Voici le corrigé du contrôle de maths de 5ème sur le thème : triangles et parallélogrammes.
Voici la correction rédigée de ce bilan de géométrie. Chaque justification suit le schéma attendu : on cite les données lues sur la figure ou dans l’énoncé, puis la propriété sous la forme « si… alors… », puis la conclusion. C’est cette rédaction qui rapporte la plupart des points.
Pour les angles, les calculs s’appuient sur la somme de \(180^\circ\) dans un triangle. Pour les aires, on vérifie toujours que la hauteur utilisée est bien associée à la base choisie. Le barème détaillé sous chaque exercice te permet d’évaluer ta copie.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 5ème : triangles et parallélogrammes.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Les angles du triangle | 4 points |
| Exercice 2 : Hauteur ou médiane ? | 4 points |
| Exercice 3 : Quelle est la nature du quadrilatère ? | 4 points |
| Exercice 4 : Mesures dans un parallélogramme | 4 points |
| Exercice 5 : Le terrain partagé | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Les angles du triangle (4 points)
- La somme des angles d’un triangle est égale à \(180^\circ\).
\(\widehat{ACB} = 180^\circ – 48^\circ – 67^\circ = 65^\circ\)
\(\widehat{ACB} = 65^\circ\). - DEF est isocèle en D, donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{DEF} = \widehat{DFE}\).
\(180^\circ – 40^\circ = 140^\circ\) et \(140^\circ : 2 = 70^\circ\).
\(\widehat{DEF} = \widehat{DFE} = 70^\circ\). - GHI est rectangle en G, donc \(\widehat{HGI} = 90^\circ\) et \(\widehat{GHI} + \widehat{GIH} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ\).
Si l’on note x la mesure de \(\widehat{GIH}\), celle de \(\widehat{GHI}\) est \(2x\), donc \(x + 2x = 90\), c’est-à-dire \(3x = 90\), soit \(x = 30\).
\(\widehat{GIH} = 30^\circ\) et \(\widehat{GHI} = 60^\circ\). Vérification : \(90 + 60 + 30 = 180\).
Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour l’égalité des angles à la base, 1 point pour le calcul ; c) 0,5 point pour la somme de \(90^\circ\), 0,5 point pour la mise en équation, 0,5 point pour les deux mesures.
Exercice 2 : Hauteur ou médiane ? (4 points)
- Le codage indique que (RH) est perpendiculaire à (ST), et [RH] part du sommet R : [RH] est la hauteur issue de R (relative au côté [ST]).
Le codage indique que \(RI = IT\) avec I sur [RT] : I est le milieu de [RT], et [SI] joint le sommet S à ce milieu. [SI] est la médiane issue de S.
Pour [TJ], aucun codage n’indique un angle droit ni un milieu : on ne peut rien affirmer (une mesure sur le dessin ne prouve rien). - Avec la base [ST] et la hauteur associée [RH] :
\(\dfrac{ST \times RH}{2} = \dfrac{10 \times 4}{2} = 20\)
L’aire du triangle RST est \(20\text{ cm}^2\). - La hauteur issue de S est associée au côté [RT]. Si on la note h, l’aire s’écrit aussi \(\dfrac{RT \times h}{2} = \dfrac{5 \times h}{2}\).
Donc \(5 \times h = 2 \times 20 = 40\), d’où \(h = 40 : 5 = 8\).
La hauteur issue de S mesure \(8\text{ cm}\).
Erreur fréquente : confondre hauteur et médiane. La hauteur est perpendiculaire au côté opposé ; la médiane passe par son milieu.
Barème : a) 0,75 point pour la hauteur, 0,75 point pour la médiane, 0,5 point pour [TJ] ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour l’égalité des deux écritures de l’aire, 0,5 point pour le résultat.
Exercice 3 : Quelle est la nature du quadrilatère ? (4 points)
- ABCD est un parallélogramme et, d’après le codage, ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.
Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
ABCD est un losange. - EFGH est un parallélogramme et ses diagonales ont la même longueur : \(EG = FH = 7\text{ cm}\).
Si un parallélogramme a des diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
EFGH est un rectangle. - D’après le codage, les quatre demi-diagonales ont la même longueur : les diagonales ont le même milieu, donc IJKL est un parallélogramme ; elles ont aussi la même longueur, donc c’est un rectangle. Enfin elles sont perpendiculaires, donc c’est aussi un losange.
Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.
IJKL est un carré.
Barème : a) 0,5 point pour les données, 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour la conclusion ; b) même répartition ; c) 0,5 point pour l’analyse des trois propriétés des diagonales, 0,5 point pour la conclusion.
Exercice 4 : Mesures dans un parallélogramme (4 points)
- Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
\(PQ = MN = 7\text{ cm}\) et \(NP = MQ = 4{,}5\text{ cm}\). - Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure : \(\widehat{NPQ} = \widehat{QMN} = 65^\circ\) et \(\widehat{MNP} = \widehat{MQP}\).
La diagonale [MP] partage MNPQ en deux triangles ; la somme des angles de chacun vaut \(180^\circ\), donc la somme des angles de MNPQ vaut \(2 \times 180^\circ = 360^\circ\).
\(360^\circ – 65^\circ – 65^\circ = 230^\circ\) et \(230^\circ : 2 = 115^\circ\).
\(\widehat{NPQ} = 65^\circ\), \(\widehat{MNP} = 115^\circ\) et \(\widehat{MQP} = 115^\circ\). - Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu. O est donc le milieu de [MP] et de [NQ] :
\(OM = 9{,}8 : 2 = 4{,}9\) et \(ON = 6{,}5 : 2 = 3{,}25\), en cm.
Périmètre de MON : \(MN + OM + ON = 7 + 4{,}9 + 3{,}25 = 15{,}15\)
Le périmètre du triangle MON est \(15{,}15\text{ cm}\).
Erreur fréquente : croire que les diagonales d’un parallélogramme ont la même longueur. Elles ont seulement le même milieu ; c’est le rectangle qui a des diagonales de même longueur.
Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour les deux longueurs ; b) 0,5 point pour \(\widehat{NPQ}\), 1 point pour les deux angles de \(115^\circ\) justifiés ; c) 0,5 point pour la propriété des diagonales, 0,5 point pour OM et ON, 0,5 point pour le périmètre.
Exercice 5 : Le terrain partagé (4 points)
- Aire d’un parallélogramme = base \(\times \) hauteur associée : \(12 \times 7 = 84\).
L’aire du terrain est \(84\text{ m}^2\). - Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et distantes de \(7\text{ m}\) (c’est la longueur de la hauteur [DK]).
Triangle ABC : base \(AB = 12\text{ m}\), hauteur issue de C égale à \(7\text{ m}\) : \(\dfrac{12 \times 7}{2} = 42\), soit \(42\text{ m}^2\).
Triangle ACD : ABCD est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur : \(CD = AB = 12\text{ m}\). La hauteur issue de A mesure aussi \(7\text{ m}\) : \(\dfrac{12 \times 7}{2} = 42\), soit \(42\text{ m}^2\).
Les deux parcelles ont la même aire, \(42\text{ m}^2\), soit la moitié de \(84\text{ m}^2\) : la diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire. - M est le milieu de [AB] et [CM] joint le sommet C à ce milieu : [CM] est la médiane issue de C du triangle ABC.
\(AM = MB = 12 : 2 = 6\text{ m}\), et les triangles AMC et MBC ont la même hauteur issue de C, \(7\text{ m}\).
\(\dfrac{6 \times 7}{2} = 21\)
Les triangles AMC et MBC ont chacun une aire de \(21\text{ m}^2\) : la médiane partage le triangle ABC en deux triangles de même aire.
Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point par aire, 0,5 point pour la remarque justifiée par l’égalité des côtés opposés ; c) 0,5 point pour la médiane, 0,5 point par aire (les deux aires comptent pour 1 point).
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Après le corrigé du contrôle : triangles et parallélogrammes
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Les triangles et son cercle circonscrit et l’inégalité triangulaire » en 5ème et « Droites remarquables du triangle » en 5ème et « Le parallélogramme » en 5ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés triangle, parallélogramme.
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