Intégration sur un segment : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Intégrale d’une fonction en escalier

On définit \(\varphi\) sur \([0, 4]\) par \(\varphi(x) = 2\) sur \([0, 1[\), \(\varphi(1) = 5\), \(\varphi(x) = -1\) sur \(]1, 3[\) et \(\varphi(x) = 3\) sur \([3, 4]\). La figure ci-dessous représente \(\varphi\).

On note aussi \(\psi\) la fonction partie entière restreinte à \([0, 4]\) : \(\psi(x) = \lfloor x \rfloor\).

1. Justifier que \(\varphi\) est en escalier et donner une subdivision adaptée. La valeur \(\varphi(1)\) joue-t-elle un rôle ?
2. Calculer \(\int_0^4 \varphi\).
3. Donner une subdivision adaptée à la fois à \(\varphi\) et à \(\psi\). Calculer \(\int_0^4 \psi\), puis \(\int_0^4 (\varphi + \psi)\) directement, et vérifier la linéarité.
4. Calculer \(\int_0^4 |\varphi|\) et comparer avec \(|\int_0^4 \varphi|\).

Exercice 2 : Intégrale de la fonction carré par encadrement

On note \(f(x) = x^2\) sur \([0, 1]\). Pour \(n \geq\, 1\) et \(0 \leq\, k \leq\, n-1\), on pose \(\varphi_n(x) = (\frac{k}{n})^2\) et \(\psi_n(x) = (\frac{k+1}{n})^2\) pour \(x \in [\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}[\), puis \(\varphi_n(1) = \psi_n(1) = 1\). On rappelle que \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

1. Montrer que \(\varphi_n \leq\, f \leq\, \psi_n\) sur \([0, 1]\).
2. Calculer \(\int_0^1 \varphi_n\) et \(\int_0^1 \psi_n\), puis \(\int_0^1 (\psi_n – \varphi_n)\).
3. En déduire, sans utiliser de primitive, que \(f\) est intégrable sur \([0, 1]\) et que \(\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\).

Exercice 3 : Une fonction bornée non intégrable

1. On note \(f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) sur \([0, 1]\) : \(f(x) = 1\) si \(x\) est rationnel, \(0\) sinon. Montrer que toute fonction en escalier \(\varphi \leq\, f\) vérifie \(\int_0^1 \varphi \leq\, 0\), et que toute fonction en escalier \(\psi \geq\, f\) vérifie \(\int_0^1 \psi \geq\, 1\). Conclure.
2. On note \(g\) la fonction définie sur \([0, 1]\) par \(g(x) = 1\) si \(x = \frac{1}{n}\) pour un entier \(n \geq\, 1\), et \(g(x) = 0\) sinon. Montrer que \(g\) est intégrable et que \(\int_0^1 g = 0\).
3. Les fonctions \(f\) et \(g\) diffèrent de la fonction nulle en une infinité de points. Quelle différence essentielle entre les ensembles concernés explique leur comportement opposé ?

Exercice 4 : Une fonction monotone discontinue

On définit \(f\) sur \([0, 1]\) par \(f(0) = 0\) et, pour tout entier \(n \geq\, 1\), \(f(x) = \frac{1}{n}\) si \(x \in ]\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}]\). On admet que \(\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2}\) tend vers \(\frac{\pi^2}{6}\).

1. Vérifier que \(f\) est bien définie sur \([0, 1]\), puis montrer qu’elle est croissante. En déduire qu’elle est intégrable.
2. Montrer que \(f\) est discontinue en chaque point \(\frac{1}{n}\) avec \(n \geq\, 2\).
3. Pour \(N \geq\, 1\), calculer \(\int_{1/(N+1)}^{1} f\) en fonction de \(\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2}\) et de \(N\).
4. Montrer que \(0 \leq\, \int_0^{1/(N+1)} f \leq\, \frac{1}{(N+1)^2}\). En déduire la valeur de \(\int_0^1 f\).

Exercice 5 : Intégrabilité de sin(1/x)

On définit \(f\) sur \([0, 1]\) par \(f(0) = 0\) et \(f(x) = \sin\frac{1}{x}\) pour \(x \in \,]0, 1]\).

1. Montrer que \(f\) n’admet pas de limite en \(0\). La fonction \(f\) est-elle continue par morceaux sur \([0, 1]\) ?
2. Soit \(\varepsilon \in \,]0, 1[\). Justifier l’existence de deux fonctions en escalier \(\varphi_1 \leq\, f \leq\, \psi_1\) sur \([\varepsilon, 1]\) telles que \(\int_\varepsilon^1 (\psi_1 – \varphi_1) \leq\, \varepsilon\).
3. En prolongeant ces fonctions à \([0, 1]\), montrer que \(f\) est intégrable sur \([0, 1]\).
4. Montrer que \(| \int_0^1 f – \int_\varepsilon^1 f | \leq\, \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon \in \,]0, 1[\).
5. Généraliser : montrer que toute fonction bornée sur \([a,b]\) et continue sur \(]a,b]\) est intégrable sur \([a,b]\).

Exercice 6 : Relation de Chasles et valeurs absolues

Calculer les intégrales suivantes en découpant le segment avec la relation de Chasles.

1. \(I = \int_0^3 \lfloor x \rfloor\,\mathrm{d}x\).
2. \(J = \int_{-1}^{3} |x – 1|\,\mathrm{d}x\). Interpréter le résultat comme une somme d’aires de triangles.
3. \(K = \int_0^2 x \lfloor x \rfloor\,\mathrm{d}x\).
4. \(L = \int_3^0 \lfloor x \rfloor\,\mathrm{d}x\). Pourquoi ce résultat négatif ne contredit-il pas la positivité de l’intégrale ?

Exercice 7 : Positivité et suite d’intégrales

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x\).

1. Calculer \(I_0\).
2. Montrer que \(I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Montrer que la suite \((I_n)\) est décroissante et que \(0 \leq\, I_n \leq\, \frac{1}{n+1}\). En déduire sa limite.
4. Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k+1} = \ln 2 – (-1)^n I_n\), puis déterminer la limite de \(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k+1}\).

Exercice 8 : Encadrement et inégalité de la moyenne

On pose \(I = \int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x\), intégrale qu’on ne sait pas calculer à l’aide des fonctions usuelles.

1. Justifier que \(I\) existe. Donner un premier encadrement de \(I\) par l’inégalité de la moyenne.
2. Montrer que, pour tout \(t \in [0, 1]\), \(1 + t \leq\, e^t \leq\, 1 + (e – 1)t\).
3. En déduire que \(\frac{4}{3} \leq\, I \leq\, \frac{e+2}{3}\).
4. Montrer qu’il existe \(c \in [0, 1]\) tel que \(I = e^{c^2}\), et encadrer \(c^2\).

Exercice 9 : Inégalité de Cauchy-Schwarz

1. Soit \(f\) continue et strictement positive sur \([a,b]\). Montrer que \(\int_a^b f \times \int_a^b \frac{1}{f} \geq\, (b-a)^2\). Montrer que l’égalité a lieu si et seulement si \(f\) est constante.
2. Montrer que \(1 \leq\, \int_0^1 \sqrt{1 + x^3}\,\mathrm{d}x \leq\, \frac{\sqrt{5}}{2}\).
3. Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, 1]\) avec \(f(0) = 0\). Montrer que, pour tout \(x \in [0, 1]\), \(f(x)^2 \leq\, x \int_0^1 f^{\prime}(t)^2\,\mathrm{d}t\). En déduire que \(\int_0^1 f^2 \leq\, \frac{1}{2}\int_0^1 (f^{\prime})^2\).

Exercice 10 : Fonctions continues d’intégrale nulle

1. Soit \(g\) continue sur \([a,b]\) telle que \(\int_a^b g = 0\). Montrer que \(g\) s’annule au moins une fois sur \([a,b]\).
2. Soit \(f\) continue sur \([0, 1]\) telle que \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\). Montrer qu’il existe \(c \in [0, 1]\) tel que \(f(c) = c\).
3. Donner une fonction \(h\) positive et intégrable sur \([0, 1]\), d’intégrale nulle, mais non identiquement nulle. Quelle hypothèse du cours fait défaut ?
4. Soit \(f\) continue sur \([a,b]\) telle que \(\int_a^b f g = 0\) pour toute fonction \(g\) continue sur \([a,b]\). Montrer que \(f\) est nulle.

Exercice 11 : Limites de sommes de Riemann

Déterminer la limite, quand \(n \to +\infty\), de chacune des suites suivantes.

1. \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}\).
2. \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k}\).
3. \(U_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}\).
4. \(V_n = \frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\).

Exercice 12 : Sommes de Riemann et produits

1. Déterminer la limite de \(u_n = ( \prod_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{n}) )^{1/n}\). On calculera \(\int_0^1 \ln(1+x)\,\mathrm{d}x\) par parties.
2. Déterminer la limite de \(w_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2}\,e^{k/n}\).
3. Déterminer la limite de \(z_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2}\).

Exercice 13 : Erreur de la méthode des rectangles

Pour \(f\) définie sur \([0, 1]\) et \(n \geq\, 1\), on pose \(R_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(\frac{k}{n})\).

1. On suppose \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et on note \(M_1 = \sup_{[0, 1]} |f^{\prime}|\). Montrer que \(| \int_0^1 f – R_n | \leq\, \frac{M_1}{2n}\).
2. On suppose seulement \(f\) monotone. Montrer que \(| \int_0^1 f – R_n | \leq\, \frac{|f(1) – f(0)|}{n}\).
3. On prend \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\). Montrer que \(\sup_{[0, 1]} |f^{\prime}| = \frac{3\sqrt{3}}{8}\).
4. Pour cette fonction, quel entier \(n\) chacune des deux majorations garantit-elle pour obtenir \(\frac{\pi}{4}\) à \(10^{-3}\) près ?

Exercice 14 : Primitives usuelles

Calculer les intégrales suivantes en reconnaissant une primitive usuelle ou une forme \(u^{\prime}\,g(u)\).

1. \(\int_0^{\pi/4} \tan x\,\mathrm{d}x\).
2. \(\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x\).
3. \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).
4. \(\int_0^{1/2} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 – x^2}}\).
5. \(\int_0^1 x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x\).
6. \(\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x\,\mathrm{d}x\).
7. Déterminer une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{x \ln x}\) sur \(]1, +\infty[\).

Exercice 15 : Intégrations par parties

Calculer à l’aide d’une ou deux intégrations par parties, en précisant les fonctions choisies.

1. \(\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x\).
2. \(\int_1^e x \ln x\,\mathrm{d}x\).
3. \(\int_0^{\pi/2} x \cos x\,\mathrm{d}x\).
4. \(\int_0^1 \arctan x\,\mathrm{d}x\).
5. \(\int_0^{\pi} e^x \sin x\,\mathrm{d}x\).

Exercice 16 : Intégrales de Wallis

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\mathrm{d}t\). La figure ci-dessous montre que \(\sin^n\) se concentre près de \(\frac{\pi}{2}\) quand \(n\) grandit.

1. Montrer que \(W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n t\,\mathrm{d}t\). Calculer \(W_0\), \(W_1\) et \(W_2\).
2. Montrer que \(W_n > 0\) et que la suite \((W_n)\) est décroissante.
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}\,W_n\).
4. En déduire, pour \(p \in \mathbb{N}\), les expressions \(W_{2p} = \frac{(2p)!}{4^p\,(p!)^2}\cdot\frac{\pi}{2}\) et \(W_{2p+1} = \frac{4^p\,(p!)^2}{(2p+1)!}\).
5. Montrer que la suite \(\big((n+1)\,W_{n+1}\,W_n\big)\) est constante et donner sa valeur.
6. Montrer que \(W_{n+1} \sim W_n\), puis que \(W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}\).

Exercice 17 : Changements de variable

Calculer les intégrales suivantes à l’aide du changement de variable indiqué, en justifiant son emploi.

1. \(\int_0^1 \sqrt{1 – x^2}\,\mathrm{d}x\), avec \(x = \sin t\).
2. \(\int_1^4 \frac{\mathrm{d}x}{x + \sqrt{x}}\), avec \(t = \sqrt{x}\).
3. \(\int_0^1 \frac{e^x}{1 + e^{2x}}\,\mathrm{d}x\), avec \(u = e^x\).
4. \(\int_0^3 x\sqrt{x+1}\,\mathrm{d}x\), avec \(u = x + 1\).

Exercice 18 : Symétries et changement de variable

1. Soit \(a > 0\) et \(f\) continue sur \([-a,a]\). Montrer que \(\int_{-a}^{a} f = 0\) si \(f\) est impaire, et \(\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f\) si \(f\) est paire. Calculer \(\int_{-1}^{1} (x^5 – 3x^2 + \sin x)\mathrm{d}x\).
2. Soit \(T > 0\) et \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) et \(T\)-périodique. En dérivant \(a \mapsto \int_a^{a+T} f\), montrer que cette intégrale ne dépend pas de \(a\).
3. Calculer \(I = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x}\,\mathrm{d}x\) à l’aide du changement de variable \(x = \pi – u\).
4. Calculer \(K = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x\) à l’aide du changement de variable \(x = \frac{\pi}{2} – u\).

Exercice 19 : Fractions rationnelles

Calculer les intégrales suivantes après décomposition en éléments simples.

1. \(\int_2^3 \frac{\mathrm{d}x}{x^2 – 1}\).
2. \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + x + 1}\).
3. \(\int_0^1 \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}\,\mathrm{d}x\).
4. \(\int_0^1 \frac{x^3 + 2}{x + 1}\,\mathrm{d}x\).

Exercice 20 : Pôle double et substitution tangente

1. Trouver trois réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) tels que \(\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{x+1} + \frac{\gamma}{(x+1)^2}\). Calculer \(\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)^2}\).
2. Calculer \(\int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{2 + \cos x}\) à l’aide du changement de variable \(t = \tan\frac{x}{2}\).
3. Calculer \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(1 + x^2)^2}\) à l’aide du changement de variable \(x = \tan t\).

Exercice 21 : Fonctions définies par une intégrale

Pour \(x > 1\), on pose \(F(x) = \int_x^{x^2} \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\).

1. Justifier que \(F\) est définie et dérivable sur \(]1, +\infty[\), et montrer que \(F^{\prime}(x) = \frac{x-1}{\ln x}\). En déduire le sens de variation de \(F\).
2. Calculer \(\int_x^{x^2} \frac{\mathrm{d}t}{t \ln t}\) pour \(x > 1\).
3. En déduire que \(x \ln 2 \leq\, F(x) \leq\, x^2 \ln 2\) pour tout \(x > 1\). Déterminer les limites de \(F\) en \(1\) et en \(+\infty\).
4. Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) et \(G(x) = \int_0^x (x – t)\,f(t)\,\mathrm{d}t\). Montrer que \(G\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) et calculer \(G^{\prime}\) et \(G^{\prime\prime}\).

Exercice 22 : Lemme de Riemann-Lebesgue

Pour \(f\) intégrable sur \([a,b]\), on pose \(I_n(f) = \int_a^b f(t)\sin(nt)\,\mathrm{d}t\) et \(J_n(f) = \int_a^b f(t)\cos(nt)\,\mathrm{d}t\). On veut montrer que ces deux suites tendent vers \(0\). La figure ci-dessous illustre l’idée : les arches positives et négatives se compensent de mieux en mieux.

1. On suppose \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Montrer à l’aide d’une intégration par parties que \(|I_n(f)| \leq\, \frac{1}{n}( |f(a)| + |f(b)| + \int_a^b |f^{\prime}| )\) pour \(n \geq\, 1\). On admet le même résultat pour \(J_n(f)\).
2. On suppose \(f\) en escalier. Montrer que \(I_n(f) \to 0\).
3. On suppose seulement \(f\) intégrable. Soit \(\varepsilon > 0\) et \(\varphi \leq\, f \leq\, \psi\) en escalier avec \(\int_a^b (\psi – \varphi) \leq\, \varepsilon\). Montrer que \(|I_n(f) – I_n(\varphi)| \leq\, \varepsilon\), puis que \(I_n(f) \to 0\).
4. Application : déterminer la limite de \(\int_0^{\pi} e^t \sin^2(nt)\,\mathrm{d}t\).

Exercice 23 : Problème : la constante d’Euler

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\), \(u_n = H_n – \ln n\) et \(v_n = H_n – \ln(n+1)\).

1. Montrer que, pour tout entier \(k \geq\, 1\), \(\frac{1}{k+1} \leq\, \int_k^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \leq\, \frac{1}{k}\).
2. En déduire que \(\ln(n+1) \leq\, H_n \leq\, 1 + \ln n\) pour tout \(n \geq\, 1\), puis que \(H_n \sim \ln n\).
3. Montrer que \((u_n)\) est décroissante et que \((v_n)\) est croissante.
4. Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes. On note \(\gamma\) leur limite commune. Montrer que \(\frac{3}{2} – \ln 3 \leq\, \gamma \leq\, \frac{3}{2} – \ln 2\).
5. Montrer que \(0 \leq\, u_n – \gamma \leq\, \frac{1}{n}\). Quel rang suffit pour connaître \(\gamma\) à \(10^{-2}\) près ?
6. Exprimer \(\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\) à l’aide de \(u_{2n}\) et \(u_n\), et retrouver sa limite. Comparer avec l’exercice 11.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : intégration sur un segment, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Dérivation et accroissements finis, Fonctions usuelles et fonctions réciproques, Polynômes et fractions rationnelles
• Chapitre précédent : Systèmes linéaires et calcul matriciel
• Chapitre suivant : Équations différentielles linéaires
• Le même thème en maths sup : intégration sur un segment, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3