Angles et construction : corrigé des exercices maths en 6ème en PDF.

Exercice 1 (angles 6e corrigé)

D’après le codage de la figure, les angles égaux sont :

\(\widehat{ABF}=\widehat{BFE}=\widehat{BCE}=\widehat{CED}\)

\(\widehat{FBC}=\widehat{CEF}\)

\(\widehat{AFB}=\widehat{ECD}\)

Exercice 2:

Construction du trapèze :

1. Tracer [AD] de 6,5 cm.
2. Tracer un arc de centre A, de rayon 3,5 cm.
3. Tracer un arc de centre D, de rayon 5,6 cm.
4. Les deux arcs se coupent en B.
5. Tracer le segment [BC] de 4 cm, parallèle à (AD).

Exercice 3 (angles 6e corrigé)

Voici la figure de la grande ourse que vous devez obtenir :

Exercice 4 :

1. On place le coin de l’équerre sur le sommet de chaque angle : un angle qui coïncide avec l’angle droit de l’équerre est droit, un angle plus petit est aigu, un angle plus grand (mais plus petit qu’un demi-tour) est obtus.

• Angle droit : \(\widehat{GDH}\) (en marron).
• Angles aigus : \(\widehat{OAP}\), \(\widehat{SCT}\) et \(\widehat{UEV}\) (en orange, vert et jaune).
• Angles obtus : \(\widehat{QBR}\) et \(\widehat{MFN}\) (en bleu et rose).
• Angle plat : aucun sur cette figure (aucun angle n’a ses deux côtés dans le prolongement l’un de l’autre).

2. On décalque un angle, puis on fait glisser le calque sur les autres angles pour voir s’ils se recouvrent exactement.

1. Les trois angles aigus \(\widehat{OAP}\), \(\widehat{SCT}\) et \(\widehat{UEV}\) ont la même ouverture (environ 38°) : le calque de l’un recouvre les deux autres. L’affirmation est vraie.
2. Les deux angles obtus n’ont pas la même ouverture : \(\widehat{QBR}\) mesure environ 120° et \(\widehat{MFN}\) environ 114°. Le calque de l’un ne recouvre pas exactement l’autre. L’affirmation est fausse.
3. En reportant trois fois de suite le calque de \(\widehat{OAP}\) côte à côte, on retrouve exactement l’angle \(\widehat{MFN}\) : \(3 \times 38 = 114\). L’affirmation est vraie.

Exercice 5 (angles 6e corrigé)

1. a. Le disque correspond à un tour complet, soit 360°. Il est partagé en 12 angles superposables, donc chaque petit angle mesure :

\(360 : 12 = 30\)

L’angle vert est formé d’un seul de ces angles : il mesure 30°.

L’angle rose est formé de deux de ces angles : \(2 \times 30 = 60\). Il mesure 60°.

b. L’angle jaune mesure la moitié de l’angle vert : \(30 : 2 = 15\). Il mesure 15°.

2. a. On pose le centre O de la photocopie sur le sommet de l’angle et un rayon du disque sur un côté, puis on compte les secteurs jusqu’à l’autre côté.

• L’angle \(\widehat{LJK}\) recouvre un secteur et demi : \(30 + 15 = 45\), donc \(\widehat{LJK}=45^{\circ}\).
• L’angle \(\widehat{HGI}\) recouvre quatre secteurs : \(4 \times 30 = 120\), donc \(\widehat{HGI}=120^{\circ}\).

b. On remarque que \(105 = 3 \times 30 + 15\). Également, on trace une demi-droite [NM), on place le centre O du disque en N et un rayon le long de [NM), on compte trois secteurs puis un demi-secteur (15°), et on trace la demi-droite [NO) qui passe par ce repère. On obtient \(\widehat{MNO}=105^{\circ}\).

Exercice 6 :

On fabrique un gabarit de l’angle \(\widehat{HEG}\) (on le décalque et on le découpe), puis on le pose sur les autres angles en plaçant son sommet sur le sommet de l’angle et un côté sur un côté.

1. Le gabarit de \(\widehat{HEG}\) recouvre exactement l’angle \(\widehat{GFI}\) : \(\widehat{HEG}=\widehat{GFI}\) (environ 62° chacun).
2. Posé sur \(\widehat{GEF}\), le gabarit de \(\widehat{HEG}\) dépasse : l’angle \(\widehat{GEF}\) est moins ouvert. Donc \(\widehat{HEG}\) est plus grand que \(\widehat{GEF}\) (environ 62° contre 52°).

Exercice 7 (angles 6e corrigé)

L’angle \(\widehat{BCD}\) (en vert) a pour sommet C et l’angle \(\widehat{EAB}\) (en rose) a pour sommet A. On décalque l’angle \(\widehat{BCD}\) puis on pose le calque sur l’angle \(\widehat{EAB}\) : les deux angles se recouvrent exactement. Au rapporteur, on trouve environ 135° pour chacun.

Ilyes a raison : les angles \(\widehat{BCD}\) et \(\widehat{EAB}\) sont superposables.

Exercice 8 :

L’angle jaune de la pièce 1 est un angle aigu assez fermé (environ 47°). La pièce 2 est un triangle HJL qui a trois angles :

• l’angle de sommet J est presque droit (environ 90°) : il est trop ouvert ;
• l’angle de sommet L est plus fermé (environ 42°) : il est trop petit ;
• l’angle de sommet H mesure environ 47°, comme l’angle jaune.

C’est donc l’angle \(\widehat{JHL}\), de sommet H, qui peut se superposer à l’angle jaune de la pièce 1.

Exercice 9 (angles 6e corrigé)

Méthode pour construire un angle de mesure donnée, par exemple \(\widehat{FED}=128^{\circ}\) :

1. tracer une demi-droite [ED) ;
2. placer le centre du rapporteur sur le sommet E et le zéro d’une graduation sur la demi-droite [ED) ;
3. en lisant sur cette même graduation (celle qui part de 0 sur [ED)), placer un repère F en face de 128 ;
4. retirer le rapporteur et tracer la demi-droite [EF), puis coder l’angle.

On procède de la même façon pour les autres angles :

• a. \(\widehat{FED}=128^{\circ}\) : angle obtus (plus grand que 90°) ;
• b. \(\widehat{GHI}=83^{\circ}\) : angle aigu, un peu plus petit qu’un angle droit ;
• c. \(\widehat{JKL}=37^{\circ}\) : angle aigu ;
• d. \(\widehat{MNO}=174^{\circ}\) : angle obtus, presque plat.

Pour vérifier, on regarde si la forme de l’angle obtenu est cohérente avec la mesure : un angle de 128° ou de 174° doit être plus ouvert que l’angle droit de l’équerre, un angle de 37° ou de 83° moins ouvert. L’erreur classique est de lire sur la mauvaise graduation (on obtiendrait 52° au lieu de 128°, ou 6° au lieu de 174°).

Exercice 10 :

a. On trace une demi-droite [HG), on place le centre du rapporteur en H et le zéro sur [HG), puis on marque le point I en face de 51 et on trace [HI). On obtient \(\widehat{GHI}=51^{\circ}\).

b. Le double de 51° est \(2 \times 51 = 102\). On construit de la même manière un angle \(\widehat{STU}\) de 102°. C’est un angle obtus.

c. L’affirmation d’Arthur est fausse. Il suffit d’un contre-exemple : un angle de 20° a pour double un angle de \(2 \times 20 = 40\), soit 40°, qui est un angle aigu et non obtus. Le double d’un angle n’est obtus que si l’angle de départ mesure plus de 45° (et moins de 90°) ; c’est le cas pour 51°, mais pas en général.

Exercice 11 (angles 6e corrigé)

a. L’angle vert est plus ouvert qu’un angle droit mais bien moins qu’un angle plat : à vue d’œil, on peut estimer sa mesure à environ 120° (toute estimation raisonnable entre 110° et 130° convient).

b. On place le centre du rapporteur sur le sommet et le zéro d’une graduation sur l’un des côtés, puis on lit sur cette graduation en face de l’autre côté. On trouve environ 120°. C’est un angle obtus.

c. On trace une demi-droite [AB), on place le centre du rapporteur en A et le zéro sur [AB), on marque un point C en face de la mesure trouvée (120°) et on trace [AC). On obtient un angle \(\widehat{BAC}\) de même mesure que l’angle vert, ce qu’on peut vérifier en superposant les deux angles avec un calque.

Exercice 12 :

1. a. Les côtés de l’angle sont les demi-droites [EF) et [EG).

b. Son sommet est le point E, origine commune des deux côtés.

2. On nomme l’angle avec trois lettres, la lettre du sommet étant au milieu : \(\widehat{FEG}\) (on peut aussi écrire \(\widehat{GEF}\)).

Exercice 13 (angles 6e corrigé)

Sur la figure, les points T, B et U sont alignés, ainsi que les points A, B et C, et les points T, A et S. Un angle peut donc avoir plusieurs noms.

1. L’angle bleu a pour sommet U et pour côtés [UB) et [UC) : c’est \(\widehat{BUC}\), qu’on peut aussi nommer \(\widehat{TUC}\).
2. L’angle orange a pour sommet U et pour côtés [US) et [UB) : c’est \(\widehat{SUB}\), qu’on peut aussi nommer \(\widehat{SUT}\).
3. L’angle vert a pour sommet B et pour côtés [BA) et [BU) : c’est \(\widehat{ABU}\), qu’on peut aussi nommer \(\widehat{UBA}\).

Exercice 14 :

On repère d’abord si l’angle est plus petit ou plus grand qu’un angle droit, puis on lit la graduation qui part de 0 sur le côté horizontal de l’angle marqué.

1. L’angle marqué est à droite ; la graduation qui part de 0 à droite indique 40. L’angle est aigu et mesure 40°.
2. L’angle marqué part du côté droit et dépasse la verticale ; la graduation qui part de 0 à droite indique 120. L’angle est obtus et mesure 120°.
3. L’angle marqué est à gauche ; la graduation qui part de 0 à gauche indique 70. L’angle est aigu et mesure 70°.
4. L’angle marqué part du côté gauche et dépasse la verticale ; la graduation qui part de 0 à gauche indique 150. L’angle est obtus et mesure 150°.

Exercice 15 (angles 6e corrigé)

Le côté [Ox) passe par le 0 de la graduation extérieure (noire) : c’est donc sur cette graduation qu’il faut lire. En face du côté [Oy), la graduation noire indique 115 (la graduation rouge, qui part de l’autre côté, indique 65).

De plus, l’angle \(\widehat{xOy}\) est obtus et \(180 – 65 = 115\).

L’affirmation de Jade est fausse : l’angle \(\widehat{xOy}\) mesure 115° et non 125°.

Exercice 16 :

1. Pour coder un angle, on trace un petit arc de cercle centré sur son sommet, entre ses deux côtés.

1. L’angle de côtés [DB) et [DC) a pour sommet D : c’est \(\widehat{BDC}\), on code l’arc en D entre les segments [DB] et [DC].
2. L’angle de côtés [FD) et [FE) a pour sommet F : c’est \(\widehat{DFE}\), on code l’arc en F entre [FD] et [FE].
3. \(\widehat{EAD}\) : arc en A entre [AE] et [AD] (c’est l’angle au sommet A du grand triangle).
4. \(\widehat{ABD}\) : arc en B entre [BA] et [BD].
5. \(\widehat{EFB}\) : arc en F entre [FE] et [FB].

2. Comme A, E, B sont alignés et A, D, C aussi, et que F est sur [EC] et sur [BD] :

1. \(\widehat{AEC}\) : le côté [EC) passe par F, donc \(\widehat{AEC}=\widehat{AEF}\).
2. \(\widehat{ABD}\) : le côté [BA) passe par E et le côté [BD) passe par F, donc \(\widehat{ABD}=\widehat{EBF}\) (ou \(\widehat{EBD}\), ou \(\widehat{ABF}\)).
3. \(\widehat{DCF}\) : le côté [CD) passe par A et le côté [CF) passe par E, donc \(\widehat{DCF}=\widehat{ACE}\) (ou \(\widehat{ACF}\), ou \(\widehat{DCE}\)).

Exercice 17 (angles 6e corrigé)

a. Des angles portant le même codage sont superposables :

• un arc avec deux petits traits : \(\widehat{EBF}=\widehat{EDF}\) ;
• un double arc : \(\widehat{FBA}=\widehat{FDC}\) ;
• un arc avec un petit trait : \(\widehat{ACB}=\widehat{BCD}\) ;
• le codage de l’angle droit : \(\widehat{BAC}=\widehat{BFD}=\widehat{DFC}=90^{\circ}\).

b. Un angle obtus de la figure est par exemple \(\widehat{BED}\) (environ 139°). L’angle \(\widehat{ACD}\) est aussi obtus.

c. Les angles \(\widehat{BFD}\) et \(\widehat{DFC}\) sont droits et placés côte à côte, donc :

\(\widehat{BFC}=\widehat{BFD}+\widehat{DFC}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\)

L’angle \(\widehat{BFC}\) est un angle plat : ses côtés [FB) et [FC) sont dans le prolongement l’un de l’autre. Les points B, F et C sont alignés.

Exercice 18 :

Pour chaque joueur, l’angle sous lequel il voit la cage est l’angle dont le sommet est le joueur et dont les côtés passent par les deux poteaux (les deux traits pointillés rouges). On fabrique un gabarit de l’angle d’un joueur et on le compare aux autres.

• Zlatan, très décalé sur le côté, voit la cage sous l’angle le plus fermé (environ 15°).
• Cristiano voit la cage sous un angle d’environ 24°.
• Lucas, pourtant face au poteau droit, voit la cage sous un angle d’environ 34°.
• Lionel, plus centré, voit la cage sous un angle d’environ 37°.

Le gabarit de l’angle de Lionel recouvre tous les autres : c’est Lionel qui voit la cage de but sous l’angle le plus grand.

Exercice 19 (angles 6e corrigé)

1°) Trace un angle \(\widehat{xAy}\) mesurant 32° et trace sa bissectrice en utilisant le rapporteur.

2°) Trace un angle \(\widehat{zBt}\) mesurant 107° et construis sa bissectrice à la règle et au compas.

Exercice 20 :

Effectue les constructions proposées :

1. Le triangle ABC tel que AC = 5 cm ; AB = 6 cm et \(\widehat{BAC}\)= 55°.

2. Le triangle DEF tel que DF = 7 cm ; \(\widehat{EDF}\)= 52° et \(\widehat{DFE}\)= 48°.

3. Le cerf-volant PQRS tel que PQ = 5 cm ; QR = 8 cm et \(\widehat{SPQ}\)= 40°.

4. Le rectangle IJKL tel que IJ = 7 cm et \(\widehat{JIK}\) = 30°.

Exercice 21 :

La bissectrice d’un angle le partage en deux angles de même mesure : chacun mesure la moitié de l’angle de départ.

a. [Av) est la bissectrice de \(\widehat{BAC}\), donc :

\(\widehat{BAv}=\widehat{BAC} : 2=158 : 2=79\)

\(\widehat{BAv}=79^{\circ}\).

b. Les angles \(\widehat{BAv}\) et \(\widehat{CAv}\) ont la même mesure, donc l’angle \(\widehat{BAC}\) mesure le double de \(\widehat{CAv}\) :

\(\widehat{BAC}=2 \times \widehat{CAv}=2 \times 89=178\)

\(\widehat{BAC}=178^{\circ}\) (c’est un angle obtus, presque plat).

Exercice 22 :

a. On trace une demi-droite [BA), on place le centre du rapporteur en B et le zéro sur [BA), puis on marque un point C en face de 140 sur cette même graduation et on trace [BC). On obtient \(\widehat{ABC}=140^{\circ}\), un angle obtus.

b. La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux, chacun de mesure :

\(140 : 2 = 70\)

Au rapporteur : le centre en B et le zéro sur [BA), on marque un point D en face de 70 et on trace la demi-droite [BD). On peut aussi la construire au compas : un arc de centre B coupe [BA) et [BC) en deux points ; deux arcs de même rayon centrés sur ces points se coupent en D.

On obtient \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=70^{\circ}\).

Exercice 23 :

1. On trace une droite et on y place le point O : les demi-droites [Ox) et [Oy) forment l’angle plat \(\widehat{xOy}\) (180°). On trace [Oz) avec \(\widehat{xOz}=60^{\circ}\) au rapporteur, puis les bissectrices [Ou) de \(\widehat{xOz}\) et [Ov) de \(\widehat{zOy}\).

2. a. Au rapporteur, on mesure \(\widehat{uOv}=90^{\circ}\).

b. « Il semble que l’angle \(\widehat{uOv}\) soit un angle droit. »

3. a. [Ou) est la bissectrice de \(\widehat{xOz}\), donc :

\(\widehat{uOz}=\widehat{xOz} : 2=60 : 2=30\)

\(\widehat{uOz}=30^{\circ}\).

b. L’angle \(\widehat{xOy}\) est plat, donc \(\widehat{xOz}+\widehat{zOy}=180^{\circ}\) et :

\(\widehat{zOy}=180-60=120\)

[Ov) est la bissectrice de \(\widehat{zOy}\), donc \(\widehat{zOv}=120 : 2=60\) : \(\widehat{zOv}=60^{\circ}\).

c. La demi-droite [Oz) est entre [Ou) et [Ov), donc :

\(\widehat{uOv}=\widehat{uOz}+\widehat{zOv}=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}\)

Le calcul confirme la conjecture : l’angle \(\widehat{uOv}\) est droit.

Exercice 24 :

Cet exercice reprend l’exercice 21 avec la bissectrice [Ax). La bissectrice partage l’angle \(\widehat{BAC}\) en deux angles de même mesure.

a. \(\widehat{BAx}=\widehat{BAC} : 2=158 : 2=79\), donc \(\widehat{BAx}=79^{\circ}\).

b. \(\widehat{BAC}=2 \times \widehat{CAx}=2 \times 89=178\), donc \(\widehat{BAC}=178^{\circ}\).

Bien travailler avec angles 6e corrigé

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur angles 6e corrigé vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Angle sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec triangles et quadrilatères : corrigé des exercicesde maths en 6ème.