Voici le corrigé du contrôle de maths de 4ème sur le thème : calculer des longueurs avec Pythagore.
Voici la correction rédigée de l’évaluation sur le théorème de Pythagore. Chaque calcul suit la même rédaction. D’abord, on cite le triangle rectangle et son hypoténuse, puis on écrit l’égalité. Ensuite, on remplace par les longueurs connues et on termine avec la racine carrée.
Pour un côté de l’angle droit, on effectue une soustraction et non une addition : c’est l’erreur la plus fréquente. Ainsi, les résultats sont donnés en valeur exacte puis arrondis comme demandé, avec leur unité. Le barème détaillé accompagne chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 4ème : calculer des longueurs avec pythagore.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Écrire l’égalité de Pythagore | 3 points |
| Exercice 2 : Carrés et racines carrées | 3 points |
| Exercice 3 : Calculer une hypoténuse | 4 points |
| Exercice 4 : Calculer un côté de l’angle droit | 4 points |
| Exercice 5 : L’échelle et l’écran | 6 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Écrire l’égalité de Pythagore (3 points)
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est donc le plus long côté du triangle rectangle.
- D’abord, \(ABC\) est rectangle en \(B\) : l’hypoténuse est \([AC]\). \(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
- Ensuite, \(DEF\) est rectangle en \(F\) : l’hypoténuse est \([DE]\). \(DE^2 = DF^2 + FE^2\)
- Enfin, \(RST\) est rectangle en \(R\) : l’hypoténuse est \([ST]\). \(ST^2 = RS^2 + RT^2\)
Barème : 1 point par triangle : 0,5 point pour l’hypoténuse, 0,5 point pour l’égalité.
Exercice 2 : Carrés et racines carrées (3 points)
- \(7^2 = 49\), \(9^2 = 81\), \(11^2 = 121\) et \(12^2 = 144\), donc \(\sqrt{49} = 7\), \(\sqrt{81} = 9\), \(\sqrt{121} = 11\) et \(\sqrt{144} = 12\).
- On utilise ici la calculatrice.
\(\sqrt{20} \approx 4{,}472\), \(\sqrt{50} \approx 7{,}071\) et \(\sqrt{130} \approx 11{,}402\).
Au dixième : \(\sqrt{20} \approx 4{,}5\) ; \(\sqrt{50} \approx 7{,}1\) ; \(\sqrt{130} \approx 11{,}4\). - En effet, le côté \(c\) d’un carré d’aire \(A\) vérifie \(c^2 = A\). Donc \(c = \sqrt{A}\).
\(\sqrt{64} = 8\) : le premier carré a un côté de 8 cm.
\(\sqrt{30} \approx 5{,}477\) : le second carré a un côté d’environ 5,5 cm.
Barème : a) 1 point (0,25 point par racine) ; b) 1 point : 0,5 point pour une valeur juste, 1 point si les trois arrondis sont justes ; c) 1 point : 0,5 point par carré.
Exercice 3 : Calculer une hypoténuse (4 points)
- Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\). Donc, d’après le théorème de Pythagore :
\(KM^2 = KL^2 + LM^2\)
\(KM^2 = 9^2 + 12^2\)
\(KM^2 = 81 + 144\)
\(KM^2 = 225\)
\(KM = \sqrt{225} = 15\)
\(KM = 15\text{ cm}\).
Ainsi, la racine carrée tombe juste. - De même, le triangle \(PQR\) est rectangle en \(Q\). Alors, d’après le théorème de Pythagore :
\(PR^2 = PQ^2 + QR^2\)
\(PR^2 = 5^2 + 7^2\)
\(PR^2 = 25 + 49\)
\(PR^2 = 74\)
\(PR = \sqrt{74} \approx 8{,}602\)
\(PR \approx 8{,}6\text{ cm}\) (au millimètre près).
Cette fois, on arrondit car 74 n’est pas un carré parfait.
Barème : 2 points par triangle : 0,5 point pour la phrase citant le triangle rectangle et le théorème, 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour le calcul du carré, 0,5 point pour la racine carrée et le résultat avec unité (et arrondi en b).
Exercice 4 : Calculer un côté de l’angle droit (4 points)
- Le triangle \(GHI\) est rectangle en \(H\), donc son hypoténuse est \([GI]\). Alors, d’après le théorème de Pythagore :
\(GI^2 = GH^2 + HI^2\)
\(13^2 = 5^2 + HI^2\)
\(169 = 25 + HI^2\)
\(HI^2 = 169 – 25 = 144\)
\(HI = \sqrt{144} = 12\)
\(HI = 12\text{ cm}\).
En effet, on a soustrait car \([HI]\) n’est pas l’hypoténuse. - Puis le triangle \(UVW\) est rectangle en \(U\), donc son hypoténuse est \([VW]\). Ainsi, d’après le théorème de Pythagore :
\(VW^2 = UV^2 + UW^2\)
\(10^2 = 6{,}5^2 + UW^2\)
\(100 = 42{,}25 + UW^2\)
\(UW^2 = 100 – 42{,}25 = 57{,}75\)
\(UW = \sqrt{57{,}75} \approx 7{,}599\)
\(UW \approx 7{,}6\text{ cm}\) (au millimètre près).
Barème : 2 points par triangle : 0,5 point pour la phrase et l’égalité, 0,5 point pour le remplacement, 0,5 point pour la soustraction, 0,5 point pour la racine et le résultat avec unité.
Erreur fréquente : additionner les deux carrés connus (\(25 + 169\)) alors que la longueur cherchée n’est pas l’hypoténuse. En effet, on obtiendrait un côté plus long que l’hypoténuse, ce qui est impossible.
Exercice 5 : L’échelle et l’écran (6 points)
- Le mur est vertical et le sol horizontal. Donc le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle au pied du mur. De plus, son hypoténuse est l’échelle. On note alors \(h\) la hauteur cherchée, en mètres. D’après le théorème de Pythagore :
\(5^2 = 1{,}4^2 + h^2\)
\(25 = 1{,}96 + h^2\)
\(h^2 = 25 – 1{,}96 = 23{,}04\)
\(h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\)
Le haut de l’échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur. - Ensuite, le pied est à 1,8 m du mur. On note \(h_2\) la nouvelle hauteur :
\(5^2 = 1{,}8^2 + h_2^2\)
\(h_2^2 = 25 – 3{,}24 = 21{,}76\)
\(h_2 = \sqrt{21{,}76} \approx 4{,}665\), soit environ \(4{,}66\text{ m}\) au centimètre près.
Puis on calcule la différence : \(4{,}8 – 4{,}665 = 0{,}135\text{ m}\).
La nouvelle hauteur est d’environ 4,66 m : le haut de l’échelle est descendu d’environ 14 cm. - L’écran est un rectangle. Donc sa diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. En effet, les côtés de l’angle droit mesurent 88,5 cm et 49,8 cm. On note \(d\) la diagonale :
\(d^2 = 88{,}5^2 + 49{,}8^2\)
\(d^2 = 7\,832{,}25 + 2\,480{,}04\)
\(d^2 = 10\,312{,}29\)
\(d = \sqrt{10\,312{,}29} \approx 101{,}549\)
La diagonale mesure environ 101,5 cm. - Un pouce vaut 2,54 cm, donc on divise par 2,54 : \(101{,}549 : 2{,}54 \approx 39{,}98\).
La diagonale mesure environ 40 pouces : l’annonce du vendeur est correcte.
Barème : a) 2 points : 0,5 point pour reconnaître le triangle rectangle et l’hypoténuse, 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour la soustraction, 0,5 point pour le résultat avec unité ; b) 1,5 point : 1 point pour la nouvelle hauteur, 0,5 point pour la différence ; c) 1,5 point : 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’arrondi ; d) 1 point : 0,5 point pour la division, 0,5 point pour la conclusion.
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Après le corrigé du contrôle : calculer des longueurs avec Pythagore
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