Brevet de maths 2020 en France (septembre) : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer le brevet 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2020
France métropolitaine et La Réunion — 14 septembre 2020
Mathématiques — Durée : 2 heures

Indications portant sur l’ensemble du sujet :

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie.

Exercice 2 (20 points)

On considère le programme de calcul suivant :

1. Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, alors le résultat obtenu est 5.

2. Quel est le résultat obtenu avec ce programme si le nombre choisi au départ est \(-10\) ?

3. Un élève s’aperçoit qu’en calculant le double de 2 et en ajoutant 1, il obtient 5, le même résultat que celui qu’il a obtenu à la question 1.

Il pense alors que le programme de calcul revient à calculer le double du nombre de départ et à ajouter 1.

A-t-il raison ?

4. Si \(x\) désigne le nombre choisi au départ, montrer que le résultat du programme de calcul est \(x^2 + 1\).

5. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ du programme de calcul pour obtenir 17 comme résultat ?

Exercice 3 (23 points)

Une entreprise fabrique des portiques pour installer des balançoires sur des aires de jeux.

Document 1 : croquis d’un portique

Vue d’ensemble	Vue de côté
——— : poutres en bois de diamètre 100 mm – – – – : barres de maintien latérales en bois.	ABC est un triangle isocèle en A. H est le milieu de [BC] (MN) est parallèle à (BC).

Document 2 : coût du matériel

1. Déterminer la hauteur AH du portique, arrondie au cm près.

2. Les barres de maintien doivent être fixées à 165 cm du sommet (AN = 165 cm). Montrer que la longueur MN de chaque barre de maintien est d’environ 140 cm.

3. Montrer que le coût minimal d’un tel portique équipé de balançoires s’élève à 196,98 €.

4. L’entreprise veut vendre ce portique équipé 20 % plus cher que son coût minimal. Déterminer ce prix de vente arrondi au centime près.

5. Pour des raisons de sécurité, l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) doit être compris entre 45° et 55°.

Ce portique respecte-t-il cette condition ?

Exercice 4 (23 points)

Une association propose diverses activités pour occuper les enfants pendant les vacances scolaires.

Plusieurs tarifs sont proposés :

• Tarif A : 8 € par demi-journée ;
• Tarif B : une adhésion de 30 € donnant droit à un tarif préférentiel de 5 € par demi-journée

Un fichier sur tableur a été préparé pour calculer le coût à payer en fonction du nombre de demi-journées d’activités pour chacun des tarifs proposés :

Les questions 1, 2, 4 et 5 ne nécessitent pas de justification.

1. Compléter ce tableau sur l’annexe 1 (annexe à rendre avec la copie : c’est le tableau ci-dessus).

2. Retrouver parmi les réponses suivantes la formule qui a été saisie dans la cellule B3 avant de l’étirer vers la droite :

3. On considère les fonctions \(f\) et \(g\) qui donnent les tarifs à payer en fonction du nombre \(x\) de demi-journées d’activités :

• Tarif A : \(f(x) = 8x\)
• Tarif B : \(g(x) = 30 + 5x\)

Parmi ces fonctions, quelle est celle qui traduit une situation de proportionnalité ?

4. Sur le graphique de l’annexe 2, on a représenté la fonction \(g\). Représenter sur ce même graphique la fonction \(f\).

Annexe 2 (annexe à rendre avec la copie) :

5. Déterminer le nombre de demi-journées d’activités pour lequel le tarif A est égal au tarif B.

6. Avec un budget de 100 €, déterminer le nombre maximal de demi-journées auxquelles on peut participer.

Décrire la méthode choisie.

Exercice 5 (14 points)

On cherche à dessiner une éolienne avec le logiciel Scratch ; elle est formée de 3 pales qui tournent autour d’un axe central.

Éolienne modélisée par Scratch

1. La figure ci-dessous représente une pale d’éolienne.

• DEC est un triangle isocèle en D ;
• B est le milieu de [EC] ;
• [AB] est perpendiculaire à [EC] ;
• \(\widehat{\text{ECD}} = 85^\circ\).

a. Montrer que l’angle \(\widehat{\text{CDE}} = 10^\circ\).

b. Le script « pale » ci-contre permet de tracer une pale de l’éolienne avec le logiciel Scratch.

Pourquoi la valeur indiquée dans le bloc de la ligne n° 6 est-elle 95 ?

c. Dans ce même script « pale », par quelle valeur doit-on compléter le bloc situé à la ligne n° 8 ?

Recopier cette valeur sur votre copie.

2. Le script « éolienne » ci-contre permet de tracer l’éolienne avec le logiciel Scratch.

Par quelle valeur doit-on compléter la boucle « répéter » ? Recopier cette valeur sur votre copie.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse A : 12. On range les 7 valeurs dans l’ordre croissant : 2 ; 6 ; 10 ; 12 ; 14 ; 22 ; 25. L’effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu, la 4^e : 12 (trois valeurs en dessous, trois au-dessus).

2. Réponse B : 0,3. Le sac contient \(50 + 45 + 45 + 60 = 200\) billes, toutes équiprobables, dont 60 jaunes : \(p = \dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\). La réponse A (60) ne peut pas être une probabilité puisqu’elle dépasse 1.

3. Réponse C : \(2 \times 2 \times 5 \times 101\). On a \(2\,020 = 2 \times 1\,010 = 2 \times 2 \times 505 = 2 \times 2 \times 5 \times 101\), et 101 est premier (il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, et \(11^2 = 121 \gt 101\)). La réponse A contient 10, qui n’est pas premier, et la réponse B vaut \(2\,525\).

4. Réponse C : \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\). Un volume s’exprime avec une longueur au cube ; \(2\pi R\) est le périmètre d’un cercle et \(\pi R^2\) l’aire d’un disque.

5. Réponse A : elle agrandit les longueurs. Une homothétie de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(|k|\) (la valeur du rapport sans son signe). Ici \(|-2| = 2 \gt 1\) : les longueurs sont doublées. Le signe moins indique seulement que l’image est « de l’autre côté » du centre A.

Exercice 2 :

1. Avec 2 : on ajoute 7 et on obtient \(2 + 7 = 9\) ; on soustrait 7 au nombre de départ : \(2 – 7 = -5\) ; on multiplie les deux résultats : \(9 \times (-5) = -45\) ; on ajoute 50 : \(-45 + 50 = 5\). On obtient bien 5.

2. Avec \(-10\) : \(-10 + 7 = -3\) et \(-10 – 7 = -17\). Le produit de deux nombres négatifs est positif : \((-3) \times (-17) = 51\). Enfin \(51 + 50 = 101\). Le résultat est 101.

3. Pour montrer qu’une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit. Avec \(-10\), le double augmenté de 1 donne \(2 \times (-10) + 1 = -19\), alors que le programme donne 101 (question 2). L’élève a tort : l’égalité obtenue avec 2 est une coïncidence.

4. Avec \(x\) au départ, les deux résultats intermédiaires sont \(x + 7\) et \(x – 7\). Leur produit se calcule avec l’identité remarquable \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) :

\[(x+7)(x-7) = x^2 – 7^2 = x^2 – 49\]

On ajoute ensuite 50 : \(x^2 – 49 + 50 = x^2 + 1\). Le résultat du programme est bien \(x^2 + 1\).

5. On résout l’équation \(x^2 + 1 = 17\) :

\[x^2 = 16\]

Les nombres dont le carré vaut 16 sont 4 et \(-4\) (on peut aussi écrire \(x^2 – 16 = (x-4)(x+4) = 0\)). Vérification : \(4^2 + 1 = 17\) et \((-4)^2 + 1 = 17\). Il faut choisir 4 ou \(-4\).

Exercice 3 :

1. H est le milieu de [BC], donc \(\text{HC} = \dfrac{290}{2} = 145\) cm. Le triangle AHC est rectangle en H (sur la vue de côté, [AH] est perpendiculaire à [BC]), d’hypoténuse [AC] de longueur 342 cm. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AC}^2 = \text{AH}^2 + \text{HC}^2\]

\[\text{AH}^2 = 342^2 – 145^2 = 116\,964 – 21\,025 = 95\,939\]

\[\text{AH} = \sqrt{95\,939} \approx 309{,}74\ \text{cm}\]

La hauteur du portique est d’environ 310 cm.

2. Les points A, N, C sont alignés, ainsi que A, M, B, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AMN et ABC :

\[\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}\]

\[\dfrac{165}{342} = \dfrac{\text{MN}}{290}\]

\[\text{MN} = \dfrac{165 \times 290}{342} \approx 139{,}9\ \text{cm}\]

Chaque barre de maintien mesure bien environ 140 cm.

3. On fait la liste du matériel en choisissant chaque fois la pièce la moins chère qui convient.

• La poutre du haut mesure 384 cm : il faut une poutre de 4 m, à 12,99 €.
• Les pieds mesurent 342 cm chacun et il y en a 4 (deux de chaque côté) : il faut 4 poutres de 3,5 m (celles de 3 m sont trop courtes), soit \(4 \times 11{,}75 = 47\) €.
• Les deux barres de maintien mesurent environ 140 cm chacune, soit 280 cm en tout. Deux barres de 1,5 m coûteraient \(2 \times 3{,}89 = 7{,}78\) €, mais une seule barre de 3 m coupée en deux suffit (\(280 \leq\, 300\)) et ne coûte que 6,99 €.

On ajoute les fixations (80 €) et les deux balançoires (50 €) :

\[12{,}99 + 47 + 6{,}99 + 80 + 50 = 196{,}98\ \text{€}\]

Le coût minimal du portique équipé est bien de 196,98 €.

4. Augmenter un prix de 20 %, c’est le multiplier par \(1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2\) :

\[196{,}98 \times 1{,}2 = 236{,}376\]

Le prix de vente est d’environ 236,38 €.

5. Le triangle ABC est isocèle en A et H est le milieu de [BC] : la droite (AH) est donc un axe de symétrie du triangle, et elle partage l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) en deux angles égaux, \(\widehat{\text{BAH}}\) et \(\widehat{\text{HAC}}\).

Dans le triangle AHC rectangle en H, on connaît le côté opposé à \(\widehat{\text{HAC}}\) (HC = 145 cm) et l’hypoténuse (AC = 342 cm) :

\[\sin \widehat{\text{HAC}} = \dfrac{\text{HC}}{\text{AC}} = \dfrac{145}{342}\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{HAC}} \approx 25{,}09^\circ\), donc :

\[\widehat{\text{BAC}} = 2 \times \widehat{\text{HAC}} \approx 50{,}2^\circ\]

Comme \(45^\circ \leq\, 50{,}2^\circ \leq\, 55^\circ\), le portique respecte la condition de sécurité.

Exercice 4 :

1. Tarif A : on multiplie le nombre de demi-journées par 8. Tarif B : on ajoute 30 € à 5 € par demi-journée. Annexe 1 complétée :

2. Réponse D : =30+5*B1. Le tarif B vaut 30 € d’adhésion plus 5 € fois le nombre de demi-journées, qui se trouve en B1. On contrôle : \(30 + 5 \times 1 = 35\), et après recopie vers la droite, C3 contient =30+5*C1, soit 40. Les formules B et C donnent 35 en B3 mais pas 40 en C3, la A correspond au tarif A et la E donnerait 35 partout.

3. Une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire, de la forme \(x \mapsto ax\). C’est le cas de \(f(x) = 8x\) (coefficient 8), mais pas de \(g\) à cause de l’adhésion de 30 € (par exemple 2 demi-journées coûtent 40 € et non \(2 \times 35 = 70\) €). C’est la fonction \(f\) (tarif A) qui traduit une situation de proportionnalité.

4. La fonction \(f\) est linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine du repère. Il suffit d’un second point, par exemple \(f(10) = 80\) : on trace la droite passant par (0 ; 0) et (10 ; 80) ; elle passe aussi par (5 ; 40) et atteint 112 € pour 14 demi-journées.

5. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (10 ; 80). Par le calcul : \(8x = 30 + 5x\) donne \(3x = 30\), soit \(x = 10\), et les deux tarifs valent alors \(8 \times 10 = 80\) €. Les deux tarifs sont égaux pour 10 demi-journées (80 € dans les deux cas).

6. On cherche, pour chaque tarif, le plus grand nombre entier de demi-journées dont le coût ne dépasse pas 100 €.

• Tarif A : \(8x \leq\, 100\) donne \(x \leq\, 12{,}5\), soit au plus 12 demi-journées (96 €).
• Tarif B : \(30 + 5x \leq\, 100\) donne \(5x \leq\, 70\), soit \(x \leq\, 14\) : 14 demi-journées pour exactement 100 €.

Graphiquement, on trace la droite horizontale d’ordonnée 100 : elle coupe la droite de \(g\) au point d’abscisse 14, et celle de \(f\) au point d’abscisse 12,5. Avec 100 €, on peut participer au maximum à 14 demi-journées, en choisissant le tarif B.

Exercice 5 :

1. a. Le triangle DEC est isocèle en D, donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{\text{DEC}} = \widehat{\text{DCE}} = 85^\circ\). La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :

\[\widehat{\text{CDE}} = 180^\circ – 85^\circ – 85^\circ = 10^\circ\]

L’angle \(\widehat{\text{CDE}}\) mesure bien 10°.

b. Au début de la ligne 6, le lutin vient de parcourir [BC] : il est en C et regarde dans la direction qui prolonge [BC] au-delà de C. Pour partir vers D, il doit tourner de l’angle entre ce prolongement et [CD]. Cet angle est le supplémentaire de l’angle \(\widehat{\text{BCD}} = \widehat{\text{ECD}} = 85^\circ\) de la pale : \(180^\circ – 85^\circ = 95^\circ\). C’est pour cela que le lutin tourne de 95° : dans Scratch, on tourne toujours de l’angle extérieur de la figure, pas de l’angle intérieur.

c. De la même façon, après la ligne 7 le lutin est en D et regarde dans le prolongement de [CD]. Pour repartir vers E, il doit tourner du supplémentaire de l’angle \(\widehat{\text{CDE}} = 10^\circ\) :

\[180^\circ – 10^\circ = 170^\circ\]

La valeur à inscrire ligne 8 est 170. (Contrôle : sur une pale, le lutin tourne à gauche de \(95 + 170 + 95 = 360\) degrés en longeant le triangle, ce qui correspond bien à un tour complet autour du triangle DEC.)

2. L’éolienne compte 3 pales. Le bloc « pale » trace une pale et ramène le lutin au centre dans sa direction de départ (les lignes 13 et 14 le font revenir en A puis faire demi-tour), puis le lutin tourne de 120° avant de tracer la pale suivante. Trois rotations de 120° font \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\), un tour complet. Il faut répéter 3 fois.

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