Théorème de Pythagore : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF.

Exercice 1 (Pythagore 4e corrigé)

Sur une carte, le triangle CLP formé par les villes de Caen, Lisieux et Pont-l‘Evêque est considéré comme
étant rectangle en L.

On donne : CP = 46 km et PL = 17 km.

1. Montre par le calcul que la distance CL est d’environ 43 km.

Dans le triangle CPL rectangle en L, d’après la partie directe du théorème de Pythagore,
nous avons l’égalité suivante :

\(CP^2=CL^2+LP^2\)
\(46^2=CL^2+17^2\)
\(2116=CL^2+289\)
\(CL^2=2116-289\)
\(CL^2=1827\)

\(CL=\sqrt{1827}\approx 42{,}7\)

\({\color{DarkRed} CL\simeq 43\,km}\)

2. En mesurant CP sur la carte, on trouve 4,6 cm.

Retrouve l’échelle de la carte fournie.

CP = 46 km = 46 000 m = 4 600 000 cm.

Sur la carte, 4,6 cm représentent donc 4 600 000 cm dans la réalité :

\(\dfrac{4{,}6}{4\,600\,000}=\dfrac{1}{1\,000\,000}\)

L’échelle de la carte est \(\dfrac{1}{1\,000\,000}\) : 1 cm sur la carte représente 10 km dans la réalité.

Exercice 2 :

Mathieu est perplexe…

Ses parents lui ont acheté un secrétaire,

mais ses stylos roulent et tombent.

Peux-tu lui expliquer pourquoi ?

\(21^2=441\) et \(12^2+16^2=400\)

\(12^2+16^2\neq 21^2\)

donc, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle : le plateau ne forme pas un angle droit avec le montant vertical.

Comme \(21^2\gt 12^2+16^2\), l’angle entre le montant et le plateau est plus grand qu’un angle droit : le plateau penche vers le bas, c’est pourquoi les stylos roulent et tombent.

Exercice 3 (Pythagore 4e corrigé)

a. Dans lequel des deux cas utilisera-t-il le moins de câble ?

G est le milieu de [DC], donc \(DG=GC=5: 2=2{,}5\) m. L est le milieu de [CF] et \(CF=DE=4\) m, donc \(CL=2\) m. Enfin \(AD=BC=2{,}5\) m.

Trajet bleu A → G → L. Le triangle ADG est rectangle en D (la face ABCD est un rectangle). D’après le théorème de Pythagore :

\(AG^2=AD^2+DG^2=2{,}5^2+2{,}5^2=6{,}25+6{,}25=12{,}5\), donc \(AG=\sqrt{12{,}5}\approx 3{,}54\) m.

Le triangle GCL est rectangle en C (la face CDEF est un rectangle) :

\(GL^2=GC^2+CL^2=2{,}5^2+2^2=6{,}25+4=10{,}25\), donc \(GL=\sqrt{10{,}25}\approx 3{,}20\) m.

Longueur du trajet bleu : \(AG+GL\approx 6{,}74\) m.

Trajet violet A → C → L. Le triangle ABC est rectangle en B :

\(AC^2=AB^2+BC^2=5^2+2{,}5^2=25+6{,}25=31{,}25\), donc \(AC=\sqrt{31{,}25}\approx 5{,}59\) m.

Longueur du trajet violet : \(AC+CL\approx 5{,}59+2=7{,}59\) m.

Le trajet bleu (environ 6,74 m) utilise moins de câble que le trajet violet (environ 7,59 m).

b. Construction à l’échelle 1/100

À l’échelle 1/100, 1 m est représenté par 1 cm. Puis la face ABCD est un rectangle de 5 cm sur 2,5 cm et la face CDEF un rectangle de 5 cm sur 4 cm. Ensuite, on dessine ces deux rectangles accolés le long de leur côté commun [DC] (comme si l’on dépliait la pièce), on place G au milieu de [DC] et L au milieu de [CF], puis on trace les deux trajets.

Exercice 3 (Pythagore 4e corrigé) (suite)

c. Le passage du câble le plus court

Sur la figure dépliée, le plus court chemin entre A et L est la ligne droite : c’est le segment [AL], qui traverse [DC] en un point M. Puis le câble doit donc monter en ligne droite de A jusqu’à M sur la face ABCD, puis aller en ligne droite de M jusqu’à L au plafond.

Sur la figure dépliée, les points B, C et L sont alignés et le triangle ABL est rectangle en B, avec \(AB=5\) m et \(BL=BC+CL=2{,}5+2=4{,}5\) m. D’après le théorème de Pythagore :

\(AL^2=AB^2+BL^2=5^2+4{,}5^2=25+20{,}25=45{,}25\)

\(AL=\sqrt{45{,}25}\approx 6{,}73\) m.

La longueur minimale de câble est d’environ 6,73 m, un peu moins que le trajet bleu.

Exercice 4 :

Le tunnel est à sens unique : le camion roule au milieu. Sa demi-largeur est \(2{,}6: 2=1{,}3\) m.

La voûte est un demi-cercle de centre O, situé au milieu du tunnel à 2,5 m de hauteur, et de rayon \(4: 2=2\) m. Appelons P le point de la voûte situé juste au-dessus d’un coin supérieur du camion, et H le point à 2,5 m de hauteur situé à la verticale de P. Alors \(OH=1{,}3\) m et \(OP=2\) m (rayon).

Le triangle OHP est rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore :

\(OP^2=OH^2+HP^2\)

\(2^2=1{,}3^2+HP^2\)

\(HP^2=4-1{,}69=2{,}31\)

\(HP=\sqrt{2{,}31}\approx 1{,}52\) m

La hauteur disponible au niveau des bords du camion est donc \(2{,}5+\sqrt{2{,}31}\approx 4{,}019\) m.

Le camion peut mesurer au maximum environ 4,02 m de haut ; pour passer sans toucher la voûte, il ne doit pas dépasser 4,01 m (arrondi au centimètre par défaut).

Exercice 5 (Pythagore 4e corrigé)

Jean doit envoyer une lettre par la poste.

Peut-il envoyer cette lettre rectangulaire sans la plier?

La largeur de la lettre est de 30,3 cm

donc il faut que la longueur la plus élevée de la fente de la boîte au lettre soit

supérieure à 30,3 cm.

En appliquant le théorème de Pythagore,

nous obtenons :

\(\sqrt{5^2+30^2}=\sqrt{925}\simeq 30{,}4\,cm\)

Conclusion : il pourra envoyer cette enveloppe sans la plier.

Exercice 6 :

Voici le déplacement de l’équerre obtenu avec le logiciel GeoGebra.

Le point C se déplace sur un segment de droite qui passe par l’origine O du repère. Lorsque l’équerre est isocèle, cette droite est la bissectrice des axes, c’est-à-dire la droite d’équation y = x.

Exercice 7 (Pythagore 4e corrigé)

Pour son spectacle, un magicien veut enfoncer des épées dans une boîte dans laquelle serait enfermé un spectateur.

La boîte est un cube de 1m de côté.

Pour son projet, le magicien doit faire fabriquer des épées.

Il lui faut des épées toutes de même taille telles que, quel que soit l’endroit où il enfonce l’épée, elle puisse dépasser d’au moins 10 cm.

Quelle longueur minimum de lame d’épée doit-il commander au forgeron ?

La longueur maximale du cube est la longueur AD .

Dans le triangle ABC rectangle en C, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AB^2=AC^2+BC^2\)

\(AB^2=1^2+1^2\)

\(AB^2=2\)

\(AB=\sqrt{2}\)

Dans le triangle ABD rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AD^2=AB^2+BD^2\)

\(AD^2=(\sqrt{2})^2+1^2\)

\(AD^2=3\)

\({\color{DarkRed} AD=\sqrt{3}}\)

Il faut que l’épée dépasse de 10 cm=0,1 m donc

la longueur minimale est \(\sqrt{3}+0{,}1\approx 1{,}832\) m.

Conclusion : la lame doit mesurer au moins 1,832 m environ : il faut commander des épées d’au moins 1,84 m (arrondi au centimètre supérieur).

Exercice 8 :

C’est la signification géométrique du théorème de Pythagore.

Il suffit de construire un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent a et e. D’après le théorème de Pythagore, le carré construit sur l’hypoténuse a pour aire \(a^2+e^2\) : son aire est bien la somme des aires des deux carrés.

Exercice 9 (Pythagore 4e corrigé)

Il suffit de construire le carré qui a pour côté une diagonale du carré de départ.

Si le carré de départ a pour côté a, une diagonale d forme avec deux côtés un triangle rectangle isocèle. D’après le théorème de Pythagore : \(d^2=a^2+a^2=2a^2\).

Le carré construit sur la diagonale a donc pour aire \(2a^2\), le double de l’aire du carré de départ.

Exercice 10 :

On accède au garage situé au sous-sol d’une maison par une rampe [AC].

On sait que : AC = 10,25 m ; BC = 2,25 m.

Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après la partie directe du

théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(10{,}25^2=AB^2+2{,}25^2\)

\(105{,}0625=AB^2+5{,}0625\)

\(AB^2=105{,}0625-5{,}0625\)

\(AB^2=100\)

\(AB=\sqrt{100}\)

\({\color{DarkRed} AB=10\,m}\)

La distance est de 10 mètres .

Exercice 11 (Pythagore 4e corrigé)

\(AS^2=(5x+10)^2=25x^2+100x+100\)

\(AP^2+PS^2=(3x+6)^2+(4x+8)^2=9x^2+36x+36+16x^2+64x+64\)

\(AP^2+PS^2=25x^2+100x+100\)

donc \({\color{DarkRed}AS^2=AP^2+PS^2}\)

d’après la réciproque du théorème de Pythagore,

nous en déduisons que le triangle APS est rectangle en P.

Exercice 12 :

On considère le schéma ci-contre (ne pas le reproduire).
a) Calculer AC et AE.

Les triangles ABC et AED sont rectangle donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons les égalités suivantes :
\(AB^2=BC^2+CA^2\) et \(AE^2=AD^2+DE^2\)
\(9{,}7^2=7{,}2^2+AC^2\) et \(AE^2=5{,}6^2+3{,}3^2\)
\(94{,}09=51{,}84+AC^2\) et \(AE^2=31{,}36+10{,}89\)
\(AC^2=94{,}09-51{,}84\) et \(AE^2=31{,}36+10{,}89\)

\(AC^2=42{,}25\) et \(AE^2=42{,}25\)

\(AC=\sqrt{42{,}25}=6{,}5\) et \(AE=\sqrt{42{,}25}=6{,}5\)

b) En déduire que le point A appartient à la médiatrice du segment [CE].

Nous avons \(AE=AC\) donc le point A est équidistant des points C et E, le point A est donc sur la médiatrice du segment [CE].

Exercice 13 (Pythagore 4e corrigé)

La haie mesure 3,3 m de haut, la distance au sol mesure 5,6 m et la distance entre le haut de la haie et le point au sol mesure 6,5 m. De plus, le plus grand côté du triangle est celui de 6,5 m.

\(6{,}5^2=42{,}25\)

\(3{,}3^2+5{,}6^2=10{,}89+31{,}36=42{,}25\)

On a donc \(6{,}5^2=3{,}3^2+5{,}6^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle et l’angle droit est au pied de la haie, en face du plus grand côté.

Oui, le jardinier a taillé une haie perpendiculaire au sol.

Exercice 14 :

Calculer la hauteur SH de ce grenier au dixième de mètre près.

AH=AB:2=9:2=4,5 m.

Dans le triangle rectangle SAH, d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

\(SA^2=AH^2+HS^2\)

\(5{,}6^2=4{,}5^2+HS^2\)

\(31{,}36=20{,}25+HS^2\)

\(HS^2=31{,}36-20{,}25\)

\(HS^2=11{,}11\)

\(HS=\sqrt{11{,}11}\)

\({\color{DarkRed} HS\simeq 3{,}3\,m}\)
Conclusion : la hauteur de ce grenier est, à peu près, 3,3 mètres.

Exercice 15 (Pythagore 4e corrigé)

Le bracelet de Zoé a douze perles espacées régulièrement sur une chaînette.

Zoé prétend qu’en tendant la chaîne entre des perles bien choisies, elle peut former un triangle rectangle.

Dessiner la chaîne dans une position qui lui permette d’obtenir un angle droit.

Il suffit de prendre une chaîne ayant pour côté 3 perles, 4 perles et 5 perles.

Le triplet (3,4,5) est appelé triplet Pythagoricien.
en effet :
\(3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle sera rectangle.

Exercice 16 :

La fenêtre est-elle bien rectangulaire ? Justifier votre réponse.
Le côté le plus long est 156 cm.
On calcule séparément :

\(156^2=24\,336\) et \(60^2+144^2=24336\)

Nous avons donc \(156^2=60^2+144^2\), d’après la partie réciproque du théorème de Pythagore,

nous pouvons en déduire que la fenêtre est rectangulaire.

Exercice 17 (Pythagore 4e corrigé)

Un tableau est plat : pour entrer dans le carton, il doit tenir dans un rectangle placé à l’intérieur du carton. Ensuite, les plus grands rectangles possibles sont les faces du carton et les rectangles « en biais » qui s’appuient sur la diagonale d’une face.

Calculons les diagonales des faces avec le théorème de Pythagore (chaque face est un rectangle) :

• fond de 57 cm sur 41 cm : \(d_1^2=57^2+41^2=3\,249+1\,681=4\,930\), donc \(d_1\approx 70{,}2\) cm ; le rectangle en biais mesure environ 70,2 cm sur 35 cm ;
• face de 57 cm sur 35 cm : \(d_2^2=57^2+35^2=3\,249+1\,225=4\,474\), donc \(d_2\approx 66{,}9\) cm ; le rectangle en biais mesure environ 66,9 cm sur 41 cm ;
• face de 41 cm sur 35 cm : \(d_3^2=41^2+35^2=1\,681+1\,225=2\,906\), donc \(d_3\approx 53{,}9\) cm ; le rectangle en biais mesure environ 53,9 cm sur 57 cm.

Le tableau de 70 cm sur 34 cm entre en biais sur le fond : 70 cm est moins que 70,2 cm et 34 cm est moins que 35 cm.

De même, le tableau de 65 cm sur 40 cm entre en biais contre la face de 57 cm sur 35 cm : 65 cm est moins que 66,9 cm et 40 cm est moins que 41 cm.

Le tableau carré a deux côtés de 55 cm. Or chaque face du carton a un côté d’au plus 41 cm, et chaque rectangle en biais a un côté de 35 cm, 41 cm ou 53,9 cm : tous sont plus petits que 55 cm.

C’est le tableau carré de 55 cm sur 55 cm qui ne peut pas tenir dans le carton.

Exercice 18 :

Pour cet exercice utilisons la réciproque du théorème de pythagore qui nous dit :

Si le carré de la longueur la plus longue du triangle ABC est égale à la somme des carré des deux autres côtés du triangle alors ce triangle est rectangle.

Calculons AB² dans un premier temps, en cm².

AB=1m =100cm donc AB² = 10 000cm²

Ensuite calculons la somme des carrés des deux autres côtés

CB²+AC² =80²+60² = 6400+3600=10 000cm²

Nous voyons donc que AB²=CB²+CA², donc le triangle est bien rectangle en C, et le mur est monté « droit »

Exercice 19 (Pythagore 4e corrigé)

a. Clémence tend son collier en formant un triangle dont les sommets sont les perles n° 1, n° 4 et n° 8 :

b. Les 12 perles sont régulièrement espacées : le collier compte 12 intervalles égaux. Par ailleurs, on prend comme unité l’écart entre deux perles voisines. Puis le triangle a alors des côtés de 3 unités (de la perle 1 à la perle 4), 4 unités (de la perle 4 à la perle 8) et 5 unités (de la perle 8 à la perle 1), soit \(3+4+5=12\) unités au total.

Le plus grand côté mesure 5 unités :

\(5^2=25\) et \(3^2+4^2=9+16=25\)

Donc \(5^2=3^2+4^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ; l’angle droit est à la perle n° 4, en face du plus grand côté.

En plaçant la perle n° 4 dans le coin à contrôler, Clémence peut vérifier qu’un angle est droit.

Exercice 20 :

\(AE^2=58^2=3364\)

\(AT^2+TE^2=42^2+40^2=3364\)

Nous avons \(AT^2+TE^2=AE^2\)

donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore , le triangle ATE est rectangle en T

ainsi l’étagère est horizontale.

Exercice 21 (Pythagore 4e corrigé)

Un panneau d’une porte d’immeuble mesure 75 cm sur 40 cm.

Il est décoré d’un losange en relief obtenu en joignant les milieux des côtés du panneau.

On cherche les dimensions de cette décoration centrale ?

Nommons ABCD le panneau rectangulaire, avec AB = 40 cm et AD = 75 cm, et E, F, G, H les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA] : la décoration est le losange EFGH.

Puisque ABCD est un rectangle, le triangle HAE est rectangle en A, avec \(AE=40: 2=20\) cm et \(AH=75: 2=37{,}5\) cm.

D’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(HE^2=AH^2+AE^2\)

\(HE^2=37{,}5^2+20^2=1\,406{,}25+400=1\,806{,}25\)

\(HE=\sqrt{1\,806{,}25}=42{,}5\)

Chaque côté du losange mesure 42,5 cm, donc son périmètre vaut \(4\times 42{,}5=170\) cm.

Les diagonales du losange relient les milieux des côtés opposés du panneau : elles mesurent 40 cm et 75 cm.

Aire du losange : \(\dfrac{40\times 75}{2}=1\,500\) cm².

Exercice 22 :

Calculer l’aire du losange EJFI .

Propriété : les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

On peut en déduire que IG=12 cm et que le triangle IGF est rectangle en G.

dans ce triangle rectangle appliquons la partie directe du théorème de Pythagore :

\(IF^2=IG^2+GF^2\)

\(13^2=12^2+GF^2\)

\(169=144+GF^2\)

\(GF^2=169-144\)

\(GF^2=25\)

\(GF=\sqrt{25}\)

\({\color{DarkRed} GF=5\,cm}\)

donc

\(EF=2GF=10\,cm\)

et

L’aire d’un losange est égale au demi-produit de ses diagonales :

\(A_{EJFI}=\dfrac{EF\times IJ}{2}=\dfrac{10\times 24}{2}=120\,\text{cm}^2\)

L’aire du losange EJFI est de 120 cm².

Exercice 23 (Pythagore 4e corrigé)

Calculer l’aire du parallélogramme ABDC.

Dans le triangle AFC rectangle en F, appliquons la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AC^2=AF^2+FC^2\)

\(10^2=6^2+FC^2\)

\(100=36+FC^2\)

\(FC^2=100-36\)

\(FC^2=64\)

\(FC=\sqrt{64}\)

\({\color{DarkRed} FC=8\,cm}\)

Aire du parallélogramme :

\(AB=AF+FB=6+9=15\) cm

\(A=B\times h=AB\times CF=15\times 8=120\,\text{cm}^2\)

L’aire du parallélogramme ABDC est de 120 cm².

Exercice 24 :

Ces deux mêmes tapis carrés ont été décorés à l’aide de quatre triangles rectangles identiques.

a. Quel est le motif qui nécessite le plus de laine blanche ?

Calculons l’aire du motif blanc.

Sur la première figure, Il correspond à l’aire du grand carré privée de celle des quatre triangles rectangles marrons.

\(A_1=(a+b)^2-4\frac{ab}{2}=(a+b)^2-2ab\)

Sur la seconde figure, il correspond à l’aire du grand carré privée de celle des deux rectangles marrons.

\(A_2=(a+b)^2-2ab\).

Conclusion : Ces deux motifs nécessitent la même quantité de laine.

b. Quelle relation peux-tu faire entre a, b et c ?

Ces deux quantités étant les mêmes

L’aire du carré blanc de gauche est \(c^2.\)

L’aire des deux carrés de droite est :\(a^2+b^2.\)

Conclusion : nous obtenons l’égalité de Pythagore \(c^2=a^2+b^2.\)

Exercice 25 (Pythagore 4e corrigé)

Voici le croquis d’un quadrilatère convexe.

1. Calculer les longueurs manquantes.

Ces deux triangles sont rectangles, l’idée est d’utiliser le théorème de Pythagore.

Pour le triangle de gauche :

\(3^2+4^2=9+16=25\)

\(\sqrt{25}=5\)

L’hypoténuse mesure 5.

Dans le triangle de droite :

\(12^2+5^2=144+25=169\)

\(\sqrt{169}=13\)

L’hypoténuse mesure 13.

2. Calculer son aire.

L’aire de cette figure est la somme des aires de deux triangles rectangles.

\(A=\frac{4\times 3}{2}+\frac{5\times 12}{2}=6+30=36\)

Exercice 26 :

Dans chacun des cas suivants, calculer la longueur manquante.

Ces deux triangles étant rectangles et nous disposons de deux valeurs,

nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore.

Dans le triangle de gauche :

\(12^2+16^2=144+256=400\)

\(\sqrt{400}=20\)

L’hypoténuse mesure 20.

Dans le triangle de droite :

\(7^2+24^2=49+576=625\)

\(\sqrt{625}=25\)

L’hypoténuse mesure 25.

Exercice 27 (Pythagore 4e corrigé)

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=5 cm et AC=12 cm.

1.
a. Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la valeur exacte de la longueur BC de l’hypoténuse.

Le triangle est rectangle en A

donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=5^2+12^2\)

\(BC^2=25+144\)

\(BC^2=169\)

\(BC=\sqrt{169}\)

\({\color{DarkRed}BC=13}\)

b. Construire le triangle ABC. Vérifier votre calcul précédent en mesurant BC.

On trace un angle droit de sommet A, on reporte AB = 5 cm sur un côté et AC = 12 cm sur l’autre, puis on trace [BC]. En mesurant, on trouve bien BC = 13 cm, ce qui confirme le calcul.

Exercice 28 :

IJK est un triangle rectangle en I tel que IJ=4,5 cm et JK=7,5 cm.

Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la valeur exacte de la longueur IK.

Le triangle est rectangle en I

donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(JK^2=IJ^2+IK^2\)

\(7{,}5^2=4{,}5^2+IK^2\)

\(56{,}25=20{,}25+IK^2\)

\(IK^2=56{,}25-20{,}25\)

\(IK^2=36\)

\(IK=\sqrt{36}\)

\({\color{DarkRed}IK=6}\)

Exercice 29 (Pythagore 4e corrigé)

Dans chaque cas, dire si le triangle ABC est rectangle.

Si oui, préciser en quel point.

a. AB = 24 cm , AC = 7 cm, BC = 25 cm

\(BC^2=25^2=625\)

\(AC^2+AB^2=7^2+24^2=49+576=625\)

donc \(AC^2+AB^2=BC^2\) ,

d’après la partie réciproque du théorème de Pythagore,

Le triangle ABC est rectrangle en A.

b. AB = 4 cm, AC = 7 cm, BC = 5,75 cm.

\(AC^2=7^2=49\)

\(AB^2+BC^2=4^2+5{,}75^2=16+33{,}0625=49{,}0625\)

donc \(AB^2+BC^2\neq AC^2\)

d’après la contraposée du théorème de Pythagore,

le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle.

Exercice 30 :

La tête d’un marteau a la forme d’un prisme droit repésenté sur la figure ci-dessous.

La base de ce prisme est le trapèze rectangle coloré ci-dessous.
Tracer ce trapèze à main levée et calculer sa hauteur h.

Dans le triangle rectangle :
Sa base est 9-5 = 4 cm.
D’après la partie directe du théorème de Pythagore,
Nous avons l’égalité suivante :
\(5^2=h^2+4^2\)
\(h^2=25-16\)
\(h^2=9\)
\(h=\sqrt{9}=3\)
La hauteur du trapèze est de 3 centimètres .

Exercice 31 (Pythagore 4e corrigé)

La figure ci-dessous représente un parallélépipède rectangle de longueur 1,2 mètres, de largeur 90 cm et de hauteur 50 cm.

a. Quelle est la nature de la face ABCD ?

ABCD est un rectangle.

b. Calculer la longueur AC.

AB=1,2 m=120 cm.

Dans le triangle ABC qui est rectangle en B

d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(AC^2=120^2+90^2\)

\(AC^2=14400+8100\)

\(AC^2=22500\)

\(AC=\sqrt{22500}\)

\(AC=150\)

[AC] mesure 150 centimètres.

c. Quelle est la nature du triangle ACG ?

ACG est un triangle rectangle, c’est la section oblique d’un parallèlépipède rectangle.

d. Calculer la longueur AG, arrondie au dixième, d’une diagonale du parallélépipède rectangle.
Dans le triangle ACG qui est rectangle en C

d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(AG^2=AC^2+CG^2\)

\(AG^2=22500+50^2\)

\(AG^2=22500+2500\)

\(AG^2=25000\)

\(AG=\sqrt{25000}\)

\({\color{DarkRed}AG\simeq 158{,}1\,\,cm}\)

Exercice 32 :

Monsieur Mathovore vient d’acheter un téléviseur de 56 cm.
A main levée, l’écran de ce téléviseur peut être représenté par le rectangle suivant :

Monsieur Mathovore pourra-t-il loger ce téléviseur dans son meuble ?

Notons h la hauteur du téléviseur.

\(h^2=56^2-42^2\)

\(h^2=3136-1764\)

\(h^2=1372\)

\(h=\sqrt{1372}\)

\(h\simeq 37{,}04\)

Il faudra que le meuble de Monsieur Mathovore mesure plus de 37,04 centimètres de hauteur.

Exercice 33 (Pythagore 4e corrigé)

Sur la figure, on a construit des carrés et des triangles rectangles qui ont des côtés communs. Exprimer la somme des aires des carrés verts en fonction de l’aire du carré rose.

D’après la signification du théorème de Pythagore :

L’aire des carrés verts est égale à l’aire des carrés bleus .

Après cela, l’aire des carrés bleus est égale à l’aire des carrés oranges .

L’aire des carrés oranges est égale à l’aire du carré rose .

Conclusion: par transitivité, l’aire des carrés vert est égale à l’aire du carré rose .

Exercice 34 :

Tracer un cercle C dont un diamètre [AB] mesure 12cm. Sur ce cercle, placer un point C, tel que AC=8cm.

1)Nature de ABC ?

ABC est un triangle inscrit dans un cercle et ayant un de ses côtés comme diamètre donc ABC est un triangle rectangle en C .

2)Calculer BC (valeur exacte simplifiée).

Dans ABC rectangle en C, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AB^2=AC^2+BC^2\)

\(12^2=8^2+BC^2\)

\(BC^2=144-64\)

\(BC^2=80\)

\(BC=\sqrt{80}\)

\(BC=\sqrt{16\times 5}=4\sqrt{5}\)

BC = \(4\sqrt{5}\) cm, soit environ 8,9 cm.

3)Calculer la longueur BD (valeur exacte simplifiée).

D est sur la demi-droite [AC) avec CD = 10 cm : C est entre A et D, donc les points A, C et D sont alignés. Comme l’angle \(\widehat{ACB}\) est droit, l’angle \(\widehat{BCD}\) est droit aussi : le triangle BCD est rectangle en C.

D’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(BD^2=BC^2+CD^2\)

\(BD^2=80+10^2=80+100=180\)

\(BD=\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}\)

BD = \(6\sqrt{5}\) cm, soit environ 13,4 cm.

4)a. Combien mesurent les côtés du triangle ABD ?

AB = 12 cm ; AD = AC + CD = 8 + 10 = 18 cm ; BD = \(6\sqrt{5}\) cm.

b. Démontrer que ABD est rectangle.

Le plus grand côté est [AD].

\(AD^2=18^2=324\) et \(AB^2+BD^2=144+180=324\)

Donc \(AD^2=AB^2+BD^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en B.

5)Que peut-on dire de la droite (AD) pour le cercle ?

La droite (AD) passe par les points A et C, qui sont tous les deux sur le cercle : (AD) est une sécante du cercle, elle le coupe en A et en C.

De plus, ABD étant rectangle en B, la droite (BD) est perpendiculaire au diamètre [AB] en son extrémité B : la droite (BD) est donc tangente au cercle en B.

Exercice 35 (Pythagore 4e corrigé)

1 ) Quelle est la nature du quadrilatère NORD ?

NORD est un trapèze rectangle .

2) Quelle est la nature du quadrilatère NOFD.

NOFD est un rectangle .

3) En déduire les longueurs FO , DF et FR.

FO =ND=112

DF=NO=107

FR=DR-DF=122-107=15

4) Calculer la longueur OR.

Dans le triangle OFR rectangle en F, d’après la partie directe

du théorème de Pythagore, nous avons :

\(OR^2=OF^2+FR^2\)

\(OR^2=112^2+15^2\)

\(OR^2=12544+225\)

\(OR^2=12769\)

\(OR=\sqrt{12769}\)

\({\color{DarkRed} OR=113}\)

Exercice 36 :

On considère les deux triangles rectangles ci dessous :

Calculer BD²puis CD .

\(BD^2=5{,}5^2+1{,}5^2\)

\(BD^2=30{,}25+2{,}25\)

\(BD^2=32{,}5\)

\(CD^2=BD^2-BC^2=32{,}5-3{,}5^2\)

\(CD^2=32{,}5-12{,}25\)

\(CD^2=20{,}25\)

\(CD=\sqrt{20{,}25}\)

\({\color{DarkRed} CD=4{,}5\,cm}\)

Exercice 37 (Pythagore 4e corrigé)

ABC est un triangle rectangle en B , d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(AC^2=6^2+8^2\)

\(AC^2=36+64\)

\(AC^2=100\)

\(AC=\sqrt{100}\)

\(AC=10\, cm\)

Exercice 38 :

Le cerf-volant de Maud s’est accroché à la cime d’un peuplier.

Maud sait que le fil de son cerf-volant mesure 20 m. Elle est à environ 15 m de l’arbre.

Sachant que Maud mesure 1,40 m

Quelle est donc approximativement la hauteur du peuplier ?

Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après la théorème de Pythagore :

\(AC^2=BC^2+AB^2\)

\(20^2=BC^2+15^2\)

\(400=BC^2+225\)

\(BC^2=400-225\)

\(BC^2=175\)

\(BC=\sqrt{175}\)

\(BC\simeq {\color{DarkRed} 13{,}23\,m}\)

Il ne faut pas oublier la hauteur de Maud .

\(13{,}23+1{,}4\simeq 14{,}63\,m\)

La hauteur du peuplier est, à peu près, de 14,63 mètres .

Exercice 39 (Pythagore 4e corrigé)

Mathys (M) et Ethan (E) sont assis en deux points diamétralement opposés

d’une piscine circulaire de profondeur 1,80 m .

Lorsque Louna (L) prend place au bord du même bassin, tous deux nagent tout droit vers elle.

Après un parcours de 10m, Mathys a déjà atteint Louna alors qu’Ethan devra nager 14m de plus que Mathys pour la rejoindre.

Combien de litre d’eau y a-t-il dans la piscine ? Expliquer .

1) On sait que le triangle MEL est inscrit dans un cercle

et son côté [ME] est un diamètre de ce cercle .

Propriété : un triangle inscrit dans un cercle ayant

un de ses côté comme diamètre est un triangle rectangle.

Conclusion : Le triangle MEL est rectangle en L .

2) Dans le triangle MEL rectangle en L .

D’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(ME^2=ML^2+LE^2\)

\(ME^2=10^2+(10+14)^2\)

\(ME^2=100+24^2\)

\(ME^2=100+576\)

\(ME^2=676\)

\(ME=\sqrt{676}\)

\({\color{DarkRed} ME=26\,m}\)

3) Calcul du volume de la piscine :

\(V=base\times hauteur\)

\(V= \pi\times R^2\times 1{,}8\)

\(V= \pi\times 13^2\times 1{,}8\)

\(V\simeq 955{,}67\,m^3\)

Or \(1dm^3=1L\) donc \(1\,m^3=1000\,L\)

\(V\simeq 955{,}67\times 1000\)

\({\color{DarkRed} V\simeq 955\,670\,L}\)

Conclusion : Cette piscine a une capacité d’à peu près 955 670 litres .

Exercice 40 :

Le cric d’une voiture a la forme d’un losange de 21 cm de côté.

A quelle hauteur soulève-t-il la voiture lorsque la diagonale

horizontale mesure 32 cm ?

Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu .

Le triangle OBD est rectangle en O et O est le milieu des segments [CB] et [AD] .

Dans le triangle rectangle OBD rectangle en O, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(BD^2=BO^2+OD^2\)

\(21^2=BO^2+16^2\)

\(441=BO^2+256\)

\(BO^2=441-256\)

\(BO^2=185\)

\(BO=\sqrt{185}\)

\({\color{DarkRed} BO\simeq 13{,}6\,cm}\)

\(BC=2BO=2\times 13{,}6=27{,}2\,cm\)

La voiture est soulevée , à peu près, à 27,2 cm du sol .

Exercice 41 (Pythagore 4e corrigé)

Le triangle ABC est rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(6{,}5^2=4^2+BC^2\)

\(42{,}25=16+BC^2\)

\(42{,}25-16=BC^2\)

\(BC^2=26{,}25\)

\(BC=\sqrt{26{,}25}\approx 5{,}12\)

BC mesure environ 5,1 cm.

Exercice 42 :

Dans le triangle rectangle DKC d’après la partie directe du théorème de Pythagore

nous avons l’égalité suivante :

\(DC^2=DK^2+KC^2\)

\(DC^2=24^2+7^2\)

\(DC^2=625\)

\(DC=\sqrt{625}\)

\({\color{DarkRed} DC=25\,cm}\)

L’aire noire correspond à l’aire du rectangle ABCD moins l’aire du triangle rectangle DKC.

ABCD est un rectangle et l’unité est le centimètre.

DKC est un triangle rectangle en K .

BC = 12 cm , DK = 24 cm et KC = 7 cm.

\(A=25\times 12-\frac{24\times 7}{2}=300-84=216\,cm^2\)

Conclusion : L’aire de la surface noire est de 216 cm².

Exercice 43 (Pythagore 4e corrigé)

Triangle 1 :

\(AB^2=22{,}1^2=488{,}41\)

\(AC^2+BC^2=14^2+17{,}1^2=196+292{,}41=488{,}41\)

donc \(AB^2=AC^2+BC^2\)

d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

Triangle 2 :

\(AC^2=100^2=10\,000\)

\(AB^2+BC^2=60^2+80^2=3600+6400=10000\)

donc \(AC^2=AB^2+BC^2\)

d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Exercice 44 :

Le triangle suivant AB=7,3 cm ; AC = 5,5 cm et BC = 4,8 cm est -il rectangle ?

\(AB^2=7{,}3^2=53{,}29\)

\(AC^2+BC^2=5{,}5^2+4{,}8^2=30{,}25+23{,}04=53{,}29\)

donc

\(AB^2=AC^2+BC^2\)

On peut en déduire d’après la réciproque du théorème de Pythagore

que le triangle ABC est rectangle en C.

Exercice 45 (Pythagore 4e corrigé)

1) ABCD est un carré .

2) ABC est un triangle rectangle en B .

3)[AC] est une diagonale .

4) [AC] est l’hypoténuse .

5) ACE est un triangle rectangle en A, car l’arête [AE] est perpendiculaire à la face ABCD, donc à la droite (AC).

6) [CE] est l’hypoténuse .

7 )Dans ABC rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(AC^2=4^2+4^2\)

\(AC^2=16+16=32\)

\(AC=\sqrt{32}\approx 5{,}7\)

AC mesure environ 5,7 cm au millimètre près.

8) Dans le triangle AEC rectangle en A, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(EC^2=AE^2+AC^2\)

\(EC^2=4^2+32\)

\(EC^2=16+32\)

\(EC^2=48\)

\({\color{DarkRed} EC=\sqrt{48}}\)

La valeur exacte de CE est \(\sqrt{48}\) cm, soit environ 6,9 cm au millimètre près.

Exercice 46 :

Dans BAH rectangle en H :

\(AB^2=BH^2+HA^2\)

\(11{,}5^2=6{,}9^2+HA^2\)

\(HA^2=11{,}5^2-6{,}9^2\)

\(HA^2=132{,}25-47{,}61\)

\(HA^2=84{,}64\)

\(HA=\sqrt{84{,}64}=9{,}2\)

AH = 9,2 cm (valeur exacte), soit 9,200 cm au millième.

Dans AHC rectangle en H :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(AC^2=9{,}2^2+15^2\)

\(AC^2=84{,}64+225\)

\(AC^2=309{,}64\)

\(AC=\sqrt{309{,}64}\approx 17{,}597\)

AC = \(\sqrt{309{,}64}\) cm (valeur exacte), soit environ 17,597 cm au millième.

Exercice 47 (Pythagore 4e corrigé)

1) Dans le triangle ACH rectangle en H

d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(AC^2=9^2+12^2\)

\(AC^2=81+144\)

\(AC^2=225\)

\(AC=\sqrt{225}\)

\({\color{DarkBlue} AC=15\, cm}\)

Dans le triangle AHB rectangle en H

d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(13^2=12^2+HB^2\)

\(169=144+HB^2\)

\(HB^2=169-144\)

\(HB^2=25\)

\(HB=\sqrt{25}\)

\({\color{DarkRed} HB=5\,cm}\)

2) \(A=\frac{(9+5)\times 12}{2}\)

\(A=\frac{14\times 12}{2}\)

\({\color{DarkRed} A=84\,cm^2}\)

\(P=13+9+5+15=42\,cm\)

Exercice 48 :

– ABC est un triangle isocèle en A.
– D est le symétrique de B par rapport à A.

Démontrer que le triangle BCD est un triangle rectangle.

D est le symétrique de B par rapport à A, la symétrie conserve les longueurs des segments donc BA = AD.

Nous avons BA=AC=AD donc les points B,C et D sont situés sur le même cercle de centre A

et de rayon AB .

Notons ce cercle \(\zeta\) .

On sait que :

[BD] est un diamètre du cercle \(\zeta\) et BDC est inscrit dans ce cercle \(\zeta\) .

Propriété :

Un triangle inscrit dans un cercle ayant un de ses côté comme diamètre

est un triangle rectangle .

Conclusion :

Le triangle BCD est un triangle rectangle en C .

Le théorème de Pythagore en 4ème est à comprendre pour une bonne pratique. De plus, ce théorème de Pythagore reviendra souvent tout au long de l’année scolaire en 4ème .

Exercice 49 (Pythagore 4e corrigé)

1) Dans chacun des cas suivants, calculer, si possible, la longueur BC.

Toutes les longueurs sont données en centimètres.

Dans les cas (1) et (2), le triangle ABC est rectangle (en A dans le cas (1), en B dans le cas (2)) donc, d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons les égalités suivantes :

Cas (1) :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=15^2+8^2=225+64=289\)

donc \(BC=\sqrt{289}=17\).

Cas (2) : l’hypoténuse est [AC].

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(45^2=27^2+BC^2\)

\(2\,025=729+BC^2\)

\(BC^2=2\,025-729=1\,296\)

donc \(BC=\sqrt{1\,296}=36\).

Cas (3) : le triangle n’est pas rectangle donc on ne peut pas appliquer le théorème

de Pythagore et nous ne disposons pas suffisamment de données pour résoudre ce problème.

2) RST est un triangle rectangle en R tel que RS = 2 cm et RT = 1 cm. Calculer ST.

Le résultat en centimètres est-il un nombre entier ? Sinon, trouver un arrondi de ST au dixième de centimètre près.

Le triangle RST est rectangle en R donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(ST^2=SR^2+RT^2\)

\(ST^2=2^2+1^2=5\)

donc \(ST=\sqrt{5}\) cm.

Ce n’est pas un nombre entier, car aucun nombre entier n’a pour carré 5 (\(2^2=4\) et \(3^2=9\)).

Arrondi au dixième : ST ≈ 2,2 cm.

Exercice 50 :

Qui a raison ?

C’est le personnage qui répond « Faux ! » qui a raison.

L’égalité \(AB^2+AC^2=BC^2\) n’est vraie que si [BC] est l’hypoténuse, c’est-à-dire si le triangle ABC est rectangle en A. Si le triangle est rectangle en B, on a \(BA^2+BC^2=AC^2\) ; s’il est rectangle en C, on a \(CA^2+CB^2=AB^2\).

L’affirmation est donc fausse : l’égalité dépend du sommet de l’angle droit.

Exercice 51 : La surprise finale (Pythagore 4e corrigé)

Le plafond est-il assez haut pour que Monsieur Bricoltou mette en place son meuble ?

La longueur la plus élevée est la diagonale du meuble.

Le meuble possède des angles droits donc on peut appliquer la partie directe du théorème

de Pythagore.

45 cm = 0,45 m.

La diagonale mesure \(\sqrt{2{,}1^2+0{,}45^2}=\sqrt{4{,}6125}\approx 2{,}15\) m, ce qui est plus que la hauteur du plafond (2,12 m) : en redressant le meuble, son coin touchera le plafond.

Conclusion : le plafond n’est pas assez haut pour que Monsieur Bricoltou mette en place son meuble.

Exercice 52 :

Une chèvre C est attachée à un piquet P planté au coin d’un pré carré de 15 m de côté.

Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré?

La longueur la plus longue est celle de la diagonale.

Un carré possède des angles droits donc on peut appliquer la partie directe du théorème de Pythagore.

La longueur de la diagonale vaut \(\sqrt{15^2+15^2}=\sqrt{225+225}=\sqrt{450}\approx 21{,}2\) m.

La corde doit mesurer environ 21,2 m.

Exercice 53 : le parallélépipède rectangle.

Combien mesure à 0,01 près, la diagonale du parallélépipède rectangle?

Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(AC^2=12^2+5^2=169\)

\(AC=\sqrt{169}=13\)

Dans le triangle ACD, rectangle en C, d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

\(AD^2=DC^2+CA^2\)

\(AD^2=13^2+7^2=218\)

donc \(AD=\sqrt{218}\approx 14{,}76\)

La diagonale mesure environ 14,76 à 0,01 près.

Exercice 54 :

Monsieur Crésus possède un terrain VAGUE qu’il veut clôturer.

Calculer le périmètre du terrain VAGUE.

\(VA=150-70=80\,m\)

\(EU=200-30-60=110\,m\)

Il nous reste à calculer les longueurs VE et UG.

Dans le triangle VHE rectangle en H , d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

\(VE^2=VH^2+HE^2\)

\(VE^2=70^2+30^2=5\,800\) donc \(VE=\sqrt{5800}\simeq 76{,}16\,m\).

Dans le triangle UKG rectangle en K, d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

\(UG^2=UK^2+KG^2\)

\(UG^2=60^2+150^2=26\,100\)

donc \(UG=\sqrt{26\,100}\simeq 161{,}55\,m\)

Périmètre du terrain VAGUE :

\(P_{vague}=AG+GU+UE+EV+VA\)

\(P_{vague}\simeq 200+161{,}55+110+76{,}16+80\simeq 627{,}71\,m\)

Exercice 55 :

Quelle distance sépare les deux satellites E et S, sachant que l’angle \(\widehat{TES}\) est droit et qu’un signal radio met \(\frac{1}{60}\) de seconde de S à T et \(\frac{1}{100}\) de seconde de E à T ?

(Vitesse du signal radio : 300 000 km/s.)

Nous sommes dans une situation de proportionnalité :

Le signal parcourt 300 000 km en 1 seconde, donc \(ST=300\,000\times \dfrac{1}{60}=5\,000\) km.

De même, \(ET=300\,000\times \dfrac{1}{100}=3\,000\) km.

Le triangle TES est rectangle en E donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

\(TS^2=TE^2+ES^2\)

\(5000^2=3000^2+ES^2\)

\(ES^2=5000^2-3000^2=16\,000\,000\)

\(ES=\sqrt{16000000}=4\,000\,km\)

Exercice 56 :

Quelle est la largeur de l’autoroute ?

(Non, ce n’est pas 51 mètres !)

Le triangle situé en bas à droite est un triangle rectangle donc nous pouvons appliquer

la partie directe du théorème de Pythagore :

La longueur de l’autoroute vaut :

\(\sqrt{36^2+77^2}=\sqrt{7225}=85\,m\)

200-113-36= 51 m.

L’aire du trapèze est : \(A_{trapeze}=\frac{(B+b)\times \,h}{2}=\frac{((200-51)+113)\times \,77}{2}=10\,087\,m^2\)

L’aire du triangle rectangle est : \(A_{triangle-rectangle}=\frac{36\times \,77}{2}=1386\,m^2\)

L’aire de l’autoroute correspond à l’aire du grand rectangle privée de l’aire du trapèze et

du triangle rectangle.

\(A_{autoroute}=200\times \,77-10087-1386=3927\,m^2\)

Or, l’autoroute est un parallélogramme dont l’aire est base x largeur de l’autoroute.

Donc \(85\times \,L=3927\) ainsi \(L=\frac{3927}{85}=46{,}2\,m\).

Conclusion : la largeur de l’autoroute est de 46,2 mètres.

Exercice 57 :

Si (AH) était une hauteur du triangle ABC, la droite (AH) serait perpendiculaire à (BC) et le triangle AHC serait rectangle en H. Vérifions-le.

Dans le triangle AHC, le plus grand côté est [AC].

\(AC^2=6^2=36\)

\(AH^2+HC^2=5^2+3^2=25+9=34\)

Donc \(AC^2\neq AH^2+HC^2\). D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle AHC n’est pas rectangle en H : les droites (AH) et (BC) ne sont pas perpendiculaires.

La droite (AH) n’est pas une hauteur du triangle ABC.

Exercice 58 :

Le quadrilatère ABHD a quatre angles droits : c’est un rectangle. Donc \(BH=AD=20\) m et \(DH=AB=15\) m, puis \(HC=DC-DH=25-15=10\) m.

Le triangle BHC est rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore :

\(BC^2=BH^2+HC^2\)

\(BC^2=20^2+10^2=400+100=500\)

\(BC=\sqrt{500}\approx 22{,}36\) m

Périmètre du jardin : \(AB+BC+CD+DA\approx 15+22{,}36+25+20=82{,}36\) m.

82,36 m est plus que 80 m : Monsieur Maud n’aura pas assez de grillage, il lui manque environ 2,4 m.

Exercice 59 :

Largeur de la façade. Le toit est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 12 m et 5 m ; sa base est l’hypoténuse, qui est aussi la largeur de la façade. D’après le théorème de Pythagore :

\(\ell^2=12^2+5^2=144+25=169\), donc \(\ell=\sqrt{169}=13\) m.

Aire de la façade.

• partie rectangulaire : \(13\times 8=104\) m² ;
• triangle du toit : \(\dfrac{12\times 5}{2}=30\) m² ;
• trois fenêtres : \(3\times 2\times 1=6\) m² ;
• porte : \(2\times 2{,}4=4{,}8\) m².

Surface à peindre : \(104+30-6-4{,}8=123{,}2\) m².

Avec deux couches : \(2\times 123{,}2=246{,}4\) m².

Nombre de bidons. \(246{,}4: 50=4{,}928\) : 4 bidons ne suffisent pas (200 m² seulement), il en faut 5.

Coût. \(5\times 75=375\) €.

Il faut 5 bidons de peinture, pour un coût de 375 €.

Exercice 60 :

Longueur de AC. Le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2=80^2+60^2=6\,400+3\,600=10\,000\), donc \(AC=\sqrt{10\,000}=100\) m.

Longueur de DC. Le triangle ADC est rectangle en D, d’hypoténuse [AC] :

\(AC^2=AD^2+DC^2\)

\(10\,000=28^2+DC^2\)

\(DC^2=10\,000-784=9\,216\), donc \(DC=\sqrt{9\,216}=96\) m.

Longueur d’un tour. \(AB+BC+CD+DA=80+60+96+28=264\) m.

Nombre de tours. 1,4 km = 1 400 m et \(1\,400=5\times 264+80\). Après 5 tours complets (1 320 m), les élèves sont revenus au point A ; il leur reste 80 m à parcourir, ce qui correspond exactement à la longueur AB.

Les élèves doivent arriver au point B.

Exercice 61 :

Le triangle MAT est rectangle en A, son hypoténuse est [TM]. D’après le théorème de Pythagore :

\(TM^2=AM^2+AT^2\)

\(9{,}76^2=3{,}81^2+AT^2\)

\(95{,}257\,6=14{,}516\,1+AT^2\)

\(AT^2=95{,}257\,6-14{,}516\,1=80{,}741\,5\)

\(AT=\sqrt{80{,}741\,5}\approx 8{,}985\)

AT mesure environ 8,99 m (valeur approchée au centième).

Exercice 62 :

On repère l’angle droit, puis l’hypoténuse, qui est le côté opposé à l’angle droit.

a. Le triangle CSE est rectangle en S, son hypoténuse est [CE]. D’après le théorème de Pythagore : \(CE^2=CS^2+SE^2\).

b. Le triangle ABC est rectangle en A, son hypoténuse est [BC]. D’après le théorème de Pythagore : \(BC^2=AB^2+AC^2\).

Exercice 63 :

Le triangle ABC est rectangle en B, son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(AC^2=50^2+20^2=2\,500+400=2\,900\)

\(AC=\sqrt{2\,900}\approx 53{,}85\)

Le tube inférieur [AC] mesure environ 53,9 cm (valeur approchée au dixième).

Exercice 64 :

D’après la carte, MA = 61 km et LA = 58 km. Ensuite, le triangle MLA est rectangle en L, son hypoténuse est [MA]. D’après le théorème de Pythagore :

\(MA^2=LM^2+LA^2\)

\(61^2=LM^2+58^2\)

\(3\,721=LM^2+3\,364\)

\(LM^2=3\,721-3\,364=357\)

\(LM=\sqrt{357}\approx 18{,}89\)

À vol d’oiseau, Le Marigot et Le Morne-Rouge sont distants d’environ 18,9 km.

Pythagore 4e corrigé : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur Pythagore 4e corrigé vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Théorème de Pythagore sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec les équations : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF.