Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. L’énoncé donne \(P(R)=0{,}2\) et \(P_R(S)=0{,}9\). Sur chaque nœud, la somme des poids des branches vaut 1, ce qui complète l’arbre :
| Branche | Probabilité |
|---|---|
| racine → \(R\) | \(0{,}2\) |
| racine → \(\overline{R}\) | \(0{,}8\) |
| \(R\) → \(S\) | \(0{,}9\) |
| \(R\) → \(\overline{S}\) | \(0{,}1\) |
| \(\overline{R}\) → \(S\) | \(x\) |
| \(\overline{R}\) → \(\overline{S}\) | \(1-x\) |
2. Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne :
\[P(S)=P(R)\times P_R(S)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(S)=0{,}2\times 0{,}9+0{,}8x=0{,}18+0{,}8x.\]
Or \(P(S)=0{,}82\), donc \(0{,}18+0{,}8x=0{,}82\), soit \(0{,}8x=0{,}64\) et \(x=\dfrac{0{,}64}{0{,}8}=0{,}8\).
3. On cherche \(P_S(R)\) :
\[P_S(R)=\dfrac{P(R\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}2\times 0{,}9}{0{,}82}=\dfrac{0{,}18}{0{,}82}=\dfrac{9}{41}\approx 0{,}22.\]
Un client satisfait a acheté un matelas RESSORTS avec une probabilité d’environ 0,22.
Partie B
1. a. On répète 5 fois, de manière indépendante, l’épreuve « le client est-il satisfait ? », dont le succès a pour probabilité 0,82. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}82\).
b. Plutôt que d’additionner quatre termes, on passe par l’évènement contraire :
\[P(X\leq\, 3)=1-P(X=4)-P(X=5)=1-\binom\,{5}{4}\times 0{,}82^{4}\times 0{,}18-0{,}82^{5}.\]
\[P(X\leq\, 3)\approx 1-0{,}4069-0{,}3707\approx 0{,}222.\]
La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits est environ 0,222.
2. a. Les \(n\) choix sont assimilés à des tirages avec remise, donc indépendants, et chaque client est satisfait avec la probabilité 0,82. Le nombre de clients satisfaits suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,82, et « tous sont satisfaits » correspond à \(n\) succès :
\[p_n=\binom\,{n}{n}\times 0{,}82^{n}\times 0{,}18^{0}=0{,}82^{n}.\]
On obtient bien \(p_n=0{,}82^n\).
b. On résout, en appliquant la fonction \(\ln\) strictement croissante :
\[0{,}82^n\lt 0{,}01\iff n\ln(0{,}82)\lt\ln(0{,}01)\iff n\gt\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)},\]
le sens de l’inégalité changeant car \(\ln(0{,}82)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)}\approx 23{,}2\). (Contrôle : \(0{,}82^{23}\approx 0{,}0104\) et \(0{,}82^{24}\approx 0{,}0085\).)
Les entiers cherchés sont tous les entiers \(n\geq\, 24\). Interprétation : dès que l’on interroge au moins 24 clients, la probabilité qu’ils soient tous satisfaits de leur matelas tombe en dessous de 1 %.
Exercice 2 :
1. \(u_1=\dfrac{6\times 8+2}{8+5}=\dfrac{50}{13}\), donc \(u_1=\dfrac{50}{13}\approx 3{,}85\).
2. a. \(f\) est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur \(x+5\) ne s’annule pas sur \([0~;~+\infty[\). Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :
\[f^{\prime}(x)=\dfrac{6(x+5)-1\times (6x+2)}{(x+5)^2}=\dfrac{28}{(x+5)^2}.\]
Pour tout \(x\geq\, 0\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).
On calcule \(f(2)=\dfrac{12+2}{2+5}=\dfrac{14}{7}=2\). Si \(x\gt 2\), la stricte croissance de \(f\) donne \(f(x)\gt f(2)\), c’est-à-dire \(f(x)\gt 2\).
b. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n\gt 2\) ».
Initialisation. \(u_0=8\gt 2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(u_n\gt 2\) pour un entier naturel \(n\) donné. D’après la question précédente appliquée à \(x=u_n\), \(f(u_n)\gt 2\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\gt 2\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, \(u_n\gt 2\) pour tout entier naturel \(n\).
3. a. Pour tout \(n\), \(u_n\gt 2\), donc \(2-u_n\lt 0\), \(u_n+1\gt 0\) et \(u_n+5\gt 0\). Le quotient \(\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}\) est donc strictement négatif : \(u_{n+1}-u_n\lt 0\). La suite \((u_n)\) est (strictement) décroissante.
b. La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) est convergente (vers une limite supérieure ou égale à 2).
4. a. \(v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\).
b. On exprime numérateur et dénominateur de \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) :
\[u_{n+1}-2=\dfrac{6u_n+2-2(u_n+5)}{u_n+5}=\dfrac{4u_n-8}{u_n+5}=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+5},\]
\[u_{n+1}+1=\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}=\dfrac{7u_n+7}{u_n+5}=\dfrac{7(u_n+1)}{u_n+5}.\]
En faisant le quotient (les dénominateurs \(u_n+5\) se simplifient) :
\[v_{n+1}=\dfrac{4(u_n-2)}{7(u_n+1)}=\dfrac{4}{7}v_n.\]
\((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{4}{7}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac{2}{3}\).
c. Pour tout \(n\), \(v_n=\dfrac{2}{3}\times (\dfrac{4}{7})^n\). Comme \(-1\lt\dfrac{4}{7}\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{4}{7})^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0\).
Pour revenir à \(u_n\), on inverse la relation : \(v_n(u_n+1)=u_n-2\iff u_n(1-v_n)=2+v_n\). Comme \(v_n\lt 1\) (le numérateur \(u_n-2\) est plus petit que le dénominateur \(u_n+1\), qui est positif), on peut diviser :
\[u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}.\]
Par opérations sur les limites, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{2+0}{1-0}\), soit \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\).
5. La fonction calcule les termes successifs de la suite tant qu’ils dépassent A, en comptant les étapes dans n. On trouve \(u_{13}\approx 2{,}0014\), encore supérieur à 2,001, et \(u_{14}\approx 2{,}000\,79\), qui ne l’est plus. La commande seuil (2.001) renvoie 14 : \(u_{14}\) est le premier terme de la suite inférieur ou égal à 2,001, autrement dit c’est à partir du rang 14 que \(u_n\) est à moins de 0,001 de sa limite 2 (la suite étant décroissante, tous les termes suivants le sont aussi).
Exercice 3 :
1. La droite \((d)\) passe par A(1 ; 1 ; 0) et est dirigée par \(\vec{u}(0~;~2~;~-1)\) :
\[(d) : \{\begin{array}{l c l} x = 1\\ y = 1+2t\\ z = -t \end{array}.\quad (t\in\mathbb{R}).\]
2. Un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n_{\mathcal{P}}}(1~;~4~;~2)\). Or \(\vec{u}\cdot\vec{n_{\mathcal{P}}}=0+8-2=6\neq 0\) : la droite n’est pas parallèle au plan, donc elle le coupe en un unique point.
On cherche ce point en reportant la représentation paramétrique dans l’équation du plan :
\[1+4(1+2t)+2(-t)+1=0\iff 6+6t=0\iff t=-1.\]
Avec \(t=-1\) : \(x=1\), \(y=1-2=-1\), \(z=1\). \((d)\) et \(\mathcal{P}\) sont sécants au point B(1 ; −1 ; 1).
3. a. \(\vec{\text{AB}}(0~;~-2~;~1)\) et \(\vec{\text{AC}}(0~;~-2~;~-1)\). Si ces vecteurs étaient colinéaires, les deuxièmes coordonnées imposeraient \(\vec{\text{AC}}=\vec{\text{AB}}\), ce qui est faux pour les troisièmes coordonnées. Ils ne sont donc pas colinéaires : A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.
b. \(\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}}=1\times 0+0\times (-2)+0\times 1=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{\text{AC}}=1\times 0+0\times (-2)+0\times (-1)=0\). Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est normal au plan (ABC).
c. Le plan (ABC) a une équation de la forme \(1\times x+0\times y+0\times z+d=0\), soit \(x+d=0\). Comme A(1 ; 1 ; 0) lui appartient, \(d=-1\). Une équation de (ABC) est \(x-1=0\) (c’est-à-dire \(x=1\)).
4. a. \(\text{AB}=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}\) et \(\text{AC}=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\). Comme AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A.
b. H, milieu de [BC], a pour coordonnées \((\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{-1-1}{2}~;~\dfrac{1-1}{2})\), soit H(1 ; −1 ; 0). Alors \(\vec{\text{AH}}(0~;~-2~;~0)\) et AH = 2.
Dans le triangle isocèle ABC, la médiane (AH) issue du sommet principal est aussi la hauteur relative à [BC]. Avec \(\vec{\text{BC}}(0~;~0~;~-2)\), on a BC = 2, d’où :
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}=\dfrac{2\times 2}{2}=2.\]
L’aire du triangle ABC vaut 2 unités d’aire.
5. a. \(\vec{\text{BD}}(0-1~;~-1-(-1)~;~1-1)=(-1~;~0~;~0)=-\vec{n}\). Le vecteur \(\vec{\text{BD}}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\) du plan (ABC), donc la droite (BD) est orthogonale au plan (ABC). Comme elle passe par D et coupe ce plan en B, (BD) est la hauteur de la pyramide ABCD issue de D, relative à la base ABC.
b. La hauteur correspondante est \(h=\text{BD}=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1\) et l’aire de la base ABC vaut 2. Donc :
\[V=\dfrac{1}{3}\times 2\times 1=\dfrac{2}{3}.\]
Le volume de la pyramide ABCD est \(\dfrac{2}{3}\) unité de volume.
Exercice 4 :
1. Réponse c. On a \(f^{\prime}(x)=2\text{e}^x+2x\text{e}^x=2(1+x)\text{e}^x\), du signe de \(1+x\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty~;~-1]\) et strictement croissante sur \([-1~;~+\infty[\). Son minimum vaut \(f(-1)=-\dfrac{2}{\text{e}}\approx-0{,}736\). Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Comme \(-\dfrac{2}{\text{e}}\lt-0{,}73\lt 0\), le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone) fournit exactement une solution sur chacun des deux intervalles : 2 solutions.
2. Réponse a. On écrit \(g(x)=(x+1)\text{e}^{-x}\). Quand \(x\to-\infty\), \(x+1\to-\infty\) et \(\text{e}^{-x}\to+\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\).
3. Réponse b. \(h^{\prime}(x)=4\text{e}^{2x}+2(4x-16)\text{e}^{2x}=(8x-28)\text{e}^{2x}\), puis \(h^{\prime\prime}(x)=8\text{e}^{2x}+2(8x-28)\text{e}^{2x}=(16x-48)\text{e}^{2x}=16(x-3)\text{e}^{2x}\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en \(x=3\) (négative avant, positive après) : \(\mathcal{C}_h\) a un point d’inflexion en \(x=3\), et \(h\) n’est ni convexe ni concave sur tout \(\mathbb{R}\).
4. Réponse b. \(k(\text{e})=3\ln(\text{e})-\text{e}=3-\text{e}\) et \(k^{\prime}(x)=\dfrac{3}{x}-1\), donc \(k^{\prime}(\text{e})=\dfrac{3}{\text{e}}-1=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}\). La tangente a pour équation \(y=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}(x-\text{e})+3-\text{e}=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}x-(3-\text{e})+3-\text{e}\), soit \(y=(\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}})x\).
5. Réponse c. On pose \(X=\ln(x)\) : l’équation devient \(X^2+10X+21=0\), de discriminant \(\Delta=100-84=16\gt 0\), donc de racines \(X=\dfrac{-10-4}{2}=-7\) et \(X=\dfrac{-10+4}{2}=-3\). Chacune donne une valeur de \(x\) : \(x=\text{e}^{-7}\) et \(x=\text{e}^{-3}\), qui sont bien dans \(]0~;~+\infty[\). L’équation a 2 solutions.
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