Corrigé du contrôle de maths 4ème : résoudre des équations du premier degré

Exercice 1 : Est-ce une solution ? (3 points)

1. Pour \(x = 4\), le membre de gauche vaut \(3 \times 4 – 5 = 12 – 5 = 7\). De plus, le membre de droite vaut 7. Les deux membres sont donc égaux. 4 est solution de l’équation.
2. Pour \(x = -2\), on calcule d’abord chaque membre.
   Le membre de gauche vaut \(5 \times (-2) + 3 = -10 + 3 = -7\).
   Puis le membre de droite vaut \(2 \times (-2) – 4 = -4 – 4 = -8\).
   Comme \(-7 \neq -8\), \(-2\) n’est pas solution de l’équation.
3. Pour \(x = 3\), on procède de la même façon.
   Le membre de gauche vaut \(4 \times (3 – 1) = 4 \times 2 = 8\).
   Ensuite, le membre de droite vaut \(2 \times 3 + 2 = 6 + 2 = 8\).
   Ainsi, les deux membres sont égaux. 3 est solution de l’équation.

Barème : 1 point par question : 0,5 point pour le calcul des deux membres, 0,5 point pour la conclusion. Cependant, une réponse sans calcul ne rapporte rien.

Exercice 2 : Équations de la forme ax + b = c (4 points)

1. \(x + 7 = 3\)
   \(x + 7 – 7 = 3 – 7\)
   \(x = -4\)
   La solution est \(-4\). En effet, on a soustrait 7 aux deux membres.
2. \(5x = -35\)
   \(x = \frac{-35}{5}\)
   \(x = -7\)
   La solution est \(-7\). Ici, on a donc divisé les deux membres par 5.
3. \(4x – 9 = 11\)
   \(4x = 11 + 9\)
   \(4x = 20\)
   \(x = \frac{20}{4} = 5\)
   La solution est 5. D’abord, on a ajouté 9, puis on a divisé par 4.
4. \(-3x + 2 = 14\)
   \(-3x = 14 – 2\)
   \(-3x = 12\)
   \(x = \frac{12}{-3} = -4\)
   La solution est \(-4\). Enfin, on a divisé par \(-3\) en gardant son signe.

Erreur fréquente : en d), diviser par 3 au lieu de \(-3\) et trouver \(x = 4\). En effet, on divise par le coefficient de \(x\) avec son signe.

Barème : 1 point par équation : 0,5 point pour les étapes correctes, 0,5 point pour la solution exacte.

Exercice 3 : Une inconnue dans les deux membres (5 points)

1. \(7x – 4 = 3x + 16\)
   \(7x – 3x = 16 + 4\)
   \(4x = 20\)
   \(x = 5\)
   Vérifions alors le résultat.
   D’une part, \(7 \times 5 – 4 = 35 – 4 = 31\). D’autre part, \(3 \times 5 + 16 = 15 + 16 = 31\). La solution est donc 5.
2. \(2x + 9 = 5x – 3\)
   \(2x – 5x = -3 – 9\)
   \(-3x = -12\)
   \(x = \frac{-12}{-3} = 4\)
   Ensuite, on vérifie le résultat.
   D’une part, \(2 \times 4 + 9 = 8 + 9 = 17\). D’autre part, \(5 \times 4 – 3 = 20 – 3 = 17\). La solution est donc 4.
3. On développe d’abord le membre de gauche.
   \(3x – 6 = x + 8\)
   \(3x – x = 8 + 6\)
   \(2x = 14\)
   \(x = 7\)
   La solution est 7. (Par exemple, vérification : \(3 \times (7 – 2) = 15\) et \(7 + 8 = 15\).)
4. \(\frac{2}{3}x – 1 = 7\)
   \(\frac{2}{3}x = 8\)
   \(x = 8 \times \frac{3}{2}\)
   \(x = 12\)
   La solution est 12. (Puis, vérification : \(\frac{2}{3} \times 12 – 1 = 8 – 1 = 7\).)

Barème : a) et b) 1 point pour la résolution, 0,5 point pour la vérification ; c) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la solution ; d) 0,5 point pour \(\frac{2}{3}x = 8\), 0,5 point pour \(x = 12\).

Exercice 4 : La copie de Tom (4 points)

1. Pour \(x = 0{,}5\), on calcule d’abord les deux membres.
   Le membre de gauche vaut \(6 \times 0{,}5 – 5 = 3 – 5 = -2\).
   Puis le membre de droite vaut \(2 \times 0{,}5 + 7 = 1 + 7 = 8\).
   Comme \(-2 \neq 8\), \(0{,}5\) n’est pas solution de l’équation.
2. L’erreur est à la première ligne. En effet, pour faire disparaître \(-5\) du membre de gauche, il faut ajouter 5 aux deux membres. Donc on obtient \(7 + 5\) et non \(7 – 5\). Tom a changé de membre le nombre \(-5\) sans changer son signe.
3. \(6x – 5 = 2x + 7\)
   \(6x – 2x = 7 + 5\)
   \(4x = 12\)
   \(x = 3\)
   Enfin, on vérifie le résultat.
   D’une part, \(6 \times 3 – 5 = 18 – 5 = 13\). D’autre part, \(2 \times 3 + 7 = 6 + 7 = 13\). La solution de l’équation est donc 3.

Barème : a) 0,5 point pour les deux calculs, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour la ligne fautive, 0,5 point pour l’explication ; c) 1 point pour la résolution, 0,5 point pour la solution 3, 0,5 point pour la vérification.

Exercice 5 : La balance en équilibre (4 points)

1. Sur le plateau de gauche, il y a \(3x + 200\) grammes. Sur celui de droite, il y a \(x + 500 + 300 = x + 800\) grammes. Or la balance est en équilibre, donc : \(3x + 200 = x + 800\).
2. \(3x + 200 = x + 800\)
   \(3x – x = 800 – 200\)
   \(2x = 600\)
   \(x = 300\)
   Une boîte de thé a une masse de 300 g.
3. D’abord, plateau de gauche : \(3 \times 300 + 200 = 900 + 200 = 1\,100\) g. Ensuite, plateau de droite : \(300 + 800 = 1\,100\) g. Les deux plateaux portent 1 100 g : la balance est bien en équilibre.
4. On place deux boîtes et trois masses de 1 kg à gauche. Puis on place une boîte et cinq masses de 1 kg à droite :

   

   On enlève une boîte de chaque plateau, puis trois masses de 1 kg de chaque plateau. Ainsi, l’équilibre est conservé. Alors il reste une boîte à gauche et deux masses de 1 kg à droite. Une boîte a une masse de 2 kg : \(x = 2\).

Erreur fréquente : en a), oublier l’une des deux masses du plateau de droite. On écrit alors par erreur \(3x + 200 = x + 500\).

Barème : a) 1 point ; b) 1 point pour la résolution, 0,5 point pour la réponse avec l’unité ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour un dessin correct, 0,5 point pour l’explication et \(x = 2\).

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Après le corrigé du contrôle : résoudre des équations du premier degré

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