Espaces vectoriels : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Une structure d’espace vectoriel inhabituelle

On note \(E = \mathbb{R}_+^{*}\) l’ensemble des réels strictement positifs. On le munit de la loi interne \(\oplus\) et de la loi externe \(\odot\) définies, pour \(x, y \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), par :

\[ x \oplus y = xy, \qquad \lambda \odot x = x^{\lambda}. \]

1. Montrer que \((E, \oplus)\) est un groupe commutatif. Préciser son élément neutre et le symétrique de \(x\).
2. Vérifier les quatre axiomes de la loi externe. Conclure que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
3. Quel est le « vecteur nul » de \(E\) ? Que vaut \((-1) \odot x\) ?
4. Soit \(a \in E\) avec \(a \neq 1\). Montrer que tout \(x \in E\) s’écrit de façon unique \(\lambda \odot a\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\). Que peut-on en déduire pour \(E\) ?

Exercice 2 : Parties de R², de R³ et de C

1. Parmi les parties suivantes de \(\mathbb{R}^3\), lesquelles sont des sous-espaces vectoriels ? Justifier chaque réponse.
   • \(F_1 = \{(x, y, z) : x + 2y – z = 0\}\) ;
   • \(F_2 = \{(x, y, z) : x + y + z = 1\}\) ;
   • \(F_3 = \{(x, y, z) : xy = 0\}\) ;
   • \(F_4 = \{(t, 2t, -t) : t \in \mathbb{R}\}\) ;
   • \(F_5 = \{(x, y, z) : x = y \text{ et } y = 2z\}\).
2. On considère la partie \(G = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy \geq\, 0\}\), représentée ci-dessous avec les points \(a = (1, 0)\) et \(b = (0, -1)\). Montrer que \(G\) est stable par multiplication par un réel. Est-ce un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\) ?

3. On considère \(\mathbb{C}\) et la partie \(i\mathbb{R} = \{z \in \mathbb{C} : \mathrm{Re}(z) = 0\}\). Montrer que \(i\mathbb{R}\) est un sous-espace du \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathbb{C}\). Est-ce un sous-espace du \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(\mathbb{C}\) ?

Exercice 3 : Sous-espaces de fonctions

Dans \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), dire si chacune des parties suivantes est un sous-espace vectoriel. Justifier.

1. \(A = \{f \in E : f(0) = 0\}\).
2. \(B = \{f \in E : f(0) = 1\}\).
3. \(C\), l’ensemble des fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f^{\prime} = 2f\).
4. \(D\), l’ensemble des fonctions bornées sur \(\mathbb{R}\).
5. \(M\), l’ensemble des fonctions monotones sur \(\mathbb{R}\).
6. \(P\), l’ensemble des fonctions \(2\pi\)-périodiques.

Exercice 4 : Sous-espaces de suites

Dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), dire si chacune des parties suivantes est un sous-espace vectoriel. Justifier.

1. L’ensemble des suites convergentes.
2. L’ensemble des suites vérifiant \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. L’ensemble des suites géométriques \((a q^n)\), avec \(a, q \in \mathbb{R}\).
4. L’ensemble des suites bornées.
5. L’ensemble des suites de limite \(1\).

Exercice 5 : Polynômes et matrices

1. Dans \(\mathbb{R}[X]\), les parties suivantes sont-elles des sous-espaces ? \(A = \{P : P(1) = 0\}\) ; \(B = \{P : \deg P = 3\}\) ; \(C = \{P : P(-X) = P(X)\}\).
2. Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) avec \(n \geq\, 2\), mêmes questions pour : l’ensemble \(\mathcal{S}_n\) des matrices symétriques ; l’ensemble des matrices inversibles ; l’ensemble des matrices de trace nulle.
3. Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), l’ensemble \(N = \{A : A^2 = 0\}\) est-il un sous-espace ? On pourra considérer \(E_{12} = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et \(E_{21} = \begin{pmatrix} 0 0 \\ 1 0 \end{pmatrix}\).

Exercice 6 : Combinaisons linéaires dans R³

On pose \(u = (1, 1, 0)\) et \(v = (0, 1, 1)\) dans \(\mathbb{R}^3\).

1. Le vecteur \(w = (2, 5, 3)\) est-il combinaison linéaire de \(u\) et \(v\) ? Si oui, préciser les coefficients.
2. Même question pour \(w^{\prime} = (1, 1, 1)\).
3. Déterminer le réel \(m\) tel que \((1, m, 2) \in \mathrm{Vect}(u, v)\).
4. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathrm{Vect}(u, v)\) et contrôler les réponses précédentes.

Exercice 7 : Équation d’un plan engendré

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u = (1, 2, -1)\), \(v = (2, 1, 1)\) et \(w = (3, 3, 0)\).

1. Par la méthode du pivot, déterminer une équation cartésienne de \(P = \mathrm{Vect}(u, v)\).
2. Montrer que \(w \in P\) et en déduire \(\mathrm{Vect}(u, v, w)\).
3. Le vecteur \((1, 0, 1)\) appartient-il à \(P\) ? Si oui, l’écrire comme combinaison de \(u\) et \(v\).
4. Montrer que \(P = \mathrm{Vect}((1, 1, 0), (1, 0, 1))\).

Exercice 8 : Sous-espace engendré par des fonctions trigonométriques

Dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), on considère les fonctions \(c : x \mapsto \cos^2 x\), \(s : x \mapsto \sin^2 x\), \(k : x \mapsto \cos(2x)\) et la fonction constante \(1\).

1. Montrer que \(\mathrm{Vect}(c, s, 1) = \mathrm{Vect}(c, s)\).
2. Montrer que \(\mathrm{Vect}(c, s) = \mathrm{Vect}(1, k)\).
3. La fonction \(x \mapsto \sin(2x)\) appartient-elle à \(\mathrm{Vect}(c, s)\) ?
4. La fonction \(\cos\) appartient-elle à \(\mathrm{Vect}(c, s)\) ?

Exercice 9 : Égalité de sous-espaces engendrés

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\), et \(u, v \in E\).

1. Démontrer que \(\mathrm{Vect}(A) \subset \mathrm{Vect}(B)\) si et seulement si \(A \subset \mathrm{Vect}(B)\).
2. En déduire que \(\mathrm{Vect}(u, v) = \mathrm{Vect}(u + v, u – v)\).
3. Montrer que, pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}\), \(\mathrm{Vect}(u, v) = \mathrm{Vect}(u, v + \lambda u)\).
4. Application : montrer que \(\mathrm{Vect}((1, 2, 3), (2, 3, 4)) = \mathrm{Vect}((1, 2, 3), (1, 1, 1))\) dans \(\mathbb{R}^3\).

Exercice 10 : Réunion de deux sous-espaces

Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

1. Montrer que si \(F \subset G\) ou \(G \subset F\), alors \(F \cup G\) est un sous-espace de \(E\).
2. Réciproquement, on suppose que \(F \cup G\) est un sous-espace et que \(F \not\subset G\). Soit \(x \in F\) avec \(x \notin G\), et soit \(y \in G\). En étudiant \(x + y\), montrer que \(y \in F\). Conclure.
3. En déduire que \(\mathbb{R}^2\) n’est pas la réunion de deux droites vectorielles.

Exercice 11 : Intersection et somme de deux plans de R³

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(P_1 = \{(x, y, z) : x + y + z = 0\}\) et \(P_2 = \{(x, y, z) : x – y = 0\}\).

1. Déterminer \(P_1 \cap P_2\) et en donner un vecteur directeur.
2. Montrer que \(P_1 + P_2 = \mathbb{R}^3\) en décomposant explicitement un vecteur \((a, b, c)\) quelconque.
3. La somme \(P_1 + P_2\) est-elle directe ? Donner deux décompositions distinctes du vecteur nul.

Exercice 12 : Une droite et un plan supplémentaires

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(D = \mathrm{Vect}((1, 1, 1))\) et \(P = \{(x, y, z) : x + y + z = 0\}\).

1. Montrer que \(D \cap P = \{0\}\).
2. Par analyse-synthèse, montrer que \(\mathbb{R}^3 = D \oplus P\) et donner la décomposition d’un vecteur \((x, y, z)\) quelconque.
3. Décomposer les vecteurs \((3, 0, 0)\) et \((1, 2, 3)\).

Exercice 13 : Fonctions paires et fonctions impaires

On note \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) les ensembles des fonctions paires et impaires de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) sont des sous-espaces de \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
2. Montrer que \(\mathcal{P} \cap \mathcal{I} = \{0\}\).
3. Montrer que \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}\).
4. Décomposer \(f : x \mapsto (x + 1)^3\) et \(g : x \mapsto \mathrm{e}^{x}\).

Exercice 14 : Matrices symétriques et antisymétriques

Soit \(n \geq\, 1\). On note \(\mathcal{S}_n\) l’ensemble des matrices symétriques (\(A^{T} = A\)) et \(\mathcal{A}_n\) l’ensemble des matrices antisymétriques (\(A^{T} = -A\)) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Montrer que \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) sont des sous-espaces de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
2. Montrer que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n\).
3. Décomposer la matrice \(M = \begin{pmatrix} 1 2 0 \\ 4 5 -1 \\ 2 3 6 \end{pmatrix}\).

Exercice 15 : Polynômes s’annulant en 0 et en 1

Dans \(\mathbb{R}[X]\), on pose \(F = \{P : P(0) = P(1) = 0\}\) et \(G = \mathbb{R}_1[X]\), l’ensemble des polynômes de degré au plus \(1\).

1. Montrer que \(F\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que \(F \cap G = \{0\}\).
3. Montrer que \(\mathbb{R}[X] = F \oplus G\). On exprimera la composante \(Q\) de \(P\) sur \(G\) à l’aide de \(P(0)\) et \(P(1)\).
4. Décomposer \(X^3\) puis \(X^2 + 3\).
5. Montrer que \(F = \{X(X – 1) R : R \in \mathbb{R}[X]\}\).

Exercice 16 : Suites convergentes et suites constantes

Soit \(E\) l’espace des suites réelles convergentes, \(F\) le sous-ensemble des suites de limite nulle et \(G\) celui des suites constantes.

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces de \(E\).
2. Montrer que \(E = F \oplus G\).
3. Décomposer la suite \(u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 1}\), puis la suite \(v_n = 3 + (\dfrac{1}{2})^n\).

Exercice 17 : Un hyperplan de R⁴

Dans \(\mathbb{R}^4\), on note \(e_1, e_2, e_3, e_4\) les vecteurs de la base canonique, \(\varphi(x) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4\) et \(H = \{x \in \mathbb{R}^4 : \varphi(x) = 0\}\).

1. Montrer que \(H\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^4\).
2. Montrer que \(H = \mathrm{Vect}(e_1 – e_2, e_2 – e_3, e_3 – e_4)\).
3. On pose \(u = (1, 0, 0, 0)\). Montrer que \(\mathbb{R}^4 = H \oplus \mathrm{Vect}(u)\) et décomposer un vecteur \(x\) quelconque.
4. La droite \(\mathrm{Vect}(u^{\prime})\), avec \(u^{\prime} = (1, -1, 0, 0)\), est-elle un supplémentaire de \(H\) ?
5. Montrer plus généralement que \(\mathbb{R}^4 = H \oplus \mathrm{Vect}(w)\) pour tout \(w \notin H\).

Exercice 18 : Fonctions d’intégrale nulle

Soit \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\), \(F = \{f \in E : \int_0^1 f(t) \, \mathrm{d}t = 0\}\) et \(G\) le sous-ensemble des fonctions constantes.

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces de \(E\).
2. Montrer que \(E = F \oplus G\).
3. Décomposer \(f : x \mapsto x^2\) et \(g : x \mapsto \mathrm{e}^{x}\).

Exercice 19 : Fonctions nulles aux bords et fonctions affines

Soit \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\), \(F = \{h \in E : h(0) = h(1) = 0\}\) et \(G\) l’ensemble des fonctions affines \(x \mapsto ax + b\) sur \([0, 1]\). La figure ci-dessous montre une fonction \(f\), une fonction affine \(g\) qui prend les mêmes valeurs que \(f\) en \(0\) et en \(1\), et la différence \(h = f – g\).

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces de \(E\).
2. Montrer que \(F \cap G = \{0\}\).
3. Montrer que \(E = F \oplus G\) et donner la composante \(g\) de \(f\) sur \(G\) en fonction de \(f(0)\) et \(f(1)\). Interpréter graphiquement.
4. Décomposer \(f : x \mapsto \mathrm{e}^{x}\), puis \(f_2 : x \mapsto \sin(\pi x) + x\).
5. Soit \(F^{\prime} = \{h \in E : h(0) = 0\}\). Montrer que \(F^{\prime} + G = E\) mais que la somme n’est pas directe.

Exercice 20 : Somme et intersection ne se distribuent pas

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(F, G, H\) trois sous-espaces de \(E\).

1. Montrer que \((F \cap G) + (F \cap H) \subset F \cap (G + H)\).
2. Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(F = \mathrm{Vect}((1, 0))\), \(G = \mathrm{Vect}((0, 1))\) et \(H = \mathrm{Vect}((1, 1))\), comme sur la figure ci-dessous. Calculer \(F \cap (G + H)\) et \((F \cap G) + (F \cap H)\). Conclure.
3. On suppose désormais \(G \subset F\). Montrer que \(F \cap (G + H) = G + (F \cap H)\).

Exercice 21 : Problème, suites récurrentes linéaires d’ordre 2

On note \(S\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)\) telles que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[ u_{n+2} = u_{n+1} + 2 u_n. \]

1. Montrer que \(S\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).
2. Soit \(r\) un réel non nul. Montrer que la suite \((r^n)\) appartient à \(S\) si et seulement si \(r^2 = r + 2\). En déduire deux suites \(a = (2^n)\) et \(b = ((-1)^n)\) de \(S\).
3. Montrer que deux suites de \(S\) qui ont les mêmes deux premiers termes sont égales.
4. En déduire que \(S = \mathrm{Vect}(a, b)\). Pour \(u \in S\), exprimer les coefficients en fonction de \(u_0\) et \(u_1\).
5. Montrer que \(\mathrm{Vect}(a) \cap \mathrm{Vect}(b) = \{0\}\), puis que \(S = \mathrm{Vect}(a) \oplus \mathrm{Vect}(b)\).
6. Déterminer la suite \(u \in S\) telle que \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 3\). Vérifier sur \(u_2\) et \(u_3\).
7. Déterminer l’ensemble \(S_b\) des suites bornées de \(S\). Est-ce un sous-espace ? Déterminer enfin les suites de \(S\) qui convergent.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : espaces vectoriels, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Systèmes linéaires et calcul matriciel
• Chapitre précédent : Formules de Taylor et développements limités
• Chapitre suivant : Familles libres, bases et dimension
• Le même thème en maths sup : espaces vectoriels, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3