Ce contrôle de maths de L1 porte sur le thème suivant : intégrales, équations différentielles et DL.
Ce partiel de trois heures clôt la partie analyse du second semestre de L1. Il mobilise ensemble trois chapitres : l’intégrale de Riemann, les équations différentielles linéaires et les développements limités. Aucune question de cours pure n’est posée. En revanche, chaque question demande de citer précisément le théorème utilisé.
D’abord, vous étudierez une fonction définie par une intégrale à bornes variables. Ensuite, vous résoudrez une équation différentielle grâce à une intégration par parties. Enfin, le problème part d’une famille d’équations différentielles et aboutit au développement asymptotique d’une suite d’intégrales. Gérez votre temps : le problème compte pour 8 points sur 20.
- Niveau : licence L1
- Chapitres : Intégrale de Riemann et calcul de primitives + Équations différentielles linéaires + Formules de Taylor et développements limités
- Durée conseillée : 3 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 6 points ; exercice 2 : 6 points ; exercice 3 : 8 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : obtenir un développement limité par intégration et par produit
- Calculer : intégrer par parties et appliquer la variation de la constante
- Raisonner : dériver une fonction définie par une intégrale à bornes variables
- Chercher : encadrer une suite d’intégrales et en déduire un équivalent
- Communiquer : enchaîner plusieurs outils d’analyse dans un problème rédigé
Exercice 1 : Une fonction définie par une intégrale (6 points)
Calculatrice interdite.
Pour tout réel \(x\), on pose
\[F(x) = \int_{x}^{2x} e^{-t^2}\,dt.\]
- Justifiez que \(F\) est définie et de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\). Calculez ensuite \(F^{\prime}(x)\). (1,5 point)
- Démontrez que \(F\) est impaire. (1 point)
- Déterminez le développement limité de \(F\) à l’ordre 5 en 0. (1,5 point)
- Déduisez-en l’équation de la tangente à la courbe de \(F\) en 0, ainsi que la position locale de la courbe par rapport à cette tangente. (1 point)
- Montrez que, pour tout \(x > 0\), \(0 \leq\, F(x) \leq\, x\,e^{-x^2}\). Déduisez-en la limite de \(F\) en \(+\infty\). (1 point)
Exercice 2 : Équation différentielle et intégration par parties (6 points)
On considère sur l’intervalle \(I = ]0,+\infty[\) l’équation différentielle
\[(E) : x\,y^{\prime} – y = x^2 \ln x.\]
- Résolvez l’équation homogène associée à \((E)\) sur \(I\). (1 point)
- À l’aide d’une intégration par parties, calculez \(\displaystyle\int_1^x \ln t\,dt\) pour \(x > 0\). (1 point)
- Par la méthode de variation de la constante, déterminez toutes les solutions de \((E)\) sur \(I\). (1,5 point)
- Déterminez l’unique solution \(g\) de \((E)\) sur \(I\) telle que \(g(1) = 0\). (0,5 point)
- Déterminez le développement limité de \(g\) à l’ordre 3 en 1. Que peut-on en déduire pour \(g\) au voisinage de 1 ? (2 points)
Exercice 3 : Problème : une suite d’intégrales issue d’une équation différentielle (8 points)
Pour tout entier naturel \(n\), on considère sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle
\[(E_n) : y^{\prime} + y = x^n.\]
Partie A : l’équation différentielle
- Montrez que \((E_n)\) admet une unique solution \(y_n\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(y_n(0) = 0\), et que pour tout réel \(x\) :
\[y_n(x) = e^{-x}\int_0^x t^n e^{t}\,dt.\] (1,5 point) - Dans le cas \(n = 1\), calculez \(y_1(x)\) explicitement à l’aide d’une intégration par parties. Vérifiez votre résultat. (1 point)
- Montrez que \(y_n(x) \sim \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) quand \(x\) tend vers 0. (1 point)
Partie B : la suite des valeurs en 1
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(J_n = y_n(1)\).
- Montrez que \(J_n = \displaystyle\int_0^1 t^n e^{t-1}\,dt\), puis que \(0 \leq\, J_n \leq\, \dfrac{1}{n+1}\). Déduisez-en la limite de la suite \((J_n)\). (1 point)
- À l’aide d’une intégration par parties, montrez que pour tout entier naturel \(n\) : \((n+1)\,J_n + J_{n+1} = 1\). (1 point)
- Déduisez-en que \(J_n \sim \dfrac{1}{n}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). (1 point)
- Montrez enfin que \(J_n = \dfrac{1}{n} – \dfrac{2}{n^2} + o\!(\dfrac{1}{n^2})\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : intégrales, équations différentielles et DL
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégration sur un segment » en L1 et « Équations différentielles » en L1 et « Développements limités » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégration sur un segment, équations différentielles, développements limités.
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