Voici le corrigé du contrôle de maths de 5ème sur le thème : calcul littéral, aires et volumes.
Cette correction montre la rédaction attendue à chaque étape. Dans les calculs avec lettres, la priorité des puissances sur la multiplication est rappelée, car c’est l’erreur la plus courante. Chaque équation est résolue en divisant les deux membres par le même nombre, puis la solution est vérifiée.
Pour les aires et les volumes, la formule est d’abord écrite avec la lettre, puis réduite, et seulement ensuite utilisée avec des nombres. Garde la valeur exacte avec π le plus longtemps possible. Sous chaque exercice, le barème indique ce qui rapporte des points.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 5ème : calcul littéral, aires et volumes.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Puissances et substitution | 4 points |
| Exercice 2 : Distributivité et équations | 4 points |
| Exercice 3 : Une formule d’aire | 4 points |
| Exercice 4 : Des boîtes en forme de prisme | 4 points |
| Exercice 5 : La cuve de récupération d’eau | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Puissances et substitution (4 points)
- \(7^2 = 7 \times 7 = 49\) ; \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\) ; \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) ;
\(2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50\) (la puissance se calcule avant la multiplication).
Résultats : 49 ; 27 ; 1 000 ; 50. - \(A = 3 \times 4^2 + 2 \times 4 – 5\)
\(A = 3 \times 16 + 8 – 5\)
\(A = 48 + 8 – 5 = 51\)
Pour \(x = 4\), \(A = 51\). - \(B = 2^3 + 4 \times 2 = 8 + 8 = 16\)
Pour \(x = 2\), \(B = 16\). - Pour \(x = 2\) : \(x^2 = 2^2 = 4\) et \(2x = 2 \times 2 = 4\). L’égalité est vraie.
Pour \(x = 3\) : \(x^2 = 3^2 = 9\) et \(2x = 2 \times 3 = 6\). Or \(9 \neq 6\) : l’égalité est fausse.
Noé a tort : \(x = 3\) est un contre-exemple. Un seul exemple où l’égalité est vraie ne suffit pas à prouver qu’elle l’est toujours.
Erreur fréquente : calculer \(3 \times 4^2\) comme \(12^2 = 144\). La puissance porte seulement sur 4 et se calcule en premier.
Barème : a) 0,25 point par calcul ; b) 0,5 point pour la substitution, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour la substitution, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour les deux tests, 0,5 point pour la conclusion avec le contre-exemple.
Exercice 2 : Distributivité et équations (4 points)
- \(5(x + 3) = 5 \times x + 5 \times 3 = 5x + 15\)
\(4(2a – 1) = 4 \times 2a – 4 \times 1 = 8a – 4\)
\(5(x + 3) = 5x + 15\) et \(4(2a – 1) = 8a – 4\). - \(6y + 18 = 6 \times y + 6 \times 3 = 6(y + 3)\)
\(7x – 7 = 7 \times x – 7 \times 1 = 7(x – 1)\)
\(6y + 18 = 6(y + 3)\) et \(7x – 7 = 7(x – 1)\). - \(3x + 5x – 2 + 9 = (3 + 5)x + 7 = 8x + 7\)
\(4a^2 + 3a – a^2 + a = (4 – 1)a^2 + (3 + 1)a = 3a^2 + 4a\)
\(8x + 7\) et \(3a^2 + 4a\). (On ne peut pas regrouper \(a^2\) et \(a\).) - \(6x = 42\), donc \(x = 42 : 6 = 7\). Vérification : \(6 \times 7 = 42\). La solution est 7.
\(2{,}5x = 10\), donc \(x = 10 : 2{,}5 = 4\). Vérification : \(2{,}5 \times 4 = 10\). La solution est 4.
Barème : a) 0,5 point par développement ; b) 0,5 point par factorisation ; c) 0,5 point par réduction ; d) 0,5 point par équation.
Exercice 3 : Une formule d’aire (4 points)
- Aire du rectangle : \(x \times 4 = 4x\).
Le demi-disque a pour diamètre \(4\text{ cm}\), donc pour rayon \(2\text{ cm}\). Son aire est la moitié de celle du disque :
\(\dfrac{\pi \times 2^2}{2} = \dfrac{4\pi}{2} = 2\pi\)
L’aire de la figure est \(4x + 2\pi\) (en \(\text{cm}^2\)). - \(4 \times 10 + 2 \times 3{,}14 = 40 + 6{,}28 = 46{,}28\)
Pour \(x = 10\), l’aire est d’environ \(46{,}28\text{ cm}^2\). - On cherche x tel que \(4x = 30\). Donc \(x = 30 : 4 = 7{,}5\). Vérification : \(4 \times 7{,}5 = 30\).
Il faut \(x = 7{,}5\text{ cm}\).
Erreur fréquente : prendre 4 comme rayon du demi-disque : 4 est le diamètre, le rayon vaut 2.
Barème : a) 0,5 point pour l’aire du rectangle, 0,5 point pour le rayon, 1 point pour l’aire du demi-disque ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la solution.
Exercice 4 : Des boîtes en forme de prisme (4 points)
- La base est un triangle rectangle : \(\dfrac{6 \times 4}{2} = 12\). L’aire de la base est \(12\text{ cm}^2\).
- Volume d’un prisme droit = aire de la base \(\times \) hauteur.
\(V = 12 \times h = 12h\) (en \(\text{cm}^3\)). - \(V = 12 \times 15 = 180\). Le modèle de hauteur \(15\text{ cm}\) a un volume de \(180\text{ cm}^3\).
- \(0{,}3\text{ L} = 0{,}3\text{ dm}^3 = 300\text{ cm}^3\).
On résout \(12h = 300\) : \(h = 300 : 12 = 25\). Vérification : \(12 \times 25 = 300\).
Il faut une hauteur de \(25\text{ cm}\).
Barème : a) 1 point ; b) 1 point ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour la conversion, 0,5 point pour l’équation et sa solution.
Exercice 5 : La cuve de récupération d’eau (4 points)
- Volume d’un cylindre = aire de la base \(\times \) hauteur. La base est un disque de rayon r, d’aire \(\pi r^2\).
\(V = \pi r^2 \times 3 = 3\pi r^2\)
Le volume de la cuve est bien \(V = 3\pi r^2\) (en \(\text{m}^3\)). - \(V = 3 \times \pi \times 2^2 = 3 \times \pi \times 4 = 12\pi\)
\(12\pi \approx 37{,}699\)
Le volume est \(12\pi\text{ m}^3\), soit environ \(37{,}7\text{ m}^3\). - \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}\), donc \(12\pi\text{ m}^3 = 12\,000\pi\text{ L}\).
\(12\,000\pi \approx 37\,699{,}1\)
La cuve contient environ \(37\,699\) litres. - \(37\,699 : 20 \approx 1\,885\) : il faut environ \(1\,885\) minutes.
\(1\,885 = 31 \times 60 + 25\), car \(31 \times 60 = 1\,860\) et \(1\,885 – 1\,860 = 25\).
Il faut environ 31 heures et 25 minutes pour remplir la cuve.
Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la réduction ; b) 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour le nombre de minutes, 0,5 point pour la conversion en heures et minutes.
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Après le corrigé du contrôle : calcul littéral, aires et volumes
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