Contrôle de maths L1 : espaces vectoriels et sous-espaces

Exercice 1 : Question de cours : intersection et union de sous-espaces (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

1. Énoncez la caractérisation des sous-espaces vectoriels de \(E\). (1 point)
2. Démontrez que l’intersection de deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). (1 point)
3. Montrez, à l’aide d’un contre-exemple dans \(\mathbb{R}^2\), que la réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas toujours un sous-espace vectoriel. (1 point)

Exercice 2 : Une structure d’espace vectoriel inhabituelle (4 points)

On note \(E = \,]0\,;+\infty[\) et on munit \(E\) des deux lois suivantes : pour tous \(x, y \in E\) et tout \(\lambda \in \mathbb{R}\), \[x \oplus y = xy \qquad \text{et} \qquad \lambda \odot x = x^{\lambda}.\]

1. Montrez que \((E, \oplus)\) est un groupe commutatif. Précisez son élément neutre et le symétrique d’un élément \(x\). (1,5 point)
2. Vérifiez les quatre axiomes relatifs à la loi externe \(\odot\), et concluez que \((E, \oplus, \odot)\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. (2 points)
3. On garde la loi \(\oplus\), mais on munit cette fois \(E\) de la loi externe \(\lambda \cdot x = \lambda x\) (produit usuel). Expliquez pourquoi on n’obtient pas un espace vectoriel. (0,5 point)

Exercice 3 : Sous-espaces vectoriels ou non (5 points)

Pour chacun des ensembles suivants, dites s’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de l’espace indiqué. Justifiez par une démonstration si oui, par un contre-exemple explicite si non.

1. \(F_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,:\, x + 2y – z = 0\}\) dans \(\mathbb{R}^3\). (1 point)
2. \(F_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,:\, x + y = 1\}\) dans \(\mathbb{R}^3\). (1 point)
3. \(F_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,:\, xy = 0\}\) dans \(\mathbb{R}^2\). (1 point)
4. \(F_4 = \{P \in \mathbb{R}[X] \,:\, P(1) = 0 \text{ et } P^{\prime}(1) = 0\}\) dans \(\mathbb{R}[X]\). (1 point)
5. \(F_5 = \{f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \,:\, f^{\prime\prime} + f = 0\}\) dans \(\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), puis \(F_6 = \{f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \,:\, f^{\prime\prime} + f = 1\}\). (1 point)

Exercice 4 : Sous-espace engendré et somme directe dans R3 (4 points)

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,:\, x – y + z = 0\}\) et \(G = \operatorname{Vect}(w)\) avec \(w = (1, 1, 1)\).

1. Montrez que \(F = \operatorname{Vect}\big((1, 1, 0), (0, 1, 1)\big)\). (1,5 point)
2. Montrez que \(F \cap G = \{0\}\). (1 point)
3. Montrez que tout vecteur \(v = (x, y, z)\) de \(\mathbb{R}^3\) s’écrit de façon unique \(v = u + t\,w\) avec \(u \in F\) et \(t \in \mathbb{R}\) : exprimez \(t\) et \(u\) en fonction de \(x\), \(y\), \(z\). Que peut-on en conclure pour \(F\) et \(G\) ? Donnez la décomposition de \(v = (2, 0, 1)\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : fonctions paires et fonctions impaires (4 points)

On note \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) l’espace vectoriel des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). On note \(\mathcal{P}\) l’ensemble des fonctions paires et \(\mathcal{I}\) l’ensemble des fonctions impaires.

1. Montrez que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\). (1 point)
2. Montrez que \(\mathcal{P} \cap \mathcal{I} = \{0\}\). (0,5 point)
3. Par analyse-synthèse, montrez que toute fonction \(f \in E\) s’écrit \(f = p + i\) avec \(p \in \mathcal{P}\) et \(i \in \mathcal{I}\). Concluez que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) sont supplémentaires dans \(E\). (1,5 point)
4. Donnez la décomposition de \(x \mapsto e^x\), puis celle de \(x \mapsto (x+1)^2\). (0,5 point)
5. Soit \(\mathcal{G} = \{f \in E \,:\, f(0) = 0\}\), dont on admet que c’est un sous-espace vectoriel de \(E\). Montrez que \(\mathcal{P} + \mathcal{G} = E\), mais que la somme n’est pas directe. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : espaces vectoriels et sous-espaces

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces vectoriels » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces vectoriels.

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