Corrigé du contrôle de maths 2de : équations de droites dans un repère

Exercice 1 : Automatismes sur les droites (3 points)

1. Coefficient directeur : \(-3\) ; ordonnée à l’origine : 2.
2. \(2 \times 2 – 3 = 4 – 3 = 1\), qui est bien l’ordonnée de \(A\). Oui, \(A\) appartient à la droite.
3. Une droite d’équation \(ax + by + c = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;a)\). Ici \(a = 2\) et \(b = -5\). \(\vec{u}(5\,;2)\) est un vecteur directeur.
4. \(x = 4\).
5. \(m = \dfrac{y_F – y_E}{x_F – x_E} = \dfrac{7 – 3}{3 – 1} = \dfrac{4}{2} = 2\). Le coefficient directeur est 2.
6. Oui : elles ont le même coefficient directeur 4 (et elles sont distinctes, car leurs ordonnées à l’origine sont différentes).

Barème : 0,5 point par réponse exacte ; en a), 0,25 point par nombre.

Exercice 2 : Lire et tracer des droites (5 points)

1. \(d_1\) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, donc elle a une équation de la forme \(y = mx + p\). Elle coupe l’axe des ordonnées au point \((0\,;-1)\), donc \(p = -1\). En partant de ce point, quand on avance de 1 vers la droite, on monte de 2 pour arriver au point \((1\,;1)\), donc \(m = 2\).
   
   \(d_1 : y = 2x – 1\).
2. \(d_2\) coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;3)\), donc \(p = 3\). Elle passe aussi par \((2\,;2)\) : quand on avance de 2, on descend de 1, donc \(m = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5\).
   
   \(d_2 : y = -0{,}5x + 3\).
3. \(d_3\) est parallèle à l’axe des ordonnées et coupe l’axe des abscisses en \(-3\). \(d_3 : x = -3\).
4. Pour \(x = 0\), \(y = 4\) ; pour \(x = 1\), \(y = -3 + 4 = 1\) ; pour \(x = 2\), \(y = -6 + 4 = -2\). On trace la droite passant par \((0\,;4)\), \((1\,;1)\) et \((2\,;-2)\) (voir la figure ci-dessous).
5. \(3x – 2y – 6 = 0\)
   
   \(-2y = -3x + 6\)
   
   \(y = 1{,}5x – 3\).
   
   \(d_5 : y = 1{,}5x – 3\). Pour \(x = 0\), \(y = -3\) ; pour \(x = 2\), \(y = 0\) ; pour \(x = 4\), \(y = 3\). On trace la droite passant par ces points.

Erreur fréquente : lire le coefficient directeur « à l’envers » (déplacement horizontal divisé par déplacement vertical) : on divise toujours la variation des ordonnées par la variation des abscisses.

Barème : a) 0,5 point pour \(p\), 0,5 point pour \(m\) ; b) même répartition ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour deux points calculés, 0,5 point pour le tracé ; e) 1 point pour l’équation réduite, 0,5 point pour le tracé.

Exercice 3 : La droite passant par deux points (4 points)

1. \(x_A \neq x_B\), donc \((AB)\) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et :
   
   \(m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \dfrac{2 – 5}{4 – (-2)} = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}\).
   
   Le coefficient directeur de \((AB)\) est \(-\frac{1}{2}\).
2. L’équation est de la forme \(y = -\frac{1}{2}x + p\). Comme \(A\) appartient à la droite :
   
   \(5 = -\frac{1}{2} \times (-2) + p\), soit \(5 = 1 + p\), donc \(p = 4\).
   
   \((AB) : y = -\frac{1}{2}x + 4\). Vérification avec \(B\) : \(-\frac{1}{2} \times 4 + 4 = 2\).
3. \(\vec{AB}(x_B – x_A\,;y_B – y_A)\), soit \(\vec{AB}(6\,;-3)\).
   
   Un point \(M(x\,;y)\) appartient à \((AB)\) si et seulement si \(\vec{AM}(x + 2\,;y – 5)\) et \(\vec{AB}(6\,;-3)\) sont colinéaires, c’est-à-dire si leur déterminant est nul :
   
   \((x + 2) \times (-3) – (y – 5) \times 6 = 0\)
   
   \(-3x – 6 – 6y + 30 = 0\)
   
   \(-3x – 6y + 24 = 0\).
   
   En divisant par \(-3\) : \(x + 2y – 8 = 0\) est une équation cartésienne de \((AB)\).
4. \(x_C + 2y_C – 8 = 10 + 2 \times (-1) – 8 = 0\). Les coordonnées de \(C\) vérifient l’équation, donc \(C\) appartient à \((AB)\).
5. Sur l’axe des abscisses, \(y = 0\) : \(x + 0 – 8 = 0\), donc \(x = 8\). Le point d’intersection est \((8\,;0)\).

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat simplifié ; b) 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour \(p = 4\) ; c) 0,25 point pour \(\vec{AB}\), 0,75 point pour l’équation cartésienne (toute équation proportionnelle est acceptée) ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point.

Exercice 4 : Droites parallèles (4 points)

1. Ici \(a = 3\) et \(b = -1\), donc \(\vec{u}(1\,;3)\) est un vecteur directeur de \(d\).
2. \(d\) a pour équation réduite \(y = 3x + 2\), de coefficient directeur 3. Deux droites parallèles non verticales ont le même coefficient directeur, donc \(d^{\prime} : y = 3x + p\).
   
   \(E \in d^{\prime}\) : \(-1 = 3 \times 2 + p\), donc \(p = -7\).
   
   \(d^{\prime} : y = 3x – 7\).
3. \(\Delta\) a pour vecteur directeur \(\vec{v}(2\,;6)\). Or \(\vec{v} = 2\vec{u}\) : les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc \(\Delta\) est parallèle à \(d\).
   
   Le point \((0\,;2)\) appartient à \(d\). Dans l’équation de \(\Delta\) : \(6 \times 0 – 2 \times 2 + 5 = 1 \neq 0\), donc ce point n’appartient pas à \(\Delta\). Les droites \(d\) et \(\Delta\) sont parallèles mais pas confondues (strictement parallèles).
4. \(\delta : x = -1\). Le point d’intersection a pour abscisse \(-1\) et appartient à \(d\) : \(3 \times (-1) – y + 2 = 0\), donc \(-1 – y = 0\) et \(y = -1\).
   
   Les droites \(\delta\) et \(d\) se coupent au point \((-1\,;-1)\).

Erreur fréquente : conclure que \(d\) et \(\Delta\) sont confondues parce que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il faut encore tester un point : ici \(6x – 2y + 5 = 0\) n’est pas proportionnelle à \(3x – y + 2 = 0\), car \(2 \times 2 = 4 \neq 5\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour le coefficient directeur 3, 0,5 point pour \(p = -7\) ; c) 0,5 point pour le parallélisme justifié, 0,5 point pour « non confondues » justifié ; d) 0,5 point pour \(x = -1\), 1 point pour le point d’intersection.

Exercice 5 : Choisir un tarif de location (4 points)

1. \(\mathcal{D}_A : y = 0{,}5x + 30\) et \(\mathcal{D}_B : y = 0{,}8x + 12\). L’ordonnée à l’origine est le prix payé pour 0 km : c’est le forfait (30 € pour A, 12 € pour B). Le coefficient directeur est le prix d’un kilomètre.
2. Tarif A : \(0{,}5 \times 100 + 30 = 80\). Tarif B : \(0{,}8 \times 100 + 12 = 92\). Pour 100 km, on paie 80 € avec le tarif A et 92 € avec le tarif B.
3. \(m = \dfrac{80 – 50}{80 – 20} = \dfrac{30}{60} = 0{,}5\). Puis \(50 = 0{,}5 \times 20 + p\), donc \(p = 40\).
   
   \(\mathcal{D}_C : y = 0{,}5x + 40\).
   
   \(\mathcal{D}_A\) et \(\mathcal{D}_C\) ont le même coefficient directeur \(0{,}5\) et des ordonnées à l’origine différentes : elles sont strictement parallèles. Pour tout nombre de kilomètres, le tarif C coûte \(40 – 30 = 10\) € de plus que le tarif A : le tarif C n’est jamais intéressant.
4. Le tarif A est strictement moins cher que le tarif B lorsque :
   
   \(0{,}5x + 30 < 0{,}8x + 12\)
   
   \(30 – 12 < 0{,}8x – 0{,}5x\)
   
   \(18 < 0{,}3x\)
   
   \(x > 60\).
   
   Pour 60 km, les deux tarifs coûtent 60 € (c’est le point d’intersection des droites). Le tarif A devient strictement moins cher au-delà de 60 km.

Barème : a) 0,5 point pour les deux équations, 0,5 point pour l’interprétation ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour l’équation de \(\mathcal{D}_C\), 0,5 point pour le parallélisme, 0,5 point pour la conclusion sur le tarif C ; d) 0,5 point pour l’inéquation, 0,5 point pour la résolution et la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : équations de droites dans un repère

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