Voici le corrigé du contrôle de maths de 4ème sur le thème : calcul littéral et équations.
Cette correction montre les développements terme à terme : avec la double distributivité, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, puis on réduit en regroupant les termes semblables. Chaque équation est résolue en isolant l’inconnue, puis la solution est vérifiée en remplaçant x dans les deux membres.
Pour les programmes de calcul et le problème d’aires, tu verras comment passer de l’énoncé à une expression littérale, puis à une équation, sans oublier la phrase de conclusion. Le barème précise les points de méthode.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 4ème : calcul littéral et équations.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Développer et réduire | 4 points |
| Exercice 2 : Une expression à simplifier | 3 points |
| Exercice 3 : Résoudre des équations | 5 points |
| Exercice 4 : Deux programmes de calcul | 4 points |
| Exercice 5 : Problème : un carré et un rectangle de même aire | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Développer et réduire (4 points)
- \(A = 5 \times 2x – 5 \times 3 = 10x – 15\).
\(A = 10x – 15\). - \(B = (-3) \times 4 – (-3) \times x + 2x = -12 + 3x + 2x = 5x – 12\).
\(B = 5x – 12\). - On applique la double distributivité :
\(C = x \times x + x \times 2 + 4 \times x + 4 \times 2 = x^2 + 2x + 4x + 8\).
\(C = x^2 + 6x + 8\). - \(D = 2x \times 3x + 2x \times 5 – 1 \times 3x – 1 \times 5 = 6x^2 + 10x – 3x – 5\).
\(D = 6x^2 + 7x – 5\).
Erreur fréquente : dans \(B\), écrire \(-3(4 – x) = -12 – 3x\). Le produit de \(-3\) par \(-x\) donne \(+3x\).
Barème : 1 point par expression : 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la réduction juste.
Exercice 2 : Une expression à simplifier (3 points)
- \((x – 3)(x + 3) = x^2 + 3x – 3x – 9 = x^2 – 9\).
\(x(x – 2) = x^2 – 2x\).
\(E = x^2 – 9 – (x^2 – 2x) = x^2 – 9 – x^2 + 2x = 2x – 9\).
\(E = 2x – 9\). - Avec la forme réduite : \(E = 2 \times (-4) – 9 = -8 – 9 = -17\).
Vérification avec la forme de départ : \((-7) \times (-1) – (-4) \times (-6) = 7 – 24 = -17\).
Pour \(x = -4\), \(E = -17\).
Erreur fréquente : oublier la parenthèse devant \(x^2 – 2x\) : le signe moins change le signe de chaque terme.
Barème : a) 0,5 point par développement, 1 point pour la suppression de la parenthèse précédée d’un signe moins et la réduction ; b) 0,5 point pour la substitution, 0,5 point pour le résultat.
Exercice 3 : Résoudre des équations (5 points)
- \(3x + 7 = 22\)
\(3x = 22 – 7 = 15\)
\(x = 15 : 3 = 5\).
Vérification : \(3 \times 5 + 7 = 22\). La solution est \(5\). - \(7x – 4 = 2x + 11\)
\(7x – 2x = 11 + 4\)
\(5x = 15\)
\(x = 3\).
Vérification : \(7 \times 3 – 4 = 17\) et \(2 \times 3 + 11 = 17\). La solution est \(3\). - \(4(x – 2) = 6x + 3\)
\(4x – 8 = 6x + 3\)
\(4x – 6x = 3 + 8\)
\(-2x = 11\)
\(x = \dfrac{11}{-2} = -5{,}5\).
Vérification : \(4 \times (-5{,}5 – 2) = 4 \times (-7{,}5) = -30\) et \(6 \times (-5{,}5) + 3 = -33 + 3 = -30\). La solution est \(-5{,}5\). - On développe le membre de gauche : \((x + 3)(x – 1) = x^2 – x + 3x – 3 = x^2 + 2x – 3\).
\(x^2 + 2x – 3 = x^2 + 5\)
\(2x – 3 = 5\) (on a retiré \(x^2\) aux deux membres)
\(2x = 8\)
\(x = 4\).
Vérification : \((4 + 3)(4 – 1) = 7 \times 3 = 21\) et \(4^2 + 5 = 16 + 5 = 21\). La solution est \(4\).
Barème : a) et b) 0,5 point pour les étapes, 0,5 point pour la solution ; c) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour les étapes, 0,5 point pour la solution ; d) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour l’élimination de \(x^2\), 0,5 point pour la solution. Une vérification juste peut compenser une étape mal rédigée.
Exercice 4 : Deux programmes de calcul (4 points)
- Programme 1 : \(2 + 3 = 5\) ; \(5 \times 4 = 20\) ; \(20 – 2 = 18\).
Programme 2 : \(2 \times 7 = 14\) ; \(14 – 5 = 9\).
Nour obtient 18 avec le programme 1 et 9 avec le programme 2. - Programme 1 : \((x + 3) \times 4 – 2 = 4x + 12 – 2 = 4x + 10\).
Programme 2 : \(7x – 5\).
Les résultats sont \(4x + 10\) et \(7x – 5\). - On cherche \(x\) tel que \(4x + 10 = 7x – 5\).
\(10 + 5 = 7x – 4x\)
\(15 = 3x\)
\(x = 5\).
Vérification : programme 1 : \((5 + 3) \times 4 – 2 = 30\) ; programme 2 : \(5 \times 7 – 5 = 30\).
Il faut choisir le nombre 5 : les deux programmes donnent alors 30.
Barème : a) 0,5 point par programme ; b) 0,5 point par expression ; c) 0,5 point pour l’équation, 1 point pour la résolution, 0,5 point pour la conclusion vérifiée.
Exercice 5 : Problème : un carré et un rectangle de même aire (4 points)
- L’aire d’un carré est côté fois côté. L’aire du carré est \(x^2\) (en \(\text{cm}^2\)).
- L’aire du rectangle est longueur fois largeur :
\((x + 4)(x – 3) = x \times x – x \times 3 + 4 \times x – 4 \times 3 = x^2 – 3x + 4x – 12\).
L’aire du rectangle est bien \(x^2 + x – 12\). - On cherche \(x\) tel que \(x^2 = x^2 + x – 12\).
En retirant \(x^2\) aux deux membres : \(0 = x – 12\), donc \(x = 12\).
Cette valeur est bien plus grande que 3.
Les deux figures ont la même aire pour \(x = 12\). - Pour \(x = 12\), le rectangle mesure \(12 + 4 = 16\text{ cm}\) sur \(12 – 3 = 9\text{ cm}\).
Aire du rectangle : \(16 \times 9 = 144\text{ cm}^2\) ; aire du carré : \(12^2 = 144\text{ cm}^2\).
Les deux aires valent \(144\text{ cm}^2\).
Erreur fréquente : croire que l’équation est impossible à cause des \(x^2\) : ils s’éliminent, et il reste une équation du premier degré.
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour l’expression de l’aire, 1 point pour le développement réduit ; c) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour l’élimination de \(x^2\), 0,5 point pour la solution ; d) 0,5 point pour les dimensions et la vérification.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Après le corrigé du contrôle : calcul littéral et équations
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Calcul littéral et la double distributivité » en 4ème et « Les équations » en 4ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés calcul littéral, les équations.
Retrouve tous les contrôles de maths en 4ème classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.
