Fonction exponentielle : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

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Primitive d’une fonction composée. Exercices corrigés de mathématiques en Terminale S sur les fonction exponentielles.

 Exercice 1 :

Soit la fonction f définie par f(x) = (x - 3)^{\frac{2}{3}}

1. Donner le domaine de définition de la fonction f.

nous avons f(x)=e^{\frac{2}{3}ln(x-3)}

donc pour que f soit définie, il faut que x-3>0 soit x>3.

ainsi :

{\color{DarkRed} D_f=]3;+\infty[}

2. Donner une primitive de la fonction.

les  primitives de f sont de la forme :

F(x)=\frac{3}{5}(x-3)^{\frac{2}{3}+1}+k=\frac{3}{5}(x-3)^{\frac{5}{3} }+k\,,\,k\in\mathbb{R}

Exercice 2 :

soit la fonction f tel que :  f(x)=x^x +1

1. Indiquer le domaine de définition de f et transformer l’écriture du réel f(x).

f(x)=e^{xlnx}+1

donc D_f=]0;+\infty[

2. Donner un prolongement par continuité de f au point 0.

f(0)=2

3. Etudier la dérivabilité de f au point 0.

4. Calculer la dérivée  de f et étudier son signe. Etablir le tableau de variations.

5. Décrire comment se présente la tangente en ce point.

6. Construire la courbe  dans un repère approprié.

Exercice 3 :

1. Démontrer que pour tout réel x, e^{-x}=\frac{1}{e^x}.

d’après la formule ci-dessus :

e^{x+(-x))}=e^xe^{-x}

donc

e^{0}=e^xe^{-x}

1=e^xe^{-x}

\frac{1}{e^x}=e^{-x}  car e^x>0

2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,

(e^{x})^n=e^{nx}

Exercice 4:

Résoudre les inéquations suivantes :

1. x^{\pi}<\frac{1}{2}.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}.

ln(x^{\pi})<ln(\frac{1}{2})

{\pi}lnx^<-ln(2)

lnx^<\frac{-ln(2)}{\pi}

e^{lnx}<e^(\frac{-ln(2)}{\pi})

{\color{DarkRed} x<e^(\frac{-ln(2)}{\pi})}

2. 3^x\geq\, 4.

ln(3^x)\geq\, ln4

ln(3)x\geq\, ln4

x\geq\, \frac{ln4}{ln3}  ( car ln 3 > 0)

Exercice 5 :

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

1. f(x)=sinx\times   e^{cosx} .

une primitive est de la forme F(x)=-e^{cosx}+k\,(k\in\mathbb{R}) .

2. f(x)=x^{-2}e^{\frac{1}{x}}\,sur\,]-\infty;0[.

une primitive est de la forme F(x)=-e^{\frac{1}{x}}+k\,(k\in\mathbb{R}).

Exercice 6 :

Soit f(x)=(x-1)e^x  pour x ∈ R.

1. Déterminez les limites de f aux bornes du domaine de définition.

\lim_{x \mapsto   -\infty }f(x)=0  et  \lim_{x \mapsto   +\infty }f(x)=+\infty

2. Etudiez les variations de f.

f'(x)=1\times   e^x+(x-1)e^x=xe^x

f'\geq\, 0  sur [0;+\infty[  donc f est croissante sur [0;+\infty[ .

3. Construisez la courbe C représentant f.

Exercice 7 :

Résoudre les équations et inéquations proposées.

1.e^{2x^2+3}=e^{7x}\\ln(e^{2x^2+3})=ln(e^{7x})\\2x^2+3=7x

2x^2-7x+3=0

Calculons la valeur du discriminant :

\Delta =(-7)^2-4\times   2\times   3=49-24=25>0

Le discriminant est strictement positif, il existe donc deux racines réelles distinctes.

x_1=\frac{7+5}{4}\,et\,x_2=\frac{7-5}{4}

x_1=3\,et\,x_2=\frac{1}{2}

Exercice 8 :

1.a) Pour calculer la dérivée de C_u(x), on utilise la formule pour la dérivée d’un quotient :

C^{'}_{u(x)} = \frac{d}{dx}[x-10]+\frac{d}{dx}(\frac{900}{x}) = 1 - \frac{900}{x^2}

En simplifiant, on obtient :

C^{'}_{u(x)} = \frac{x^2-900}{x^2} = \frac{(x-30)(x+30)}{x^2}

b) Le dénominateur est toujours positif car x est dans l’intervalle [10, 100].

Le numérateur est positif pour x > 30 et négatif pour x < 30.

Donc, le signe de C^{'}_{u(x)} dépend du signe de (x-30)(x+30). On peut établir le tableau de signes suivant :

x | 10 | 30 | 100
—-|—–|—–|—–
C^{'}_{u(x)}| – | 0 | +

En utilisant ce tableau, on peut établir le tableau de variation de C_{u(x)} :

x | 10 | 30 | 100
—-|—–|—–|—–
C_{u(x)} | + | mín | +

c) Le coût unitaire est le plus bas lorsque C_{u(x)} est minimal.

Comme la fonction C_{u(x)} est décroissante sur [10,30] et croissante sur [30,100], son minimum est atteint en x = 30. Le coût unitaire minimal est donc C_{u(30)} = 20.

Le bénéfice de l’entreprise par objet vendu est la différence entre le prix de vente et le coût unitaire, soit :

B_0 = 100 - 20 = 80

2. Le bénéfice global de l’entreprise est donné par la formule B(x) = x(100-C_u(x)), car l’entreprise fabrique et vend x objets par jour.

En remplaçant C_u(x) par son expression en fonction de x, on obtient :

B(x) = x(100 - (x-10+\frac{900}{x})) = -x^2+110x - 900

3. Pour trouver le maximum de la fonction B sur [10,100], on peut calculer sa dérivée :

B^{'}(x) = -2x + 110

La dérivée est nulle en x = 55, ce qui est bien dans l’intervalle [10,100]. Pour déterminer que cette valeur est un maximum, on peut regarder le signe de la dérivée dans les intervalles [10,55] et [55,100]. On peut établir le tableau de signes suivant :

x | 10 | 55 | 100
—-|—–|—–|—–
B^'(x) | – | + | –

Donc, la fonction B est décroissante sur [10,55] et croissante sur [55,100], avec un maximum en x = 55. Le bénéfice maximal est donc B(55) = -55^2+110 \times   55-900 = 3025.

Exercice 9 :

La courbe représente une fonction f définie par f(x)= (ax+b)exp(-x).

Elle passe par les points de coordonnées (o;2) et (-2;0).

1) Calculer a et b .

f(0)=2\,et\,f(-2)=0

be^0=2\,et\,(-2a+b)e^{2}=0

b=2\,et\,(-2a+2)e^{2}=0

b=2\,et\,-2a+2=0

b=2\,et\,a=1

Conclusion : f(x)=(x+2)e^{-x}

2) Déterminer les coordonnées du maximum après avoir étudié les variations de f.

f est dérivable sur  \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle .

f'(x)=e^{-x}+(x+2)\times   (-e^{-x})

f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}-2e^{-x}

f'(x)=-xe^{-x}-e^{-x}

f'(x)=-(x+1)e^{-x}

Le signe de f ‘ est celui de -x-1 puisque l’exponentielle est strictement positive sur R .

-x-1\geq\, 0

x\leq\, -1

Conclusion  : f est croissante sur ]-\infty;-1] .

Exercice 10 :

Simplifier au maximum :

A=ln(\sqrt{80})-\frac{1}{2}ln5

A=ln(80^{\frac{1}{2}})-\frac{1}{2}ln5

A=\frac{1}{2}ln(80)-\frac{1}{2}ln5

A=\frac{1}{2}ln(5\times   16)-\frac{1}{2}ln5

A=\frac{1}{2}ln5+\frac{1}{2}ln16-\frac{1}{2}ln5

A=\frac{1}{2}ln16

A=\frac{1}{2}ln2^4

A=\frac{4}{2}ln2

{\color{DarkRed} A=2ln2}

B=ln(\sqrt{6}-1)+ln(\sqrt{6}+1)-ln(\sqrt{100})-ln\frac{1}{8}

B=ln[(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)]-ln(100^{\frac{^1}{2}})-(-ln8) )

B=ln[(\sqrt{6})^2-1^2]-\frac{1}{2}ln(100)-(-ln8 )

B=ln5-\frac{1}{2}ln(10^2)+ln8

B=ln5-\frac{2}{2}ln(10)+ln8

B=ln5-ln(10)+ln8

B=ln5-ln(5\times   2)+ln2^3

B=ln5-ln5-ln 2+3ln2

{\color{DarkRed} B=2ln2}

Voir Corrigés 11 à 16...
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