Corrigé du bac blanc de maths 2024 n° 2

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Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Équation différentielle et fonctions exponentielles

Partie I

On étudie l’équation différentielle \((E) : y^{\prime} + y = \mathrm{e}^{-x}\).

1. On vérifie que \(u(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}\) est solution de \((E)\).

La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables, et :

\[u^{\prime}(x) = 1\times \mathrm{e}^{-x} + x\times (-\mathrm{e}^{-x}) = \mathrm{e}^{-x} – x\,\mathrm{e}^{-x}.\]

Donc \(u^{\prime}(x) + u(x) = \mathrm{e}^{-x} – x\,\mathrm{e}^{-x} + x\,\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x}\). La fonction \(u\) est bien une solution de \((E)\).

2. On résout l’équation homogène \((E^{\prime}) : y^{\prime} + y = 0\), c’est-à-dire \(y^{\prime} = -y\).

Les solutions de \(y^{\prime} = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto k\,\mathrm{e}^{ax}\) avec \(k \in \mathbb{R}\). Ici \(a = -1\), donc les solutions de \((E^{\prime})\) sont les fonctions \(x \mapsto k\,\mathrm{e}^{-x}\), \(k \in \mathbb{R}\).

3. Les solutions de \((E)\) s’obtiennent en ajoutant une solution particulière de \((E)\) (ici \(u\)) à la solution générale de l’équation homogène \((E^{\prime})\). Les solutions de \((E)\) sont donc les fonctions \(x \mapsto k\,\mathrm{e}^{-x} + x\,\mathrm{e}^{-x} = (x+k)\,\mathrm{e}^{-x}\), avec \(k \in \mathbb{R}\).

4. On cherche la solution \(g\) de \((E)\) telle que \(g(0) = 2\). On a \(g(x) = (x+k)\,\mathrm{e}^{-x}\), donc \(g(0) = k\,\mathrm{e}^{0} = k\). La condition \(g(0) = 2\) donne \(k = 2\) :

\[\boxed{g(x) = (x+2)\,\mathrm{e}^{-x}.}\]

Partie II

On considère \(f_k(x) = (x+k)\,\mathrm{e}^{-x}\) (où \(k\) est un réel inconnu) et \(h(x) = \mathrm{e}^{-x}\). Le graphique donné représente les deux courbes \(\mathcal{C}_k\) et \(\mathcal{C}\), sans unités ni nom de courbe.

1. Il s’agit de reconnaître la courbe de \(h\). On a \(h^{\prime}(x) = -\mathrm{e}^{-x}\) et \(\mathrm{e}^{-x} \gt 0\) pour tout réel \(x\), donc \(h^{\prime}(x) \lt 0\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). Or la courbe en pointillés monte puis descend : elle ne peut pas représenter \(h\). La courbe de \(h\) est donc celle en trait plein.

2. Il faut retrouver l’unité sur chaque axe et la valeur de \(k\).

• La courbe de \(h\) coupe l’axe des ordonnées au point A d’ordonnée \(h(0) = \mathrm{e}^{0} = 1\) : le point A donne l’unité sur l’axe des ordonnées.
• La courbe en pointillés coupe l’axe des ordonnées en B, dont l’ordonnée semble valoir le double de celle de A, soit 2. Donc \(f_k(0) = 2\). Or \(f_k(0) = (0+k)\,\mathrm{e}^{0} = k\), d’où \(k = 2\) : la courbe en pointillés représente \(f_2(x) = (x+2)\,\mathrm{e}^{-x}\) (c’est la fonction \(g\) de la partie I).
• Les deux courbes se coupent en C, dont l’abscisse est la solution de \(f_2(x) = h(x)\) :
  \[(x+2)\,\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x} \iff x + 2 = 1 \iff x = -1,\]
  en divisant par \(\mathrm{e}^{-x}\), qui n’est jamais nul. Le projeté orthogonal H de C sur l’axe des abscisses a donc pour coordonnées \((-1\,;\,0)\) : le symétrique I de H par rapport à O, de coordonnées \((1\,;\,0)\), donne l’unité sur l’axe des abscisses.

Remarque : la valeur de \(k\) repose sur une lecture graphique (B semble à une hauteur double de celle de A). On peut la contrôler avec C : son ordonnée vaut \(h(-1) = \mathrm{e} \approx 2{,}72\), ce qui est cohérent avec la figure.

Exercice 2 :

Suite d’intégrales

Partie I

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on pose \(f_n(x) = x^n\,\mathrm{e}^{x}\) sur \([0\,;\,1]\), on note \(\mathcal{C}_n\) sa courbe et \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\).

1. a. On montre que \(F_1(x) = (x-1)\,\mathrm{e}^{x}\) est une primitive de \(f_1\). En dérivant le produit :

\[F_1^{\prime}(x) = 1\times \mathrm{e}^{x} + (x-1)\,\mathrm{e}^{x} = x\,\mathrm{e}^{x} = f_1(x).\]

Donc \(F_1\) est une primitive de \(f_1\) sur \([0\,;\,1]\).

b. On en déduit :

\[I_1 = \int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = F_1(1) – F_1(0) = 0\times \mathrm{e} – (-1)\times \mathrm{e}^{0} = \mathbf{1}.\]

2. On établit la relation \(I_{n+1} = \mathrm{e} – (n+1)\,I_n\) par une intégration par parties.

On pose \(u(x) = x^{n+1}\) et \(v^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}\), donc \(u^{\prime}(x) = (n+1)\,x^n\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{x}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;\,1]\), donc :

\[I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \Big[x^{n+1}\,\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 – \int_0^1 (n+1)\,x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = (\mathrm{e} – 0) – (n+1)\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x.\]

Ainsi, pour tout \(n \geq\, 1\), \(I_{n+1} = \mathrm{e} – (n+1)\,I_n\).

3. Avec \(n = 1\) : \(I_2 = \mathrm{e} – 2\,I_1 = \mathbf{\mathrm{e} – 2} \approx 0{,}718\).

4. On étudie la fonction Python suivante :

def mystere(n):
    a = 1
    L = [a]
    for i in range(1,n):
        a = e - (i + 1)*a
        L.append(a)
    return L

Au départ, \(a = 1 = I_1\) et la liste contient \(I_1\). À chaque tour de boucle, pour \(i\) allant de 1 à \(n-1\), l’instruction a = e - (i + 1)*a applique la relation \(I_{i+1} = \mathrm{e} – (i+1)\,I_i\) et ajoute \(I_{i+1}\) à la liste. Pour \(n = 5\), la boucle tourne pour \(i = 1, 2, 3, 4\). L’appel mystere(5) renvoie donc la liste \([I_1\,;\,I_2\,;\,I_3\,;\,I_4\,;\,I_5]\), c’est-à-dire environ \([1\,;\,0{,}718\,;\,0{,}563\,;\,0{,}465\,;\,0{,}396]\).

Partie II

1. On observe les courbes \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\), \(\mathcal{C}_3\), \(\mathcal{C}_{10}\), \(\mathcal{C}_{20}\) et \(\mathcal{C}_{30}\).

a. Sur \([0\,;\,1]\), \(x^n \geq\, 0\) et \(\mathrm{e}^{x} \gt 0\), donc \(f_n\) est positive et continue. \(I_n\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_n\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\).

b. Plus \(n\) est grand, plus la courbe \(\mathcal{C}_n\) « colle » à l’axe des abscisses sauf tout près de \(x = 1\) : l’aire sous la courbe semble se réduire. On conjecture que la suite \((I_n)\) converge vers 0.

2. On démontre que \(0 \leq\, I_n \leq\, \mathrm{e}\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x\).

• Sur \([0\,;\,1]\), \(x^n\,\mathrm{e}^{x} \geq\, 0\) ; comme \(0 \lt 1\), la positivité de l’intégrale donne \(I_n \geq\, 0\).
• La fonction exponentielle est croissante, donc pour \(0 \leq\, x \leq\, 1\), \(\mathrm{e}^{x} \leq\, \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}\). En multipliant par \(x^n \geq\, 0\) : \(x^n\,\mathrm{e}^{x} \leq\, \mathrm{e}\,x^n\). Par croissance de l’intégrale (bornes dans l’ordre croissant) :
  \[I_n \leq\, \int_0^1 \mathrm{e}\,x^n\,\mathrm{d}x = \mathrm{e}\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x.\]

On a donc \(0 \leq\, I_n \leq\, \mathrm{e}\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x\).

3. On calcule \(\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = [\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1 = \frac{1}{n+1}\). L’encadrement devient :

\[0 \leq\, I_n \leq\, \frac{\mathrm{e}}{n+1}.\]

Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}}{n+1} = 0\), le théorème des gendarmes permet de conclure : la suite \((I_n)\) converge et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n = 0\), ce qui confirme la conjecture.

Exercice 3 :

Probabilités : arbre, variables aléatoires, loi binomiale, Bienaymé-Tchebychev

Un examen noté sur 10 comporte un premier exercice sur 2 points (deux questions Q1 et Q2) et un second sur 8 points.

Partie I

Un candidat réussit Q1 avec une probabilité de 0,8 ; s’il a réussi Q1, il réussit Q2 avec une probabilité de 0,6, sinon avec une probabilité de 0,1. On note \(A\) : « le candidat réussit Q1 » et \(B\) : « le candidat réussit Q2 ».

1. L’arbre pondéré complété est le suivant.

2. Probabilité de réussir les deux questions :

\[P(A \cap B) = P(A)\times P_A(B) = 0{,}8 \times 0{,}6 = \mathbf{0{,}48}.\]

3. Probabilité de réussir Q2. Les événements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

\[P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = 0{,}48 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}48 + 0{,}02 = \mathbf{0{,}5}.\]

On note \(X_1\) et \(X_2\) les notes obtenues aux questions Q1 et Q2, et \(X = X_1 + X_2\) la note à l’exercice.

4. Lois de \(X_1\) et \(X_2\) et espérance de \(X\).

\(x_i\)	0	1
\(P(X_1 = x_i)\)	0,2	0,8

Donc \(E(X_1) = 0\times 0{,}2 + 1\times 0{,}8 = 0{,}8\).

\(x_i\)	0	1
\(P(X_2 = x_i)\)	0,5	0,5

Donc \(E(X_2) = 0\times 0{,}5 + 1\times 0{,}5 = 0{,}5\).

Par linéarité de l’espérance, \(E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0{,}8 + 0{,}5 = \mathbf{1{,}3}\). En moyenne, un candidat obtient 1,3 point sur 2 à ce premier exercice.

5. a. Loi de \(X\), qui prend les valeurs 0, 1 et 2 :

• \(P(X = 0) = P(\overline{A}\cap\overline{B}) = 0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18\) ;
• \(P(X = 2) = P(A \cap B) = 0{,}48\) ;
• \(P(X = 1) = 1 – (0{,}18 + 0{,}48) = 0{,}34\).

\(x_i\)	0	1	2
\(P(X = x_i)\)	0,18	0,34	0,48

b. D’après la formule de König-Huygens, \(V(X) = E(X^2) – \big(E(X)\big)^2\), avec :

\[E(X^2) = 0^2\times 0{,}18 + 1^2\times 0{,}34 + 2^2\times 0{,}48 = 0{,}34 + 1{,}92 = 2{,}26.\]

Donc \(V(X) = 2{,}26 – 1{,}3^2 = 2{,}26 – 1{,}69 = \mathbf{0{,}57}\).

c. On compare \(V(X)\) et \(V(X_1) + V(X_2)\). Comme \(X_1\) et \(X_2\) ne prennent que les valeurs 0 et 1, \(X_1^2 = X_1\) et \(X_2^2 = X_2\) :

\[V(X_1) = 0{,}8 – 0{,}8^2 = 0{,}16 \qquad V(X_2) = 0{,}5 – 0{,}5^2 = 0{,}25.\]

Ainsi \(V(X_1) + V(X_2) = 0{,}41\) alors que \(V(X) = 0{,}57\) : \(V(X) \neq V(X_1) + V(X_2)\). Ce n’est pas surprenant : l’additivité de la variance n’est garantie que pour des variables indépendantes, et ici \(X_1\) et \(X_2\) ne le sont pas (\(P_A(B) = 0{,}6\) alors que \(P(B) = 0{,}5\)).

Partie II

Le second exercice compte huit questions indépendantes, chacune notée sur 1 point, et le candidat répond juste à chacune avec une probabilité \(\frac{3}{4}\). On note \(Y\) le nombre de bonnes réponses, c’est-à-dire la note sur 8.

1. On répète 8 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès (« bonne réponse ») a pour probabilité \(\frac{3}{4}\). \(Y\) compte le nombre de succès : \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(8\,;\,\frac{3}{4})\).

2. Probabilité d’obtenir la note maximale :

\[P(Y = 8) = \binom\,{8}{8}(\frac{3}{4})^8(\frac{1}{4})^0 = (\frac{3}{4})^8 = \frac{6561}{65536} \approx \mathbf{0{,}100}.\]

3. Espérance et variance de \(Y\) :

\[E(Y) = np = 8\times \frac{3}{4} = \mathbf{6} \qquad V(Y) = np(1-p) = 8\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{4} = \frac{3}{2} = \mathbf{1{,}5}.\]

Partie III

On suppose \(X\) et \(Y\) indépendantes et on note \(Z = X + Y\) la note totale sur 10.

1. Par linéarité, \(E(Z) = E(X) + E(Y) = 1{,}3 + 6 = \mathbf{7{,}3}\). Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(V(Z) = V(X) + V(Y) = 0{,}57 + 1{,}5 = \mathbf{2{,}07}\).

2. On prélève un échantillon de \(n\) candidats ; les notes \(Z_1, \ldots, Z_n\) sont indépendantes et de même loi que \(Z\), et \(M_n = \dfrac{Z_1 + \cdots + Z_n}{n}\) est leur moyenne.

a. Par linéarité de l’espérance :

\[E(M_n) = \frac{E(Z_1) + \cdots + E(Z_n)}{n} = \frac{n\times 7{,}3}{n} = \mathbf{7{,}3}.\]

b. On cherche les valeurs de \(n\) pour lesquelles l’écart type de \(M_n\) est inférieur ou égal à 0,5. Les \(Z_i\) étant indépendantes :

\[V(M_n) = \frac{1}{n^2}\big(V(Z_1) + \cdots + V(Z_n)\big) = \frac{n\times 2{,}07}{n^2} = \frac{2{,}07}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \sqrt{\frac{2{,}07}{n}}.\]

Les deux membres étant positifs :

\[\sqrt{\frac{2{,}07}{n}} \leq\, 0{,}5 \iff \frac{2{,}07}{n} \leq\, 0{,}25 \iff n \geq\, \frac{2{,}07}{0{,}25} = 8{,}28.\]

L’écart type de \(M_n\) est inférieur ou égal à 0,5 dès que \(n \geq\, 9\).

c. On montre que, pour ces valeurs de \(n\), \(P(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3) \geq\, 0{,}75\).

Comme \(E(M_n) = 7{,}3\), l’événement \(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3\) s’écrit \(|M_n – 7{,}3| \leq\, 1\). Son contraire est \(|M_n – 7{,}3| \gt 1\), qui est inclus dans \(|M_n – 7{,}3| \geq\, 1\). D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée avec \(\delta = 1\) :

\[P\big(|M_n – 7{,}3| \gt 1\big) \leq\, P\big(|M_n – E(M_n)| \geq\, 1\big) \leq\, \frac{V(M_n)}{1^2} = \frac{2{,}07}{n}.\]

Pour \(n \geq\, 9\), \(\dfrac{2{,}07}{n} \leq\, \dfrac{2{,}07}{9} = 0{,}23\). Donc :

\[P(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3) = 1 – P\big(|M_n – 7{,}3| \gt 1\big) \geq\, 1 – 0{,}23 = 0{,}77.\]

Pour \(n \geq\, 9\), on a bien \(P(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3) \geq\, 0{,}77 \geq\, 0{,}75\).

Exercice 4 :

QCM de géométrie dans l’espace

ABFEDCGH est un prisme droit avec AB = AD ; sa base ABFE est un trapèze rectangle en A tel que \(\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{AE}\). I est le milieu de [EF], J celui de [AE], et on travaille dans le repère orthonormé \((\mathrm{A}\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\) avec \(\vec{\imath} = \vec{AB}\), \(\vec{\jmath} = \vec{AD}\), \(\vec{k} = \vec{AJ}\).

Dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 2), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 2), J(0 ; 0 ; 1).

1. Quel vecteur est normal au plan (ABG) ? Propositions : a. \((1\,;\,1\,;\,1)\) ; b. \((-1\,;\,1\,;\,1)\) ; c. \((0\,;\,-1\,;\,1)\) ; d. \((0\,;\,0\,;\,1)\).

Le plan (ABG) est dirigé par \(\vec{AB}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\vec{BG}(0\,;\,1\,;\,1)\), qui ne sont pas colinéaires (\(\vec{BG} = \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{\jmath} + \vec{k}\)). Pour \(\vec{n}(0\,;\,-1\,;\,1)\) :

\[\vec{n}\cdot\vec{AB} = 0\times 1 + (-1)\times 0 + 1\times 0 = 0 \qquad \vec{n}\cdot\vec{BG} = 0\times 0 + (-1)\times 1 + 1\times 1 = 0.\]

Ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan. Les autres ne conviennent pas : a et b ont un produit scalaire non nul avec \(\vec{AB}\) ou \(\vec{BG}\), d donne \(\vec{n}\cdot\vec{BG} = 1\). Réponse c.

2. Quelle droite est parallèle à (IJ) ? Propositions : a. (DG) ; b. (BD) ; c. (AG) ; d. (FG).

Dans le triangle AEF, J est le milieu de [AE] et I celui de [EF] : d’après le théorème des milieux, (IJ) est parallèle à (AF). De plus \(\vec{AF}(1\,;\,0\,;\,1)\) et \(\vec{DG}(1\,;\,0\,;\,1)\) sont égaux, donc (AF) et (DG) sont parallèles. Réponse a : (IJ) est parallèle à (DG).

3. Quels vecteurs forment une base de l’espace ? Propositions : a. \((\vec{AB}\,;\,\vec{CG})\) ; b. \((\vec{AB}\,;\,\vec{AC}\,;\,\vec{AD})\) ; c. \((\vec{DA}\,;\,\vec{DC}\,;\,\vec{DG})\) ; d. \((\vec{CA}\,;\,\vec{CG}\,;\,\vec{CE})\).

Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.

• a ne contient que deux vecteurs : ce n’est pas une base de l’espace.
• b : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\), les trois vecteurs sont coplanaires.
• d : \(\vec{CE} = \vec{CA} + \vec{AE} = \vec{CA} + 2\,\vec{CG}\), les trois vecteurs sont coplanaires.
• c : \(\vec{DA}(0\,;\,-1\,;\,0)\), \(\vec{DC}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\vec{DG}(1\,;\,0\,;\,1)\). Si \(a\vec{DA} + b\vec{DC} + c\vec{DG} = \vec{0}\), la troisième coordonnée donne \(c = 0\), puis \(a = b = 0\) : les vecteurs ne sont pas coplanaires.

Réponse c.

4. Quelle décomposition de \(\vec{AG}\) utilise des vecteurs deux à deux orthogonaux ? Propositions : a. \(\vec{AB} + \vec{HG}\) ; b. \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AJ}\) ; c. \(\vec{AB} + \vec{BJ} + \vec{JG}\) ; d. \(\vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HG}\).

La proposition a est fausse : \(\vec{AB} + \vec{HG} = \vec{\imath} + (\vec{\imath} – \vec{k})\) n’est pas \(\vec{AG}(1\,;\,1\,;\,1)\). Pour b, \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AJ} = \vec{\imath} + \vec{\jmath} + \vec{k}\) a bien pour coordonnées \((1\,;\,1\,;\,1)\), et ces trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux puisqu’ils forment la base orthonormée du repère. En c, \(\vec{AB}\cdot\vec{BJ} = 1\times (-1) = -1 \neq 0\) ; en d, \(\vec{DH}(0\,;\,0\,;\,2)\) et \(\vec{HG}(1\,;\,0\,;\,-1)\) ne sont pas orthogonaux. Réponse b.

5. Volume du prisme ABFEDCGH. Propositions : a. \(\frac{5}{8}\) ; b. \(\frac{8}{5}\) ; c. \(\frac{3}{2}\) ; d. 2.

La base ABFE est un trapèze rectangle de bases AE = 2 et BF = 1 et de hauteur AB = 1 ; son aire vaut \(\dfrac{(2 + 1)\times 1}{2} = \dfrac{3}{2}\). La hauteur du prisme est AD = 1, donc \(\mathcal{V} = \dfrac{3}{2}\times 1 = \dfrac{3}{2}\).

On peut aussi le voir en découpant : si K est le milieu de [DH], le prisme se compose du cube ABCDJFGK de volume 1 surmonté du prisme JFGKHE, moitié d’un tel cube, soit \(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Réponse c.

Exercice 5 :

QCM : trigonométrie, convexité, dénombrement

1. Nombre de solutions de \(\sin(x) = 0{,}1\) sur \([0\,;\,2\pi]\) : a. zéro ; b. une ; c. deux ; d. quatre.

La droite d’équation \(y = 0{,}1\) coupe la courbe du sinus en deux points sur \([0\,;\,2\pi]\) : une fois sur \([0\,;\,\frac{\pi}{2}]\) où le sinus croît de 0 à 1, une fois sur \([\frac{\pi}{2}\,;\,\pi]\) où il décroît de 1 à 0, et jamais sur \(]\pi\,;\,2\pi[\) où il est négatif. Les solutions sont \(\arcsin(0{,}1) \approx 0{,}100\) et \(\pi – \arcsin(0{,}1) \approx 3{,}041\). Réponse c.

2. Pour \(f(x) = x + \sin(x)\) sur \([0\,;\,\pi]\), on doit choisir entre : a. \(f\) convexe ; b. \(f\) concave ; c. un unique point d’inflexion ; d. exactement deux points d’inflexion.

On a \(f^{\prime}(x) = 1 + \cos(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x) = -\sin(x)\). Sur \([0\,;\,\pi]\), \(\sin(x) \geq\, 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f^{\prime\prime}\) ne change pas de signe, il n’y a pas de point d’inflexion et \(f\) est concave sur \([0\,;\,\pi]\). Réponse b.

3. On tire successivement et sans remise trois boules parmi 50 numérotées de 1 à 50, sans tenir compte de l’ordre. Nombre de tirages : a. \(50^3\) ; b. \(1\times 2\times 3\) ; c. \(50\times 49\times 48\) ; d. \(\dfrac{50\times 49\times 48}{1\times 2\times 3}\).

Un tirage est une partie à 3 éléments d’un ensemble à 50 éléments ; leur nombre est :

\[\binom\,{50}{3} = \frac{50\times 49\times 48}{1\times 2\times 3} = 19\,600.\]

Réponse d.

4. On lance dix fois une pièce et on note la liste ordonnée des résultats. Nombre de listes possibles : a. \(2\times 10\) ; b. \(2^{10}\) ; c. \(1\times 2\times \cdots\times 10\) ; d. \(\dfrac{1\times 2\times \cdots\times 10}{1\times 2}\).

Chaque lancer a 2 issues possibles et les choix sont indépendants : le principe multiplicatif donne \(2\times 2\times \cdots\times 2 = 2^{10} = 1\,024\) listes (ce sont des 10-uplets de l’ensemble {pile ; face}). Réponse b.

5. On lance \(n\) fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir au plus deux fois « pile » : a. \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) ; b. \(\dfrac{n(n-1)}{2}(\dfrac12)^n\) ; c. \(1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2}\) ; d. \((1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2})(\dfrac12)^n\).

Le nombre \(X\) de « pile » suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,\frac{1}{2})\), donc \(P(X = k) = \binom\,{n}{k}(\frac{1}{2})^n\). On cherche :

\[P(X \leq\, 2) = [\binom\,{n}{0} + \binom\,{n}{1} + \binom\,{n}{2}](\frac{1}{2})^n = (1 + n + \frac{n(n-1)}{2})(\frac{1}{2})^n.\]

Réponse d.

Exercice 6 :

Vrai ou faux : suite récurrente et récurrence

La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + 2u_n}\).

Affirmation 1 : « \(u_4 = \frac{1}{9}\) ».

\[u_1 = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \qquad u_2 = \frac{\frac13}{1 + \frac23} = \frac{\frac13}{\frac53} = \frac{1}{5} \qquad u_3 = \frac{\frac15}{1 + \frac25} = \frac{1}{7} \qquad u_4 = \frac{\frac17}{1 + \frac27} = \frac{1}{9}.\]

L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : « pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{1}{2n+1}\) ».

Les calculs précédents la vérifient pour \(n\) de 0 à 4. On la démontre par récurrence en notant \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n = \dfrac{1}{2n+1}\) ».

• Initialisation : \(u_0 = 1\) et \(\dfrac{1}{2\times 0 + 1} = 1\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n \geq\, 0\), c’est-à-dire \(u_n = \dfrac{1}{2n+1}\). Alors
  \[u_{n+1} = \frac{\frac{1}{2n+1}}{1 + \frac{2}{2n+1}} = \frac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{2n+3}{2n+1}} = \frac{1}{2n+3} = \frac{1}{2(n+1)+1},\]
  donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

L’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : « la suite \((u_n)\) est minorée par \(10^{-10}\) ».

Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(2n+1) = +\infty\), on a \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\). Concrètement, \(u_n \lt 10^{-10} \iff 2n + 1 \gt 10^{10}\), ce qui est vrai par exemple pour \(n = 10^{10}\). Une suite minorée par le réel strictement positif \(10^{-10}\) ne pourrait pas tendre vers 0. L’affirmation 3 est fausse.

Exercice 7 :

Vrai ou faux : famille de fonctions exponentielles

Pour \(k \gt 0\), on considère \(f_k(x) = x + k\,\mathrm{e}^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. On étudie le cas \(k = 0{,}5\) : \(f_{0,5}(x) = x + 0{,}5\,\mathrm{e}^{-x}\).

a. Pour tout réel \(x\), \(f_{0,5}^{\prime}(x) = 1 + 0{,}5\times (-\mathrm{e}^{-x}) = \mathbf{1 – 0{,}5\,\mathrm{e}^{-x}}\).

b. Signe de la dérivée, en utilisant la stricte croissance de la fonction logarithme népérien :

\[f_{0,5}^{\prime}(x) \gt 0 \iff 0{,}5\,\mathrm{e}^{-x} \lt 1 \iff \mathrm{e}^{-x} \lt 2 \iff -x \lt \ln 2 \iff x \gt -\ln 2 = \ln(0{,}5).\]

De même, \(f_{0,5}^{\prime}(x) = 0 \iff x = \ln(0{,}5)\) et \(f_{0,5}^{\prime}(x) \lt 0 \iff x \lt \ln(0{,}5)\). La fonction \(f_{0,5}\) est donc décroissante sur \(]-\infty\,;\,\ln(0{,}5)]\) puis croissante sur \([\ln(0{,}5)\,;\,+\infty[\) : elle admet un minimum en \(x = \ln(0{,}5)\), égal à \(\ln(0{,}5) + 0{,}5\times 2 = 1 – \ln 2 \approx 0{,}31\).

Dans le cas général (\(k \gt 0\)), le même raisonnement donne le tableau de variations suivant.

\(x\)	\(-\infty\)		\(\ln(k)\)		\(+\infty\)
\(f_k^{\prime}(x)\)		\(-\)	0	\(+\)
\(f_k\)	\(+\infty\)	décroissante	\(f_k(\ln k)\)	croissante	\(+\infty\)

2. On calcule le minimum \(f_k(\ln k)\) :

\[f_k(\ln k) = \ln k + k\,\mathrm{e}^{-\ln k} = \ln k + \frac{k}{\mathrm{e}^{\ln k}} = \ln k + \frac{k}{k} = \mathbf{\ln k + 1}.\]

3. On note \(\mathrm{A}_k\) le point de \(\mathcal{C}_k\) d’abscisse \(\ln k\). Affirmation : « pour tout réel \(k \gt 0\), les points \(\mathrm{A}_{0,5}\), \(\mathrm{A}_1\) et \(\mathrm{A}_k\) sont alignés ».

D’après la question 2, \(\mathrm{A}_k\) a pour coordonnées \((\ln k\,;\,\ln k + 1)\) : son ordonnée est égale à son abscisse augmentée de 1. Tous les points \(\mathrm{A}_k\) appartiennent donc à la droite d’équation \(y = x + 1\), en particulier \(\mathrm{A}_{0,5}(-\ln 2\,;\,1 – \ln 2)\) et \(\mathrm{A}_1(0\,;\,1)\). L’affirmation est vraie.

Exercice 8 :

Vrai ou faux : suite arithmético-géométrique et Python

La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 1\) pour tout entier naturel \(n\). On dispose des deux fonctions Python suivantes.

def calcul(n):
    u = 0
    for i in range(n):
        u = 3 * u + 1
    return u

def liste(n):
    l = []
    for i in range(n):
        l.append(calcul(i))
    return l

Affirmation 1 : « l’appel liste(6) renvoie la liste [0, 1, 4, 13, 42, 121] ».

calcul(i) renvoie \(u_i\), donc liste(6) renvoie \([u_0, u_1, u_2, u_3, u_4, u_5]\). Or \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\), \(u_2 = 4\), \(u_3 = 13\), \(u_4 = 3\times 13 + 1 = 40\) et \(u_5 = 121\). La liste renvoyée est [0, 1, 4, 13, 40, 121] : \(u_4 = 40 \neq 42\). L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : « pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}\) ».

On vérifie d’abord : pour \(n = 0, 1, 2\), la formule donne \(\frac12 – \frac12 = 0\), \(\frac32 – \frac12 = 1\) et \(\frac92 – \frac12 = 4\), ce qui correspond. On démontre la formule par récurrence.

• Initialisation : \(u_0 = 0\) et \(\frac{1}{2}\times 3^0 – \frac{1}{2} = 0\) : la propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité : supposons \(u_n = \frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}\) pour un entier \(n \geq\, 0\). Alors
  \[u_{n+1} = 3u_n + 1 = 3(\frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{2}\times 3^{n+1} – \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2}\times 3^{n+1} – \frac{1}{2},\]
  et la propriété est vraie au rang \(n+1\).
• Conclusion : vraie au rang 0 et héréditaire, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).

L’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : « pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} – u_n\) est une puissance de 3 ».

D’après l’affirmation 2 :

\[u_{n+1} – u_n = (\frac{1}{2}\times 3^{n+1} – \frac{1}{2}) – (\frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\times 3^n\,(3 – 1) = 3^n.\]

On le retrouve sur les premiers termes : \(1 – 0 = 3^0\), \(4 – 1 = 3^1\), \(13 – 4 = 3^2\). L’affirmation 3 est vraie.