Dérivée d’une fonction : cours en première S

cours maths 1ere

Cours de mathématiques sur la dérivation d’une fonction.On y retrouvera la dérivée en un point et la signification concrète du nombre dérivée et de l’équation de la tangente en un point.La dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient.La dérivée et le sens de variation d’une fonction.Ainsi que les dérivées des fonctions usuelles.

I.Nombre dérivé – Fonction dérivée – tangente à une courbe

 

f est une fonction définie sur un intervalle I. La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal mathematiques.

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives mathematiqueset mathematiquesoù mathematiques.

 

M et N ont donc pour coordonnées: mathematiqueset mathematiquesc’est à dire: mathematiques.

On a donc: mathematiques soit mathematiques

La droite (MN) sécante à (C) a donc pour coefficient directeur:

mathematiques.

Si la courbe (C) possède en M une tangente de coefficient directeur d, alors lorsque le point N se rapproche de M, c’est à dire lorsque x tend vers a, ou, ce qui revient au même, lorsque h tend vers 0,

les sécantes (MN) vont atteindre une position limite qui est celle de la tangente (MP) en M à (C).

Ceci peut alors se traduire à l’aide des coefficients directeurs par:

mathematiques          c’est à dire :     mathematiques.

 

On a donc: mathematiques.

Si nous appelons mathematiques, la fonction définie pour mathematiques et mathematiques par: mathematiques,

on a: mathematiques  et mathematiques, ce qui s’écrit aussi: mathematiques.

Réciproquement, s’il existe un réel d et une fonction mathematiques telle que, pour tout mathematiques et mathematiques, on ait: mathematiques avec mathematiques,

on en déduit que: mathematiques et donc que: mathematiques.

Ceci nous permet donc de donner les trois définitions équivalentes:

 

Définition 1 :

            Si f est une fonction définie sur un intervalle mathematiques et si mathematiques.

Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait

mathematiques

On dit que la fonction f est dérivable en a et que mathematiques est le nombre dérivé de f en a.

 

Définition 2 :

            Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si mathematiques.

Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel mathematiqueset proche de a, on ait:

mathematiques

 

On dit que la fonction f est dérivable en a et que mathematiques est le nombre dérivé de f en a.

 

II. Fonction dérivable sur un intervalle I. Fonction dérivée d’une fonction dérivable sur I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I.

Lorsque f est dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout mathematiques associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f sur I. Cette fonction est notée mathematiques.

 

Interprétation graphique du nombre dérivé.

 

Si f est une fonction définie sur un intervalle I. Si mathematiqueset si f est dérivable en mathematiques, alors :

La courbe représentative de f possède une tangente au point mathematiques et le coefficient directeur de cette tangente est le nombre dérivé mathematiquesde la fonction f en mathematiques.

 

Remarques :

Si le graphique de f ne possède pas de tangente au point M d’abscisse mathematiques, alors la fonction f n’est pas dérivable en a. C’est le cas de la fonction valeur absolue en mathematiques.

Le graphique d’une fonction peut fort bien posséder une tangente en un point sans que la fonction soit dérivable en ce point : il suffit que le coefficient directeur de cette tangente n’existe pas (tangente parallèle à l’axe des ordonnées).

C’est le cas de la fonction racine carrée en mathematiques.

 

III. Équation de la tangente à une courbe

 

Si fonction f est dérivable en a, la tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse mathematiques existe.

Elle a pour coefficient directeur mathematiques.

Son équation est donc de la forme: mathematiques, où mathematiques et son ordonnée à l’origine p peut être calculée.

Il suffit d’écrire que (MP) passe par mathematiques.

On a donc: mathematiques. Ceci donne: mathematiques.

Donc: mathematiquesque l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

Equation de la tangente au point mathematiques :

mathematiques                       ou        mathematiques.

 

IV.   Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

 

Théorème 1:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

 

· Si f est croissante sur I, alors pour tout mathematiques, on a: mathematiques

· Si f est décroissante sur I, alors pour tout mathematiques, on a: mathematiques.

· Si f est constante sur I, alors pour tout mathematiques, on a: mathematiques.

 

 

Théorème 2:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

 

· Si, pour tout mathematiques, on a: mathematiques, alors f est croissante sur I.

· Si, pour tout mathematiques, on a: mathematiques, alors f est décroissante sur I.

· Si, pour tout mathematiques, on a: mathematiques, alors f est constante sur I.

 

 

Théorème 3:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

 

· Si, pour tout mathematiques, on a: mathematiques ( sauf peut-être en des points isolés où mathematiques),

alors f est strictement croissante sur I.

· Si, pour tout mathematiques, on a: mathematiques ( sauf peut-être en des points isolés où mathematiques),

alors f est strictement décroissante sur I.

 

En particulier:

 

f est une fonction dérivable sur un intervalle mathematiques.

· Si, pour tout mathematiques, on a mathematiques, alors f est strictement croissante sur mathematiques.

· Si, pour tout mathematiques, on a mathematiques, alors f est strictement décroissante sur mathematiques.

 

 

Exemples:

 

1) Soit la fonction f définie sur mathematiques par mathematiques.

f est dérivable sur mathematiques et  mathematiques pour tout mathematiques.

· Pour tout mathematiques, on a mathematiques, donc f est décroissante sur mathematiques.

· Pour toutmathematiques, on a mathematiques, donc f est croissante sur mathematiques.

 

Bien que mathematiques, on a de façon plus précise :

· Pour tout mathematiques, on a mathematiques, donc f est strictement décroissante sur mathematiques.

· Pour tout mathematiques, on a mathematiques, donc f est strictement croissante sur mathematiques.

V. Changement de signe de la dérivée et extremum d’une fonction

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

 

Théorème 1:

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I,

Et si f admet un maximum local ou un minimum local en  mathematiques différent des extrémités de l’intervalle I,

Alors: mathematiques.

 

Cas particulier où f est dérivable sur un intervalle ouvert:

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,

Et si f admet un maximum local ou un minimum local en mathematiques,

Alors: mathematiques.

 

Théorème 2 :

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,

Et si mathematiques et si mathematiques s’annule pour mathematiques en changeant de signe,

Alors f(a) est un extremum local de f sur I.

Exemples:

 

1) Soit la fonction f définie sur mathematiquespar mathematiques. f est dérivable sur mathematiques avec mathematiques.

mathematiques s’annule en mathematiques et mathematiques en changeant de signe, car :

pour x appartenant à mathematiques  , on a : mathematiques. Donc f est strictement croissante sur mathematiques.

pour x appartenant à  mathematiques, on a : mathematiques. Donc f est strictement décroissante sur mathematiques.

pourx appartenant à mathematiques , on a : mathematiques. Donc f est strictement croissante sur mathematiques.

f possède donc un maximum local en mathematiques et un minimum local en mathematiques.

Toute cette étude peut être résumée dans le tableau ci-dessous :

Voici un morceau des représentations graphiques de f et de mathematiques :

 

 


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