Ce QCM vérifie la maîtrise des probabilités sur un univers fini en L1 : dénombrement, probabilités conditionnelles, formules des probabilités totales et de Bayes, indépendance, lois usuelles, espérance et variance. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Probabilités sur un univers fini du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Probabilités finies - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
On lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme vaille \(7\) ?
A\(\frac{1}{11}\)
B\(\frac{7}{36}\)
C\(\frac{1}{6}\)
D\(\frac{1}{12}\)
Question 2
Une maladie touche \(1\,\%\) d’une population. Un test est positif chez \(99\,\%\) des malades et chez \(5\,\%\) des non-malades. Quelle est la probabilité d’être malade sachant que le test est positif ?
A\(0{,}99\)
B\(0{,}95\)
C\(\frac{1}{6}\)
D\(\frac{1}{2}\)
Question 3
Soient \(A\) et \(B\) deux événements incompatibles, avec \(P(A) > 0\) et \(P(B) > 0\). Sont-ils indépendants ?
ACela dépend des valeurs de \(P(A)\) et \(P(B)\)
BOui, car ils n’ont aucune issue en commun
COui, car \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
DNon, car \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)\)
Question 4
Soit \(X\) de loi binomiale \(\mathcal{B}(10, 0{,}3)\). Que valent \(E(X)\) et \(V(X)\) ?
A\(E(X) = 3\) et \(V(X) = 7\)
B\(E(X) = 0{,}3\) et \(V(X) = 0{,}21\)
C\(E(X) = 3\) et \(V(X) = 2{,}1\)
D\(E(X) = 3\) et \(V(X) = 0{,}21\)
Question 5
Soit \(X\) de loi \(\mathcal{B}\left(4, \frac{1}{2}\right)\). Que vaut \(P(X = 2)\) ?
A\(\frac{1}{4}\)
B\(\frac{3}{8}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(\frac{1}{16}\)
Question 6
Soit \((A_1, \dots, A_n)\) un système complet d’événements de probabilités non nulles. Que dit la formule des probabilités totales pour un événement \(B\) ?
A\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\, P(B \mid A_i)\)
B\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i \mid B)\)
C\(P(B) = \prod_{i=1}^{n} P(B \mid A_i)\)
D\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i)\)
Question 7
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(2\) bleues. On tire successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ?
A\(\frac{3}{10}\)
B\(\frac{3}{5}\)
C\(\frac{6}{25}\)
D\(\frac{9}{25}\)
Question 8
Soit \(X\) une variable aléatoire finie avec \(V(X) = 2\). Que vaut \(V(-3X + 1)\) ?
A\(-6\)
B\(18\)
C\(19\)
D\(6\)
Question 9
Soit \(X\) de loi uniforme sur \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Que vaut \(V(X)\) ?
A\(\frac{91}{6}\)
B\(\frac{35}{12}\)
C\(\frac{35}{6}\)
D\(\frac{7}{2}\)
Question 10
On lance deux fois une pièce équilibrée. \(A\) : « face au premier lancer », \(B\) : « face au second », \(C\) : « les deux résultats sont identiques ». Que dire de \(A\), \(B\), \(C\) ?
A\(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants
BIls ne sont pas indépendants deux à deux
CIls sont mutuellement indépendants
DIls sont indépendants deux à deux, mais pas mutuellement
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de probabilités finies en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le calcul de probabilités par dénombrement en situation d’équiprobabilité ;
la formule des probabilités composées et la formule des probabilités totales ;
la formule de Bayes pour inverser un conditionnement ;
l’indépendance, deux à deux ou mutuelle, à ne pas confondre avec l’incompatibilité ;
l’espérance et la variance des lois uniforme, de Bernoulli et binomiale.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : confondre incompatibles et indépendants. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour une question de conditionnement, dessinez l’arbre et nommez précisément le système complet d’événements utilisé : la formule des probabilités totales et celle de Bayes se lisent alors directement sur les branches. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi la formule de Bayes donne-t-elle des résultats surprenants ?
Parce que \(P(A \mid B)\) dépend fortement de la probabilité a priori \(P(A)\). Pour une maladie rare, même un test fiable produit une majorité de faux positifs parmi les tests positifs.
Quelle différence entre indépendance deux à deux et mutuelle ?
L’indépendance mutuelle exige \(P(\bigcap_{i \in I} A_i) = \prod_{i \in I} P(A_i)\) pour toute sous-famille \(I\). Des événements peuvent être indépendants deux à deux sans l’être mutuellement.
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