Contrôle de maths L1 : bijections et relations d’équivalence

Exercice 1 : Question de cours : composition et injectivité (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soient \(E\), \(F\), \(G\) trois ensembles, \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications.

1. Rappelez les définitions d’une application injective et d’une application surjective. Démontrez ensuite que si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective, et que si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective. (2,5 points)
2. Montrez à l’aide d’un contre-exemple que \(g \circ f\) peut être injective sans que \(g\) le soit. (1,5 point)

Exercice 2 : Images directes et réciproques par la fonction carré (4 points)

On note \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) l’application \(x \mapsto x^2\), dont la courbe est représentée ci-dessous. Toutes les réponses doivent être démontrées ; la figure ne sert qu’à conjecturer.

1. Déterminez l’image directe \(f([-1,2])\). (1 point)
2. Déterminez l’image réciproque \(f^{-1}([1,4])\). (1 point)
3. Déterminez \(f^{-1}([-3,-1])\), puis \(f(f^{-1}([-1,4]))\). Comparez ce dernier ensemble à \([-1,4]\). (1 point)
4. Soit \(u : E \to F\) une application quelconque et \(B \subset F\). Démontrez que \(u(u^{-1}(B)) \subset B\), et qu’il y a égalité lorsque \(u\) est surjective. (1 point)

Exercice 3 : Deux applications de R2 dans R2 (5 points)

On définit les applications \(\varphi\) et \(\psi\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) par \(\varphi(x,y) = (x+y,\ x-y)\) et \(\psi(x,y) = (x+y,\ xy)\).

1. Démontrez que \(\varphi\) est bijective et déterminez explicitement sa bijection réciproque \(\varphi^{-1}\). (2 points)
2. L’application \(\psi\) est-elle injective ? Justifiez. (1 point)
3. Soit \((s,p) \in \mathbb{R}^2\). Démontrez que \((s,p)\) admet un antécédent par \(\psi\) si et seulement si \(s^2 – 4p \geq\, 0\). L’application \(\psi\) est-elle surjective ? Décrivez son image. (2 points)

Exercice 4 : Problème : relation d’équivalence et ordre de divisibilité (7 points)

Partie A. On définit sur \(\mathbb{R}^2\) la relation \(\mathcal{R}\) par : \((x,y)\,\mathcal{R}\,(x^{\prime},y^{\prime})\) si et seulement si \(x^2 + y^2 = x^{\prime 2} + y^{\prime 2}\).

1. Démontrez que \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence. (1,5 point)
2. Décrivez géométriquement la classe d’équivalence d’un point \((x_0,y_0)\) de \(\mathbb{R}^2\). Distinguez le cas de l’origine. (1 point)
3. On note \(Q\) l’ensemble des classes d’équivalence. Démontrez que l’application qui à une classe \(C\) associe la valeur commune de \(x^2+y^2\) pour \((x,y) \in C\) est bien définie et réalise une bijection de \(Q\) sur \([0,+\infty[\). (1,5 point)

Partie B. On munit \(\mathbb{N}^*\) de la relation de divisibilité : \(a \mid b\) si et seulement s’il existe \(k \in \mathbb{N}^*\) tel que \(b = ka\).

4. Démontrez que la divisibilité est une relation d’ordre sur \(\mathbb{N}^*\). (1,5 point)
5. Cet ordre est-il total ? Justifiez. (0,5 point)
6. Soit \(A = \{2, 3, 4, 6\}\). Déterminez l’ensemble des majorants de \(A\) pour la divisibilité et son plus petit élément. La partie \(A\) admet-elle un plus grand élément ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : bijections et relations d’équivalence

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Applications et relations » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés applications et relations.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L1 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.