Voici le corrigé complet du bac de maths 2024 en Asie-Pacifique, sujet n° 1 de l’épreuve de spécialité. Le sujet comporte quatre exercices. Le premier étudie la fonction \(f(x)=(4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}\) : lecture graphique, dérivée et variations, convexité et point d’inflexion, recherche d’une primitive puis calcul d’intégrale appliqué à la surface d’une fresque murale. Le deuxième est un exercice de géométrie dans l’espace : vecteur normal, équation cartésienne d’un plan, projeté orthogonal, aire d’un trapèze et volume d’une pyramide. Le troisième mêle loi binomiale, arbre pondéré et probabilités conditionnelles autour d’un test de dépistage de la COVID-19. Le dernier est un vrai/faux sur les suites : monotonie, théorème de comparaison, algorithme Python, somme géométrique et suite définie par une intégrale. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Bac de maths 2024 en Asie Pacifique : sujet n° 1 corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Fonction exponentielle, convexité, primitive et intégrale
On étudie la fonction \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x)=(4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}\), dont la courbe \(\mathscr{C}\) sert à modéliser le bord supérieur d’un mur peint par une artiste.
Partie A : lectures graphiques
1. On demande le tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;5]\) lu sur le graphique.
La courbe monte depuis le point d’abscisse 0 jusqu’à un sommet d’abscisse environ 1,5, puis redescend jusqu’à \(x=5\). Les valeurs lues sont approximatives :
| \(x\) | \(0\) | \(1{,}5\) | \(5\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| variations de \(f\) | \(\approx -5{,}4\) | croissante ↗ | \(\approx 2{,}4\) | décroissante ↘ | \(\approx 0{,}3\) |
(La partie B confirmera ces valeurs : \(f(0)=-2\mathrm{e}\approx -5{,}44\), \(f(1{,}5)=4\mathrm{e}^{-0{,}5}\approx 2{,}43\) et \(f(5)=18\mathrm{e}^{-4}\approx 0{,}33\).)
2. Que semble représenter le point \(A\) pour la courbe \(\mathscr{C}\) ?
En \(A\), la courbe traverse sa tangente : elle passe d’une allure « en dôme » à une allure « en creux ». Le point \(A\) semble être un point d’inflexion de \(\mathscr{C}\).
3. Parmi les courbes \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\) proposées, laquelle représente \(f^{\prime}\) et laquelle représente \(f^{\prime\prime}\) ?
D’après la question 1, \(f\) semble croissante sur \([0\,;1{,}5]\) puis décroissante sur \([1{,}5\,;+\infty[\). La courbe de \(f^{\prime}\) doit donc être au-dessus de l’axe des abscisses sur \([0\,;1{,}5]\) et en dessous ensuite, en coupant l’axe en \(1{,}5\). C’est le cas de \(\mathscr{C}_2\). L’autre courbe, \(\mathscr{C}_1\), représente alors \(f^{\prime\prime}\), qui doit changer de signe à l’abscisse du point d’inflexion \(A\).
\(f^{\prime}\) est représentée par \(\mathscr{C}_2\) et \(f^{\prime\prime}\) par \(\mathscr{C}_1\).
4. La courbe \(\mathscr{C}_3\) peut-elle représenter une primitive de \(f\) ?
Une primitive \(F\) de \(f\) vérifie \(F^{\prime}=f\) : elle est décroissante là où \(f\) est négative. Or \(f\) semble négative sur \([0\,;0{,}5]\) ; une primitive de \(f\) doit donc être décroissante sur cet intervalle. Ce n’est pas le cas de \(\mathscr{C}_3\) : \(\mathscr{C}_3\) ne peut pas représenter une primitive de \(f\).
Partie B : étude de la fonction
1. a. Calculer \(f^{\prime}(x)\).
On dérive le produit \(u\times v\) avec \(u(x)=4x-2\) (\(u^{\prime}(x)=4\)) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-x+1}\) (\(v^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x+1}\)). Pour tout \(x\geq\, 0\) :
\[f^{\prime}(x)=4\mathrm{e}^{-x+1}-(4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}=(4-4x+2)\mathrm{e}^{-x+1}=\boldsymbol{(6-4x)\mathrm{e}^{-x+1}}.\]
1. b. Étudier les variations de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\) (on admet que \(f\) tend vers 0 en \(+\infty\)).
Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{-x+1}\gt 0\) : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(6-4x\). Or \(6-4x=0 \iff x=\dfrac{3}{2}\) et \(6-4x\gt 0 \iff x\lt \dfrac{3}{2}\).
Valeurs utiles : \(f(0)=-2\mathrm{e}\) et \(f(\dfrac{3}{2})=(6-2)\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}=4\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(-2\mathrm{e}\) | ↗ | \(4\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\) | ↘ | \(0\) |
\(f\) est croissante sur \([0\,;\dfrac{3}{2}]\) et décroissante sur \([\dfrac{3}{2}\,;+\infty[\).
1. c. Étudier la convexité de \(f\) et montrer que \(\mathscr{C}\) admet un point d’inflexion.
On dérive \(f^{\prime}(x)=(6-4x)\mathrm{e}^{-x+1}\) de la même façon. Pour tout \(x\geq\, 0\) :
\[f^{\prime\prime}(x)=-4\mathrm{e}^{-x+1}-(6-4x)\mathrm{e}^{-x+1}=(-4-6+4x)\mathrm{e}^{-x+1}=(4x-10)\mathrm{e}^{-x+1}.\]
L’exponentielle étant strictement positive, \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(4x-10\) : \(4x-10=0\iff x=\dfrac{5}{2}\), et \(4x-10\gt 0 \iff x\gt \dfrac{5}{2}\).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{5}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| convexité de \(f\) | concave | convexe |
Ainsi \(f\) est concave sur \([0\,;\dfrac{5}{2}]\) et convexe sur \([\dfrac{5}{2}\,;+\infty[\). Comme \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe en \(\dfrac{5}{2}\), \(\mathscr{C}\) admet un point d’inflexion d’abscisse \(\dfrac{5}{2}\), d’ordonnée \(f(\dfrac{5}{2})=8\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}\approx 1{,}79\). C’est bien le point \(A\) observé dans la partie A.
2. a. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que \(F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x+1}\) soit une primitive de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\).
\(F\) est dérivable sur \([0\,;+\infty[\) comme produit de fonctions dérivables, et pour tout \(x\geq\, 0\) :
\[F^{\prime}(x)=a\mathrm{e}^{-x+1}-(ax+b)\mathrm{e}^{-x+1}=(-ax+a-b)\mathrm{e}^{-x+1}.\]
\(F\) est une primitive de \(f\) si et seulement si \(F^{\prime}(x)=f(x)\) pour tout \(x\geq\, 0\), c’est-à-dire \(-ax+a-b=4x-2\) pour tout \(x\). Par identification des coefficients :
\[\begin{cases}-a=4\\ a-b=-2\end{cases}\iff\begin{cases}a=-4\\ b=a+2=-2\end{cases}\]
Donc \(F(x)=(-4x-2)\mathrm{e}^{-x+1}\).
2. b. Calculer \(I=\displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x)\,\mathrm{d}x\).
\(F\) étant une primitive de \(f\) :
\[I=F(8)-F(\frac{3}{2})=(-32-2)\mathrm{e}^{-7}-(-6-2)\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}=\boldsymbol{8\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}-34\mathrm{e}^{-7}}\approx 4{,}82.\]
3. a. Déterminer la hauteur du point \(D\), point le plus haut du mur (unité : le mètre).
D’après 1. b., le maximum de \(f\) est atteint en \(x=\dfrac{3}{2}\) :
\[f(\frac{3}{2})=4\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\approx 2{,}43.\]
Le point \(D\) culmine à environ 2,43 m.
3. b. La fresque couvre 75 % de la surface du mur (délimitée par \(\mathscr{C}\), l’axe des abscisses et les droites \(x=\dfrac{3}{2}\) et \(x=8\)) ; une bombe de peinture couvre 0,8 m². Combien de bombes faut-il ?
\(f\) est continue (car dérivable) et positive sur \([\dfrac{3}{2}\,;8]\) (elle y décroît vers une valeur positive, puisque \(4x-2\gt 0\) pour \(x\geq\, \dfrac{3}{2}\)). L’aire du mur, en m², est donc égale à \(I\). La surface à peindre vaut :
\[\frac{75}{100}\times I=0{,}75(8\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}-34\mathrm{e}^{-7})\approx 3{,}62\ \text{m}^2.\]
Or \(4\times 0{,}8=3{,}2\) est insuffisant, tandis que \(5\times 0{,}8=4\) suffit. L’artiste devra utiliser 5 bombes aérosol.
Exercice 2 :
Géométrie dans l’espace : plan, droite, projeté orthogonal, volume d’une pyramide
Dans un repère orthonormé (unité : le centimètre), on considère les points \(A(3\,;-1\,;1)\), \(B(4\,;-1\,;0)\), \(C(0\,;3\,;2)\), \(D(4\,;3\,;-2)\) et \(S(2\,;1\,;4)\).
1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
On a \(\vec{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix}\). La deuxième coordonnée de \(\vec{AB}\) est nulle mais pas celle de \(\vec{AC}\), alors que leurs premières coordonnées sont non nulles : aucun réel \(k\) ne vérifie \(\vec{AC}=k\vec{AB}\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés et définissent un plan.
2. a. Montrer que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires.
\(\vec{AD}\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}\), donc \(\vec{AD}-\vec{AC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}=4\vec{AB}\).
Ainsi \(\vec{AD}=\vec{AC}+4\vec{AB}\) : \(\vec{AD}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires.
2. b. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABDC\) ?
\(\vec{CD}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}=4\vec{AB}\). Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont donc parallèles, et \(CD=4AB\ne AB\). \(ABDC\) est un trapèze de bases \([AB]\) et \([CD]\) (ce n’est pas un parallélogramme puisque les bases n’ont pas la même longueur).
3. a. Montrer que \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) est normal au plan \((ABC)\).
\[\vec{n}\cdot\vec{AB}=2\times 1+1\times 0+2\times (-1)=0\qquad\vec{n}\cdot\vec{AC}=2\times (-3)+1\times 4+2\times 1=0.\]
\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((ABC)\) : c’est un vecteur normal à ce plan.
3. b. Déterminer une équation cartésienne de \((ABC)\).
Le plan a une équation de la forme \(2x+y+2z+d=0\). Comme \(A(3\,;-1\,;1)\) lui appartient : \(6-1+2+d=0\), soit \(d=-7\).
\((ABC)\ :\ 2x+y+2z-7=0\).
3. c. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(S\) et orthogonale au plan \((ABC)\).
\(\Delta\) passe par \(S(2\,;1\,;4)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{n}\) :
\[\Delta\ :\ \begin{cases}x=2+2t\\ y=1+t\\ z=4+2t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.\]
3. d. Montrer que le point \(I(\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{1}{3}\,;\dfrac{8}{3})\) est le point d’intersection de \(\Delta\) et de \((ABC)\), puis calculer la distance \(SI\).
Pour \(t=-\dfrac{2}{3}\) (valeur qui donne \(y=\dfrac{1}{3}\)), la représentation de \(\Delta\) donne \(x=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\), \(y=\dfrac{1}{3}\), \(z=4-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}\) : \(I\in\Delta\).
De plus \(2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+2\times \dfrac{8}{3}-7=\dfrac{4+1+16}{3}-7=\dfrac{21}{3}-7=0\) : \(I\in(ABC)\).
La droite \(\Delta\), dirigée par un vecteur normal au plan, n’est pas parallèle à celui-ci : elle le coupe en un seul point. Ce point est \(I(\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{1}{3}\,;\dfrac{8}{3})\).
Distance \(SI\) : \(\vec{SI}\begin{pmatrix}-\frac{4}{3}\\ -\frac{2}{3}\\ -\frac{4}{3}\end{pmatrix}=-\dfrac{2}{3}\vec{n}\), donc
\[SI=\sqrt{(-\frac{4}{3})^2+(-\frac{2}{3})^2+(-\frac{4}{3})^2}=\sqrt{\frac{16+4+16}{9}}=\sqrt{4}=\boldsymbol{2\ \text{cm}}.\]
4. a. Montrer que \(H(3\,;3\,;-1)\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((CD)\), puis calculer \(BH\).
On a \(\vec{CH}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}=\dfrac{3}{4}\vec{CD}\) : \(\vec{CH}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires, donc \(H\in(CD)\).
Et \(\vec{BH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}\) vérifie \(\vec{BH}\cdot\vec{CD}=-4+0+4=0\) : \((BH)\perp(CD)\).
\(H\) est donc le projeté orthogonal de \(B\) sur \((CD)\), et
\[BH=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=\boldsymbol{3\sqrt{2}\ \text{cm}}.\]
4. b. Calculer l’aire du trapèze \(ABDC\).
Petite base : \(AB=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\). Grande base : \(CD=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\). Hauteur : la distance entre les droites parallèles \((AB)\) et \((CD)\), soit \(BH=3\sqrt{2}\).
\[\mathscr{A}=\frac{AB+CD}{2}\times BH=\frac{\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}=\frac{30}{2}=\boldsymbol{15\ \text{cm}^2}.\]
5. Calculer le volume de la pyramide \(SABDC\).
La base \(ABDC\) est dans le plan \((ABC)\) et \(I\) est le pied de la perpendiculaire à ce plan issue de \(S\) : la hauteur de la pyramide est \(SI=2\).
\[V=\frac{1}{3}\times \mathscr{A}\times SI=\frac{1}{3}\times 15\times 2=\boldsymbol{10\ \text{cm}^3}.\]
Exercice 3 :
Loi binomiale, arbre pondéré et probabilités conditionnelles (dépistage de la COVID-19)
On note \(I\) l’événement « l’individu a déjà été infecté par la COVID-19 » et \(T\) l’événement « le test est positif ».
Partie A
1. Probabilité qu’un individu prélevé ait déjà été infecté.
D’après l’énoncé, 5,7 % de la population a déjà été infectée : \(P(I)=0{,}057\).
2. a. On prélève 100 individus (tirages assimilés à des tirages avec remise) et \(X\) compte ceux qui ont déjà été infectés. Loi de \(X\) ?
On répète 100 fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli dont le succès « l’individu a été infecté » a pour probabilité 0,057. \(X\) suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(100\,;0{,}057)\).
2. b. Espérance de \(X\) et interprétation.
\[E(X)=np=100\times 0{,}057=\boldsymbol{5{,}7}.\]
Sur un grand nombre d’échantillons de 100 personnes, on compte en moyenne 5,7 personnes déjà infectées par échantillon (soit 57 pour 1 000 personnes).
2. c. Probabilité qu’aucune personne de l’échantillon n’ait été infectée.
\[P(X=0)=(1-0{,}057)^{100}=0{,}943^{100}\approx\boldsymbol{0{,}0028}.\]
2. d. Probabilité qu’au moins deux personnes aient été infectées.
\[P(X\geq\, 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}943^{100}-\binom\,{100}{1}\times 0{,}057\times 0{,}943^{99}\approx\boldsymbol{0{,}9801}.\]
2. e. Plus petit entier \(n\) tel que \(P(X\leq\, n)\gt 0{,}9\) ; interprétation.
La fonction \(n\mapsto P(X\leq\, n)\) est croissante. À la calculatrice :
| \(n\) | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X\leq\, n)\) | \(\approx 0{,}789\) | \(\approx 0{,}883\) | \(\approx 0{,}941\) | \(\approx 0{,}973\) |
Le plus petit entier cherché est \(n=9\) : la probabilité qu’il y ait au plus 9 personnes déjà infectées dans l’échantillon dépasse 0,9.
Partie B
Le test est positif pour 80 % des personnes déjà infectées, et pour 1 % des personnes jamais infectées.
1. Arbre pondéré de la situation.
2. Calculer \(P(T)\).
\(I\) et \(\overline{I}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :
\[P(T)=P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T)=0{,}057\times 0{,}8+0{,}943\times 0{,}01=0{,}0456+0{,}00943=\boldsymbol{0{,}05503}.\]
3. Une personne a un test positif : probabilité qu’elle ait déjà été infectée ?
\[P_T(I)=\frac{P(I\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}0456}{0{,}05503}\approx\boldsymbol{0{,}8286}.\]
Partie C
Dans une autre population, avec le même test, 29,44 % des tests sont positifs. Quelle est la proportion de personnes déjà infectées ?
On a \(P(T)=0{,}2944\), \(P_I(T)=0{,}8\) et \(P_{\overline{I}}(T)=1-0{,}99=0{,}01\). Notons \(p=P(I)\). Par la formule des probabilités totales :
\[0{,}2944=0{,}8p+0{,}01(1-p)\iff 0{,}2944=0{,}79p+0{,}01\iff 0{,}79p=0{,}2844\iff p=\frac{0{,}2844}{0{,}79}=0{,}36.\]
La probabilité qu’un individu de cette population ait déjà été infecté est 0,36 (36 %).
Exercice 4 :
Vrai ou faux sur les suites (réponses justifiées)
Affirmation 1 : toute suite décroissante et minorée par 0 a pour limite 0.
Contre-exemple : \(u_n=1+\dfrac{1}{n+1}\). Pour tout \(n\), \(u_n\gt 1\gt 0\) : la suite est minorée par 0. De plus
\[u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}\lt 0,\]
donc la suite est décroissante. Pourtant \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\ne 0\). L’affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2 : la suite \((u_n)\) de l’énoncé tend vers \(-\infty\).
L’hypothèse de l’énoncé donne, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n\leq\, -(\dfrac{9}{7})^n+(\dfrac{3}{7})^n\).
Comme \(-1\lt\dfrac{3}{7}\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\frac{3}{7})^n=0\) ; comme \(\dfrac{9}{7}\gt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\frac{9}{7})^n=+\infty\). Par somme, le majorant tend vers \(-\infty\).
D’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\). L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3 : l’appel terme(4) de la fonction Python proposée renvoie 7.
La fonction part de la valeur 1 et lui ajoute successivement les entiers 0, 1, 2 et 3 (quatre passages dans la boucle). Elle renvoie donc \(1+0+1+2+3=7\). L’affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4 : le prix A (1 000 € par jour pendant 15 jours) rapporte plus que le prix B (1 € le premier jour, puis une somme doublée chaque jour, pendant 15 jours).
Prix A : \(15\times 1\,000=15\,000\) €.
Prix B : \(1+2+2^2+\dots+2^{14}\), somme des 15 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 :
\[1+2+\dots+2^{14}=\frac{1-2^{15}}{1-2}=2^{15}-1=32\,767\gt 15\,000.\]
Le prix B est plus avantageux. L’affirmation 4 est fausse.
Affirmation 5 : la suite \((v_n)\) définie pour \(n\geq\, 1\) par \(v_n=\displaystyle\int_1^n\ln(x)\,\mathrm{d}x\) est croissante.
Pour tout \(n\geq\, 1\), d’après la relation de Chasles :
\[v_{n+1}-v_n=\int_1^{n+1}\ln(x)\,\mathrm{d}x-\int_1^{n}\ln(x)\,\mathrm{d}x=\int_n^{n+1}\ln(x)\,\mathrm{d}x.\]
La fonction \(\ln\) est continue et positive sur \([n\,;n+1]\) (car \(n\geq\, 1\)). Par positivité de l’intégrale, \(v_{n+1}-v_n\geq\, 0\) : la suite \((v_n)\) est croissante. L’affirmation 5 est vraie.
