^{3x}.\]
Comme \(\mathrm{e}^{3x}\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-3x+2\), qui s’annule en \(x=\frac{2}{3}\), est positif avant et négatif après.
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{2}{3}\) | \(1\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(-3x+2\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(\mathrm{e}^{3x}\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(1\) | croissante | \(\frac{\mathrm{e}^{2}}{3}\approx 2{,}46\) | décroissante | \(0\) |
Valeurs : \(f(0)=1\times \mathrm{e}^{0}=1\), \(f(\frac{2}{3})=\frac{1}{3}\mathrm{e}^{2}\approx 2{,}46\) et \(f(1)=0\). \(f\) est croissante sur \([0\,;\frac{2}{3}]\) et décroissante sur \([\frac{2}{3}\,;1]\), avec un maximum \(\frac{\mathrm{e}^{2}}{3}\approx 2{,}46\).
2. Convexité et point d’inflexion. En dérivant \(f^{\prime}(x)=(2-3x)\mathrm{e}^{3x}\) de la même façon :
\[f^{\prime\prime}(x)=-3\mathrm{e}^{3x}+3(2-3x)\mathrm{e}^{3x}=(3-9x)\,\mathrm{e}^{3x}=3(1-3x)\,\mathrm{e}^{3x}.\]
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{1}{3}\) | \(1\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\,\mathrm{e}^{3x}\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(1-3x\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
\(f\) est convexe sur \([0\,;\frac{1}{3}]\) et concave sur \([\frac{1}{3}\,;1]\) : \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe en \(\frac{1}{3}\). Comme \(f(\frac{1}{3})=\frac{2}{3}\mathrm{e}^{1}\), la courbe de \(f\) admet un point d’inflexion de coordonnées \((\frac{1}{3}\,;\frac{2\mathrm{e}}{3})\approx(0{,}33\,;1{,}81)\).
Partie B
On considère aussi \(g(x)=x^{2}-2x+1=(1-x)^{2}\) sur \([0\,;1]\), de courbe \(\mathcal{C}_g\).
1. Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) ont en commun les points de coordonnées \((0\,;1)\) et \((1\,;0)\) :
\[f(0)=g(0)=1\qquad\text{et}\qquad f(1)=g(1)=0.\]
2. a) Montrons que \(\mathrm{e}^{3x}-1\geq\, 0\) pour tout \(x\in[0\,;1]\). Si \(x\geq\, 0\), alors \(3x\geq\, 0\) ; la fonction exponentielle étant croissante, \(\mathrm{e}^{3x}\geq\, \mathrm{e}^{0}=1\). Donc \(\mathrm{e}^{3x}-1\geq\, 0\) sur \([0\,;1]\).
b) Pour \(x\in[0\,;1]\), on a \(\mathrm{e}^{3x}-1\geq\, 0\) et \(x\geq\, 0\) ; la somme de deux nombres positifs est positive : \(\mathrm{e}^{3x}-1+x\geq\, 0\) (avec égalité seulement pour \(x=0\)).
c) Position relative des courbes. On factorise par \(1-x\) :
\[f(x)-g(x)=(1-x)\mathrm{e}^{3x}-(1-x)^{2}=(1-x)(\mathrm{e}^{3x}-(1-x))=(1-x)(\mathrm{e}^{3x}-1+x).\]
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|
| \(1-x\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) |
| \(\mathrm{e}^{3x}-1+x\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)-g(x)\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) |
Sur \([0\,;1]\), \(f(x)-g(x)\geq\, 0\) : la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\), les deux courbes se coupant en \(x=0\) et \(x=1\).
3. a) Une primitive de \(g(x)=x^{2}-2x+1\) est \(G(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x\). Donc
\[\int_0^1 g(x)\,\mathrm{d}x=G(1)-G(0)=(\frac{1}{3}-1+1)-0=\frac{1}{3}.\]
b) On admet (énoncé) que \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^{3}-4}{9}\) ; on peut le vérifier avec la primitive \(F(x)=\frac{(4-3x)\,\mathrm{e}^{3x}}{9}\), puisque \(F(1)-F(0)=\frac{\mathrm{e}^{3}}{9}-\frac{4}{9}\). Comme \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \([0\,;1]\), l’aire \(S\) du domaine compris entre les deux courbes (en unités d’aire) est
\[S=\int_0^1 (f(x)-g(x))\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^{3}-4}{9}-\frac{1}{3}=\frac{\mathrm{e}^{3}-7}{9}\approx 1{,}45.\]
L’aire du domaine vaut \(\frac{\mathrm{e}^{3}-7}{9}\approx 1{,}45\) unité d’aire.
Exercice 4 :
Loi de Benford, logarithme et fréquences
La loi de Benford modélise le premier chiffre significatif \(X\) de nombreuses séries de données : pour \(k\in\{1\,;2\,;\dots\,;9\}\),
\[P(X=k)=\frac{\ln(k+1)-\ln(k)}{\ln(10)}.\]
1. Probabilité que le premier chiffre soit 1 :
\[P(X=1)=\frac{\ln 2-\ln 1}{\ln 10}=\frac{\ln 2}{\ln 10}\approx 0{,}301.\]
Selon la loi de Benford, environ 30 % des nombres commencent par 1.
2. a) Dans la série observée, 11 094 nombres sur 36 677 commencent par le chiffre 1. La fréquence observée est
\[f=\frac{11\,094}{36\,677}\approx 0{,}302,\]
très proche de la probabilité théorique \(0{,}301\). On peut le confirmer : l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, \([0{,}301-1{,}96\sqrt{\frac{0{,}301\times 0{,}699}{36\,677}}\,;\,0{,}301+1{,}96\sqrt{\frac{0{,}301\times 0{,}699}{36\,677}}]\approx[0{,}296\,;0{,}306]\), contient \(f\). L’observation est compatible avec l’affirmation selon laquelle ces données suivent la loi de Benford.
b) Si \(X\) désigne le premier chiffre de la taille en centimètres des candidats de l’année, la loi de Benford ne convient pas : presque toutes les tailles sont comprises entre 100 cm et 199 cm (très peu de candidats mesurent 2 m ou plus, et aucun moins de 1 m). Le premier chiffre vaut donc 1 dans la quasi-totalité des cas, et \(P(X=1)\) serait proche de 1 et non de 0,301. La loi de Benford n’est pas du tout adaptée pour \(X\).
