Corrigé du bac de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 1)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. a. Étudions chaque terme quand \(x\) tend vers 0 (avec \(x\gt 0\)) : \(x^2\) et \(-6x\) tendent vers 0, tandis que \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\), donc \(4\ln(x)\) aussi. Par somme :

\[\lim_{x\to 0}f(x)=-\infty.\]

Graphiquement, la courbe \(\mathcal{C}_f\) plonge vers le bas le long de l’axe des ordonnées : la droite d’équation \(x=0\) (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).

b. En \(+\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) » dans \(x^2-6x\). On factorise : pour \(x\gt 0\), \(x^2-6x=x^2(1-\dfrac{6}{x})\). Comme \(\dfrac{6}{x}\) tend vers 0, la parenthèse tend vers 1, et \(x^2\) tend vers \(+\infty\) : par produit, \(x^2-6x\) tend vers \(+\infty\). De plus \(\ln(x)\) tend vers \(+\infty\). Par somme :

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]

2. a. On dérive terme à terme, en se rappelant que \((\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}\) :

\[f^{\prime}(x)=2x-6+\dfrac{4}{x}=\dfrac{2x^2-6x+4}{x}.\]

Pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x^2-6x+4}{x}\).

b. Sur \(]0~;~+\infty[\), le dénominateur \(x\) est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe du numérateur \(2x^2-6x+4=2(x^2-3x+2)\). Le trinôme \(x^2-3x+2\) a pour discriminant \(\Delta=9-8=1\) et pour racines \(\dfrac{3-1}{2}=1\) et \(\dfrac{3+1}{2}=2\). On a donc

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x-1)(x-2)}{x}.\]

Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines et positif à l’extérieur : \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \(]0~;~1[\) et sur \(]2~;~+\infty[\), \(f^{\prime}(x)\lt 0\) sur \(]1~;~2[\), et \(f^{\prime}\) s’annule en 1 et en 2.

On calcule les valeurs aux points où \(f^{\prime}\) s’annule :

\[f(1)=1-6+4\ln(1)=-5,\qquad f(2)=4-12+4\ln(2)=4\ln(2)-8\approx-5{,}23.\]

D’où le tableau de variations :

3. L’intervalle \([4~;~5]\) est contenu dans \([2~;~+\infty[\), où \(f\) est strictement croissante. La fonction \(f\) est aussi continue sur \([4~;~5]\), car dérivable. Calculons les valeurs aux bornes :

\[f(4)=16-24+4\ln(4)=8\ln(2)-8\approx-2{,}45\lt 0,\qquad f(5)=25-30+4\ln(5)=4\ln(5)-5\approx 1{,}44\gt 0.\]

Le réel 0 est compris entre \(f(4)\) et \(f(5)\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans \([4~;~5]\). La calculatrice la situe vers 4,68.

4. a. Pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-2)}{x^2}=\dfrac{2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x^2}\). Comme \(x^2\gt 0\) et \(x+\sqrt{2}\gt 0\), le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) est celui de \(x-\sqrt{2}\) :

• sur \(]0~;~\sqrt{2}]\), \(f^{\prime\prime}(x)\leq\, 0\) : \(f\) est concave sur \(]0~;~\sqrt{2}]\) ;
• sur \([\sqrt{2}~;~+\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x)\geq\, 0\) : \(f\) est convexe sur \([\sqrt{2}~;~+\infty[\).

La dérivée seconde s’annule en \(\sqrt{2}\) en changeant de signe : la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un point d’inflexion d’abscisse \(\sqrt{2}\). Son ordonnée vaut, en utilisant \(\ln(\sqrt{2})=\dfrac{1}{2}\ln(2)\) :

\[f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^2-6\sqrt{2}+4\ln(\sqrt{2})=2-6\sqrt{2}+2\ln(2).\]

Le seul point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\) est donc A\((\sqrt{2}~;~2-6\sqrt{2}+2\ln(2))\), soit environ \((1{,}414~;~-5{,}099)\).

b. On utilise la propriété des cordes : si une fonction est concave sur un intervalle, sa courbe est au-dessus de chacune de ses cordes sur cet intervalle ; si elle est convexe, sa courbe est en dessous.

• Si \(0\lt t\lt\sqrt{2}\) : les points A et \(M\) ont leurs abscisses dans \(]0~;~\sqrt{2}]\), où \(f\) est concave. Le segment [A\(M\)] est situé en dessous de la courbe \(\mathcal{C}_f\).
• Si \(t\gt\sqrt{2}\) : les abscisses de A et \(M\) sont dans \([\sqrt{2}~;~+\infty[\), où \(f\) est convexe. Le segment [A\(M\)] est situé au-dessus de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Exercice 2 :

1. a. On applique \(u_{n+1}=u_n^3\,\text{e}^{u_n}\) :

\[u_1=f(-1)=(-1)^3\text{e}^{-1}=-\text{e}^{-1}\approx-0{,}368.\]

\[u_2=f(u_1)=(-\text{e}^{-1})^3\text{e}^{-\text{e}^{-1}}=-\text{e}^{-3}\times \text{e}^{-\text{e}^{-1}}=-\text{e}^{-3-\text{e}^{-1}}\approx-0{,}034.\]

Donc \(u_1=-\text{e}^{-1}\approx-0{,}368\) et \(u_2=-\text{e}^{-3-\text{e}^{-1}}\approx-0{,}034\).

b. La variable u part de \(-1=u_0\), et chaque passage dans la boucle remplace u par \(f(\text{u})\), c’est-à-dire par le terme suivant. Avec n = 2, la boucle tourne deux fois (i vaut 0 puis 1), donc la fonction renvoie \(u_2\) : fonc (2) renvoie environ \(-0{,}034\).

2. a. \(f\) est le produit de \(x\mapsto x^3\), de dérivée \(3x^2\), et de \(x\mapsto \text{e}^x\), qui est sa propre dérivée. Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x)=3x^2\text{e}^x+x^3\text{e}^x=x^2\text{e}^x(3+x).\]

On obtient bien \(f^{\prime}(x)=x^2\text{e}^x(x+3)\) pour tout réel \(x\).

b. Signe de \(f^{\prime}\). Pour tout réel \(x\), \(x^2\geq\, 0\) et \(\text{e}^x\gt 0\) ; le facteur \(x^2\) ne s’annule qu’en 0 sans changer de signe. Le signe de \(f^{\prime}(x)\) est donc celui de \(x+3\) : \(f^{\prime}(x)\lt 0\) pour \(x\lt-3\), \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) pour \(x\gt-3\). Ainsi \(f\) est décroissante sur \(]-\infty~;~-3]\) et croissante sur \([-3~;~+\infty[\).

Minimum. \(f(-3)=(-3)^3\text{e}^{-3}=-27\text{e}^{-3}\approx-1{,}344\).

Limite en \(-\infty\). D’après les croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^n\text{e}^x=0\) pour tout entier naturel \(n\) ; avec \(n=3\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\).

Limite en \(+\infty\). \(x^3\) et \(\text{e}^x\) tendent vers \(+\infty\), donc par produit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Ces quatre résultats sont exactement ceux du tableau proposé, qui est donc le tableau de variations de \(f\).

c. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0\) ».

Initialisation. \(u_0=-1\) et \(u_1=-\text{e}^{-1}\approx-0{,}368\), donc \(-1\leq\, u_0\leq\, u_1\leq\, 0\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0\). D’après la question 2. b, \(f\) est croissante sur \([-3~;~+\infty[\), donc en particulier sur \([-1~;~0]\). Appliquer \(f\) conserve donc l’ordre :

\[f(-1)\leq\, f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(0),\quad\text{soit}\quad -\text{e}^{-1}\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 0.\]

Comme \(-1\leq\,-\text{e}^{-1}\), on en déduit \(-1\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 0\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0\).

d. La question précédente montre que la suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge. De plus, tous ses termes étant dans \([-1~;~0]\), sa limite \(\ell\) appartient aussi à \([-1~;~0]\) (passage à la limite dans les inégalités larges).

e. On résout \(f(x)=x\) en factorisant :

\[x^3\text{e}^x=x\iff x^3\text{e}^x-x=0\iff x(x^2\text{e}^x-1)=0\iff x=0\ \text{ou}\ x^2\text{e}^x-1=0.\]

L’équation \(x^2\text{e}^x-1=0\) a une seule solution, strictement supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) : elle n’est donc pas dans \([-1~;~0]\) et ne peut pas être \(\ell\). La seule possibilité est \(\ell=0\) : la suite \((u_n)\) converge vers 0.

Exercice 3 :

Dans ce repère, A est l’origine, et comme \(\vec{\text{AB}}=3\vec{\imath}\), \(\vec{\text{AD}}=2\vec{\jmath}\) et \(\vec{\text{AE}}=\vec{k}\), on a B\((3~;~0~;~0)\), D\((0~;~2~;~0)\), E\((0~;~0~;~1)\), puis C\((3~;~2~;~0)\), F\((3~;~0~;~1)\) et H\((0~;~2~;~1)\).

1. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, donc \(\vec{\text{AG}}=\vec{\text{AB}}+\vec{\text{AD}}+\vec{\text{AE}}=3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+\vec{k}\). Ainsi G\((3~;~2~;~1)\).

2. Puisque \(\vec{n}(2~;~0~;~-3)\) est normal au plan (EHI), ce plan a une équation de la forme \(2x-3z+d=0\). Le point E\((0~;~0~;~1)\) lui appartient : \(2\times 0-3\times 1+d=0\), d’où \(d=3\).

Une équation cartésienne du plan (EHI) est \(2x-3z+3=0\). (Vérification avec H\((0~;~2~;~1)\) : \(0-3+3=0\).)

3. Le triangle EIF, base du prisme, est le pignon avant du toit : il est situé dans le plan de la face avant ABFE, qui est le plan d’équation \(y=0\). Donc \(y_{\text{I}}=0\).

Le triangle EIF est isocèle en I, donc I est équidistant de E\((0~;~0~;~1)\) et de F\((3~;~0~;~1)\) : il se projette sur (EF) au milieu de [EF], de coordonnées \((\dfrac{3}{2}~;~0~;~1)\). Donc \(x_{\text{I}}=\dfrac{3}{2}\).

Enfin, I appartient au plan (EHI) : \(2\times \dfrac{3}{2}-3z_{\text{I}}+3=0\iff 6-3z_{\text{I}}=0\iff z_{\text{I}}=2\).

Donc I\((\dfrac{3}{2}~;~0~;~2)\).

4. On calcule l’angle avec le produit scalaire. On a \(\vec{\text{IE}}(-\dfrac{3}{2}~;~0~;~-1)\) et \(\vec{\text{IF}}(\dfrac{3}{2}~;~0~;~-1)\), donc :

\[\vec{\text{IE}}\cdot\vec{\text{IF}}=-\dfrac{9}{4}+0+1=-\dfrac{5}{4},\qquad \text{IE}=\text{IF}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+1}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}.\]

Or \(\vec{\text{IE}}\cdot\vec{\text{IF}}=\text{IE}\times \text{IF}\times \cos(\widehat{\text{EIF}})\), d’où :

\[\cos(\widehat{\text{EIF}})=\dfrac{-\dfrac{5}{4}}{\dfrac{13}{4}}=-\dfrac{5}{13}.\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{EIF}}\approx 112{,}6^\circ\), soit \(\widehat{\text{EIF}}\approx 113^\circ\) au degré près.

5. a. La droite \(\Delta\) passe par R\((6~;~-3~;~-1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(-3~;~4~;~1)\). Un point \(M(x~;~y~;~z)\) est sur \(\Delta\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{R}M}=t\,\vec{u}\), ce qui donne :

\[\{\begin{array}{l}x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. Le point K est sur \(\Delta\) et vérifie \(x=3\) : \(6-3t=3\iff t=1\). En reportant \(t=1\) : \(y=-3+4=1\) et \(z=-1+1=0\).

Donc K\((3~;~1~;~0)\).

c. On a B\((3~;~0~;~0)\) et C\((3~;~2~;~0)\). Le milieu de [BC] a pour coordonnées \((\dfrac{3+3}{2}~;~\dfrac{0+2}{2}~;~\dfrac{0+0}{2})=(3~;~1~;~0)\) : c’est exactement K. Le point K est le milieu de [BC], il appartient donc bien à l’arête [BC] : la tranchée atteint la maison au bon endroit.

Exercice 4 :

On complète d’abord l’arbre à l’aide de la règle « la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 » :

\[p(E_1)=1-0{,}4=0{,}6,\qquad p_{E_0}(R_0)=1-0{,}01=0{,}99,\qquad p_{E_1}(R_1)=1-0{,}02=0{,}98.\]

1. Réponse b. On suit la branche \(E_0\) puis \(R_0\) :

\[p(E_0\cap R_0)=p(E_0)\times p_{E_0}(R_0)=0{,}4\times 0{,}99=0{,}396.\]

2. Réponse c. \(E_0\) et \(E_1\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[p(R_0)=p(E_0\cap R_0)+p(E_1\cap R_0)=0{,}396+0{,}6\times 0{,}02=0{,}396+0{,}012=0{,}408.\]

3. Réponse c. On a \(p(R_1)=1-p(R_0)=0{,}592\) et \(p(E_0\cap R_1)=0{,}4\times 0{,}01=0{,}004\), donc :

\[p_{R_1}(E_0)=\dfrac{p(E_0\cap R_1)}{p(R_1)}=\dfrac{0{,}004}{0{,}592}\approx 0{,}0068\approx 0{,}007.\]

4. Réponse b. Il y a erreur lorsqu’un 0 envoyé est reçu comme un 1 ou lorsqu’un 1 envoyé est reçu comme un 0. Ces deux évènements sont incompatibles :

\[p(E_0\cap R_1)+p(E_1\cap R_0)=0{,}004+0{,}012=0{,}016.\]

5. Réponse d. Les 10 transmissions sont indépendantes et chacune réussit (octet sans erreur) avec la probabilité 0,88. Le nombre \(X\) d’octets transmis sans erreur suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}88\) :

\[P(X=7)=\binom\,{10}{7}\times 0{,}88^{7}\times 0{,}12^{3}=120\times 0{,}88^{7}\times 0{,}12^{3}\approx 0{,}085.\]

6. Réponse a. L’évènement contraire de « au moins 1 octet sans erreur » est « aucun octet sans erreur », c’est-à-dire \(X=0\) :

\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-0{,}12^{10}.\]

7. Réponse b. Par indépendance, la probabilité que \(N\) octets soient tous transmis sans erreur est \(0{,}88^N\). On cherche le plus grand \(N\) tel que \(0{,}88^N\geq\, 0{,}1\). La fonction \(\ln\) étant croissante :

\[0{,}88^N\geq\, 0{,}1\iff N\ln(0{,}88)\geq\,\ln(0{,}1)\iff N\leq\,\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}88)}\approx 18{,}01,\]

en changeant le sens de l’inégalité car \(\ln(0{,}88)\lt 0\). On vérifie : \(0{,}88^{18}\approx 0{,}1002\geq\, 0{,}1\) et \(0{,}88^{19}\approx 0{,}0881\lt 0{,}1\). Donc \(N_0=18\).

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