Contrôle de maths L1 : formules de Taylor et développements limités

Exercice 1 : Question de cours : unicité du développement limité (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) contenant \(0\), et \(n \in \mathbb{N}\).

1. Donnez la définition de « \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) ». (1 point)
2. Démontrez que, s’il existe, ce développement limité est unique : autrement dit, si \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k x^k + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n} b_k x^k + o(x^n)\) au voisinage de \(0\), alors \(a_k = b_k\) pour tout \(k \in \{0, \ldots, n\}\). (2 points)

Exercice 2 : Inégalité de Taylor-Lagrange pour le sinus (4 points)

1. Énoncez l’inégalité de Taylor-Lagrange pour une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle \(I\), entre deux points \(a\) et \(x\) de \(I\). (1 point)
2. Montrez que, pour tout réel \(x\), \[| \sin x – x + \frac{x^3}{6} | \leq\, \frac{|x|^5}{120}.\] (1,5 point)
3. Déduisez-en une valeur approchée de \(\sin(0{,}1)\) sous forme décimale, et justifiez que l’erreur commise est inférieure à \(10^{-7}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Développements limités, limites et équivalents (5 points)

Les développements limités usuels en \(0\) de \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\) et \(\ln(1+x)\) sont supposés connus.

1. Déterminez le développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\) de \(x \mapsto e^x \sin x\). (1,5 point)
2. Déterminez le développement limité à l’ordre \(4\) en \(0\) de \(x \mapsto \ln(\cos x)\). (1,5 point)
3. Calculez \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x – x – x^2}{x – \sin x}\). (1 point)
4. Donnez un équivalent simple, quand \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, de \((1+x)^{1/x} – e\). (1 point)

Exercice 4 : Position d’une courbe par rapport à sa tangente (3 points)

On note \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x \cos x\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative.

1. Déterminez le développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\) de \(f\). (1,5 point)
2. Donnez une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse \(0\). (0,5 point)
3. Étudiez la position relative de \(\mathcal{C}\) et de \(T\) au voisinage de \(0\). Que représente le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(0\) ? (1 point)

Exercice 5 : Problème : asymptote oblique d’une fonction (5 points)

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x) = x\, e^{1/x}\), et on note \(\Gamma\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. En posant \(u = \dfrac{1}{x}\) et en utilisant le développement limité de \(e^u\) à l’ordre \(3\) en \(0\), montrez que, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), \[g(x) = x + 1 + \frac{1}{2x} + \frac{1}{6x^2} + o(\frac{1}{x^2}).\] (1,5 point)
2. Déduisez-en que \(\Gamma\) admet une asymptote oblique \(\Delta\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), dont vous donnerez une équation. Précisez la position de \(\Gamma\) par rapport à \(\Delta\) au voisinage de \(+\infty\), puis de \(-\infty\). (1,5 point)
3. Déterminez les limites de \(g\) en \(0\) à droite et en \(0\) à gauche. (1 point)
4. Calculez \(g^{\prime}(x)\), dressez le tableau de variations de \(g\) et vérifiez qu’il est compatible avec la question b. (1 point)

Réviser avant le contrôle : formules de Taylor et développements limités

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Développements limités » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés développements limités.

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