Trigonométrie : corrigé des exercices de maths en 1ère à télécharger en PDF

Exercice 1 (trigonométrie 1ère corrigé)

1. Sur l’intervalle \(]-\pi;\pi]\), on sait que \(\cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et, le cosinus étant pair, \(\cos(-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Sur le cercle trigonométrique, ce sont les deux seuls points d’abscisse \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

\(S=\{-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\}\)

2. On sait que \(\sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Le sinus étant impair, \(\sin(-\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et, comme \(\sin(\pi-x)=\sin x\), le second point d’ordonnée \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) correspond à \(-\pi+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3}\).

\(S=\{-\dfrac{2\pi}{3};-\dfrac{\pi}{3}\}\)

Exercice 2 :

On utilise la formule de duplication \(\cos(2a)=2\cos^2a-1\) avec \(a=\dfrac{\pi}{5}\) :

\(\cos(\dfrac{2\pi}{5})=2(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4})^2-1=2\times \dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{16}-1=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{8}-\dfrac{8}{8}=\dfrac{2\sqrt{5}-2}{8}\)

\(\cos(\dfrac{2\pi}{5})=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)

Ensuite, \(\dfrac{3\pi}{5}=\pi-\dfrac{2\pi}{5}\) et \(\cos(\pi-a)=-\cos a\), donc :

\(\cos(\dfrac{3\pi}{5})=-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\)

Remarque : on peut aussi utiliser \(\cos(x+y)\) avec \(x=\dfrac{\pi}{5}\) et \(y=\dfrac{2\pi}{5}\), mais le calcul est plus long.

Exercice 3 (trigonométrie 1ère corrigé)

1. Pour \(x\in]0;\dfrac{\pi}{2}[\), on a \(\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos x\) et \(\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin x\), avec \(\sin x\neq 0\) et \(\cos x\neq 0\). Donc :

\(\tan(\dfrac{\pi}{2}-x)=\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)}{\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\tan x}\)

2. On applique l’égalité du 1. avec \(x=\dfrac{\pi}{12}\), qui appartient bien à \(]0;\dfrac{\pi}{2}[\). Comme \(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{6\pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}\) :

\(\tan(\dfrac{5\pi}{12})=\dfrac{1}{\tan(\dfrac{\pi}{12})}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\)

Multiplions par la quantité conjuguée et utilisons l’identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :

\(\tan(\dfrac{5\pi}{12})=\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}\)

Conclusion : \(\tan(\dfrac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3}\).

Exercice 4 :

Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) l’équation \(\sin(2x)=\cos(x)\).

Avec la formule de duplication \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\), l’équation devient :

\(2\sin x\cos x-\cos x=0\), soit \(\cos x\,(2\sin x-1)=0\).

C’est une équation produit : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

• \(\cos x=0\) donne, dans \(]-\pi;\pi]\), \(x=-\dfrac{\pi}{2}\) ou \(x=\dfrac{\pi}{2}\) ;
• \(2\sin x-1=0\), soit \(\sin x=\dfrac{1}{2}\), donne \(x=\dfrac{\pi}{6}\) ou \(x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\).

\(S=\{-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{6}\}\)

Exercice 5 (trigonométrie 1ère corrigé)

Résoudre dans \(]-\pi;\pi[\) les équations suivantes.

1. \(2\cos^3x-7\cos^2x+2\cos x+3=0\)

On pose \(X=\cos x\), avec \(-1\leq\, X\leq\, 1\). On doit résoudre \(2X^3-7X^2+2X+3=0\).

\(X=1\) est une racine évidente : \(2-7+2+3=0\). On peut donc factoriser par \(X-1\) : en identifiant les coefficients de \((X-1)(aX^2+bX+c)\), on trouve \(a=2\), \(-c=3\) donc \(c=-3\), puis \(b-a=-7\) donc \(b=-5\) :

\(2X^3-7X^2+2X+3=(X-1)(2X^2-5X-3)\)

Pour \(2X^2-5X-3\) : \(\Delta=(-5)^2-4\times 2\times (-3)=25+24=49=7^2\), d’où \(X_1=\dfrac{5+7}{4}=3\) et \(X_2=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac{1}{2}\).

Ainsi \(\cos x=1\) ou \(\cos x=3\) ou \(\cos x=-\dfrac{1}{2}\). Le cas \(\cos x=3\) est impossible car \(3\gt 1\).

• \(\cos x=1\) donne \(x=0\) ;
• \(\cos x=-\dfrac{1}{2}\) donne \(x=\dfrac{2\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{2\pi}{3}\).

\(S=\{-\dfrac{2\pi}{3};0;\dfrac{2\pi}{3}\}\)

2. \(2\sin^3x+\cos^2x-5\sin x-3=0\)

Comme \(\cos^2x=1-\sin^2x\), l’équation s’écrit \(2\sin^3x-\sin^2x-5\sin x-2=0\). On pose \(X=\sin x\), avec \(-1\leq\, X\leq\, 1\) : \(2X^3-X^2-5X-2=0\).

\(X=-1\) est une racine évidente : \(-2-1+5-2=0\). Par identification :

\(2X^3-X^2-5X-2=(X+1)(2X^2-3X-2)\)

Pour \(2X^2-3X-2\) : \(\Delta=9+16=25\), d’où \(X_1=\dfrac{3+5}{4}=2\) et \(X_2=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}\).

Le cas \(\sin x=2\) est impossible. Il reste :

• \(\sin x=-1\) donne \(x=-\dfrac{\pi}{2}\) ;
• \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) donne \(x=-\dfrac{\pi}{6}\) ou \(x=-\pi+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{6}\).

\(S=\{-\dfrac{5\pi}{6};-\dfrac{\pi}{2};-\dfrac{\pi}{6}\}\)

Exercice 6 :

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(2\sin^3x-17\sin^2x+7\sin x+8=0\).

Posons \(X=\sin x\). Nous sommes amenés à résoudre \(2X^3-17X^2+7X+8=0\).

Une racine évidente est \(X=1\) : \(2-17+7+8=0\). On écrit \(2X^3-17X^2+7X+8=(X-1)(aX^2+bX+c)\) et on identifie :

• \(a=2\) ;
• \(-c=8\) donc \(c=-8\) ;
• \(c-b=7\) donc \(-8-b=7\), ainsi \(b=-15\).

Donc \(2X^3-17X^2+7X+8=(X-1)(2X^2-15X-8)\).

Calculons le discriminant de \(2X^2-15X-8\) : \(\Delta=(-15)^2-4\times 2\times (-8)=225+64=289=17^2\).

Il est positif, il existe deux racines réelles distinctes : \(X_1=\dfrac{15+17}{4}=8\) et \(X_2=\dfrac{15-17}{4}=-\dfrac{1}{2}\).

Donc \(2X^3-17X^2+7X+8=2(X-1)(X-8)(X+\dfrac{1}{2})\) et l’équation équivaut à :

\(\sin x=1\) ou \(\sin x=8\) ou \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\).

Or \(-1\leq\,\sin x\leq\, 1\) : l’égalité \(\sin x=8\) est impossible. Il reste \(\sin x=1\) ou \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\).

Conclusion : les solutions sont les réels \(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\), \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) et \(x=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\), avec \(k\in\mathbb{Z}\).

Exercice 7 (trigonométrie 1ère corrigé)

On travaille avec des angles orientés, le plan étant orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre). Sur la figure, A est au-dessus de [BC], I au-dessus de B et J à droite de [AC].

Rappels utiles :

• ABC est équilatéral : ses angles géométriques mesurent \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(BA=BC=AC\) ;
• BCI est rectangle isocèle en B : \(\widehat{IBC}=\dfrac{\pi}{2}\) et \(BI=BC\) ;
• ACJ est rectangle isocèle en J : \(\widehat{JAC}=\widehat{JCA}=\dfrac{\pi}{4}\).

1. \((\vec{AB},\vec{AC})=\dfrac{\pi}{3}\) : on tourne de \(\vec{AB}\) vers \(\vec{AC}\) dans le sens direct d’un angle de \(60^{\circ}\).

\((\vec{BI},\vec{BA})=-\dfrac{\pi}{6}\) : on a \(\widehat{IBA}=\widehat{IBC}-\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}\), et on passe de \(\vec{BI}\) à \(\vec{BA}\) dans le sens indirect.

\((\vec{AI},\vec{AB})=\dfrac{5\pi}{12}\) : comme \(BI=BC=BA\), le triangle ABI est isocèle en B, d’angle au sommet \(\dfrac{\pi}{6}\). Ses angles à la base mesurent donc \(\dfrac{1}{2}(\pi-\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{5\pi}{12}\), et on passe de \(\vec{AI}\) à \(\vec{AB}\) dans le sens direct.

\((\vec{BC},\vec{CJ})=\dfrac{5\pi}{12}\) : d’après la relation de Chasles, \((\vec{BC},\vec{CJ})=(\vec{BC},\vec{CA})+(\vec{CA},\vec{CJ})\). L’angle extérieur en C vaut \((\vec{BC},\vec{CA})=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\) et \((\vec{CA},\vec{CJ})=-\dfrac{\pi}{4}\). D’où \(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{8\pi-3\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}\).

\((\vec{CJ},\vec{BI})=\dfrac{\pi}{12}\) : \((\vec{CJ},\vec{BI})=(\vec{CJ},\vec{BC})+(\vec{BC},\vec{BI})=-\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{12}\).

2. D’après la relation de Chasles :

\((\vec{AI},\vec{AJ})=(\vec{AI},\vec{AB})+(\vec{AB},\vec{AC})+(\vec{AC},\vec{AJ})\)

Or \((\vec{AC},\vec{AJ})=\dfrac{\pi}{4}\) (angle à la base du triangle rectangle isocèle ACJ, parcouru dans le sens direct). Donc :

\((\vec{AI},\vec{AJ})=\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi+4\pi+3\pi}{12}=\pi\)

Les vecteurs \(\vec{AI}\) et \(\vec{AJ}\) sont colinéaires et de sens contraires : les points A, I et J sont alignés (A est même situé entre I et J).

Exercice 8 :

On partage le cercle en arcs de \(\dfrac{\pi}{6}\) et de \(\dfrac{\pi}{4}\) pour placer les points :

• A, repéré par 0, est le point de coordonnées \((1;0)\) ;
• M, repéré par \(\dfrac{2\pi}{3}\), s’obtient en tournant de \(4\times \dfrac{\pi}{6}\) dans le sens direct ;
• N, repéré par \(\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}\), est le symétrique par rapport à O du point repéré par \(\dfrac{\pi}{6}\) ;
• P, repéré par \(-\dfrac{3\pi}{4}\), s’obtient en tournant de \(\dfrac{3\pi}{4}\) dans le sens indirect ;
• Q : \(-\dfrac{7\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}-2\pi\), donc Q est le point repéré par \(-\dfrac{\pi}{3}\).

Exercice 9 (trigonométrie 1ère corrigé)

La mesure principale d’un angle est l’unique mesure appartenant à \(]-\pi;\pi]\) ; on l’obtient en ajoutant ou en retranchant un multiple de \(2\pi\).

1. \(\alpha=\dfrac{114\pi}{4}=\dfrac{57\pi}{2}=\dfrac{56\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=28\pi+\dfrac{\pi}{2}=14\times 2\pi+\dfrac{\pi}{2}\).

La mesure principale de \(\alpha\) est \(\dfrac{\pi}{2}\).

2. \(\beta=-\dfrac{91\pi}{6}=-\dfrac{96\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}=-16\pi+\dfrac{5\pi}{6}=-8\times 2\pi+\dfrac{5\pi}{6}\).

La mesure principale de \(\beta\) est \(\dfrac{5\pi}{6}\).

3. \(\gamma=70\) (en radians). On cherche l’entier \(k\) tel que \(-\pi\lt 70-2k\pi\leq\,\pi\), c’est-à-dire \(\dfrac{70}{2\pi}-\dfrac{1}{2}\leq\, k\lt\dfrac{70}{2\pi}+\dfrac{1}{2}\). Comme \(\dfrac{70}{2\pi}\approx 11{,}14\), on prend \(k=11\).

La mesure principale de \(\gamma\) est \(70-22\pi\approx 0{,}885\) rad.

Exercice 10 :

ABC est un triangle avec \(BC=4\), \(\widehat{B}=\dfrac{\pi}{4}\) et \(\widehat{C}=\dfrac{\pi}{3}\).

1. La somme des angles d’un triangle vaut \(\pi\) :

\(\widehat{A}=\pi-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{12\pi-3\pi-4\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\)

Avec la formule d’addition \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\) :

\(\sin\widehat{A}=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2}\)

\(\sin\widehat{A}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

2. L’aire du triangle s’écrit de trois façons : \(\dfrac{1}{2}\,AB\times AC\sin\widehat{A}=\dfrac{1}{2}\,BA\times BC\sin\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\,CA\times CB\sin\widehat{C}\). En divisant par \(\dfrac{1}{2}\,AB\times BC\times CA\), on obtient la loi des sinus :

\(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{C}}\)

Ici \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{4\times 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{16(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\).

\(AC=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times \sin\dfrac{\pi}{4}=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=2(\sqrt{12}-2)\), soit \(AC=4\sqrt{3}-4\).

\(AB=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times \sin\dfrac{\pi}{3}=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2(\sqrt{18}-\sqrt{6})\), soit \(AB=6\sqrt{2}-2\sqrt{6}\).

Exercice 11 (trigonométrie 1ère corrigé)

Démontrer que la représentation graphique de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(2x)+\sin x-1\) est située entre les droites d’équation \(y=-3\) et \(y=1\).

Pour tout réel \(x\), on a \(-1\leq\,\cos(2x)\leq\, 1\) et \(-1\leq\,\sin x\leq\, 1\). En additionnant membre à membre, puis en retranchant 1 :

\(-1-1-1\leq\,\cos(2x)+\sin x-1\leq\, 1+1-1\), soit \(-3\leq\, f(x)\leq\, 1\).

La courbe est donc comprise entre les deux droites. On peut être plus précis : avec \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\), on a \(f(x)=-2\sin^2x+\sin x\) ; en posant \(X=\sin x\in[-1;1]\), le trinôme \(-2X^2+X\) vaut \(-3\) pour \(X=-1\) et atteint son maximum \(\dfrac{1}{8}\) pour \(X=\dfrac{1}{4}\). La courbe ci-dessous le confirme.

Exercice 12 :

Démontrer que, pour tout réel \(x\) : \(\cos^4x-\sin^4x=\cos(2x)\).

\(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x)^2-(\sin^2x)^2\)

Utilisons l’identité remarquable \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :

\(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)\)

Or \(\cos^2x+\sin^2x=1\) et \(\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)\), donc \(\cos^4x-\sin^4x=\cos(2x)\times 1\).

Conclusion : \(\cos^4x-\sin^4x=\cos(2x)\) pour tout réel \(x\).

Exercice 13 (trigonométrie 1ère corrigé)

On remarque que \(\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{4\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\).

\(\sin(\dfrac{7\pi}{12})=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

\(\cos(\dfrac{7\pi}{12})=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

Vérification : \(\dfrac{7\pi}{12}\) est compris entre \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\), son cosinus est bien négatif et son sinus positif.

Exercice 14 :

Soit ABC un triangle quelconque. On note E le pied de la hauteur issue de B, \(h=BE\) et \(x=AE\), de sorte que \(EC=b-x\) (cas de la figure, où E est sur le segment [AC]).

Dans les triangles AEB et BEC rectangles en E, le théorème de Pythagore donne :

\(h^2=c^2-x^2\) et \(h^2=a^2-(b-x)^2\)

Par égalité, nous en déduisons que :

\(c^2-x^2=a^2-(b-x)^2=a^2-(b^2-2bx+x^2)=a^2-b^2+2bx-x^2\)

d’où \(c^2=a^2-b^2+2bx\), soit \(a^2=b^2+c^2-2bx\) (*).

Dans le triangle AEB rectangle en E : \(\cos(\alpha)=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{x}{c}\), donc \(x=c\times \cos(\alpha)\).

En reportant dans (*) :

\(a^2=b^2+c^2-2bc\times \cos(\alpha)\)

Les deux autres formules s’obtiennent de la même façon en traçant la hauteur issue de C (pour \(b^2\)) ou celle issue de A (pour \(c^2\)). Si le pied de la hauteur tombe en dehors du segment, on a \(x\lt 0\) avec \(x=c\cos(\alpha)\) et le calcul reste valable. Ces formules sont aussi appelées théorème de Pythagore généralisé.

Exercice 15 (trigonométrie 1ère corrigé)

Pour tout réel \(x\) tel que \(\sin x\neq 0\) et \(\cos x\neq 0\), on réduit au même dénominateur :

\(\dfrac{\sin 3x}{\sin x}+\dfrac{\cos 3x}{\cos x}=\dfrac{\sin 3x\times \cos x+\cos 3x\times \sin x}{\sin x\times \cos x}\)

Au numérateur, on reconnaît \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\) avec \(a=3x\) et \(b=x\) ; au dénominateur, \(\sin x\cos x=\dfrac{\sin(2x)}{2}\) :

\(=\dfrac{\sin(4x)}{\dfrac{\sin(2x)}{2}}=\dfrac{2\sin(4x)}{\sin(2x)}\)

Enfin \(\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)\) et \(\sin(2x)\neq 0\) :

\(=\dfrac{2\times 2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin(2x)}\)

\(\dfrac{\sin 3x}{\sin x}+\dfrac{\cos 3x}{\cos x}=4\cos(2x)\)

Exercice 16 :

On utilise la relation de Chasles et les règles \((-\vec{u},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})\) et \((-\vec{u},\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi\), valables modulo \(2\pi\).

Comme \(\vec{DC}=-\vec{CD}\) et \(\vec{DA}=-\vec{AD}\) : \((\vec{DC},\vec{DA})=(\vec{CD},\vec{AD})\).

Chasles donne \((\vec{CD},\vec{AD})=(\vec{CD},\vec{CB})+(\vec{CB},\vec{BA})+(\vec{BA},\vec{AD})\), avec :

• \((\vec{CD},\vec{CB})=\dfrac{\pi}{8}\) (donnée) ;
• \((\vec{CB},\vec{BA})=(-\vec{BC},\vec{BA})=(\vec{BC},\vec{BA})+\pi=\dfrac{\pi}{4}+\pi\) ;
• \((\vec{BA},\vec{AD})=(-\vec{AB},\vec{AD})=(\vec{AB},\vec{AD})+\pi=\dfrac{\pi}{6}+\pi\).

En additionnant : \((\vec{DC},\vec{DA})=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{3\pi+6\pi+4\pi}{24}+2\pi=\dfrac{13\pi}{24}\ [2\pi]\).

La mesure principale de \((\vec{DC},\vec{DA})\) est \(\dfrac{13\pi}{24}\), car \(\dfrac{13\pi}{24}\in]-\pi;\pi]\).

Vérification géométrique : les angles du quadrilatère en A, B et C mesurent \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) et \(22{,}5^{\circ}\) ; l’angle rentrant en D mesure donc \(360^{\circ}-97{,}5^{\circ}=262{,}5^{\circ}\) et l’angle géométrique \(\widehat{CDA}\) vaut \(360^{\circ}-262{,}5^{\circ}=97{,}5^{\circ}\), soit bien \(\dfrac{13\pi}{24}\).

Exercice 17 (trigonométrie 1ère corrigé)

ABC est un triangle avec \(BC=4\), \(\widehat{B}=\dfrac{\pi}{4}\) et \(\widehat{C}=\dfrac{\pi}{3}\) : ce sont les données de l’exercice 10.

1. \(\widehat{A}=\pi-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\), donc :

\(\sin\widehat{A}=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\), soit \(\sin\widehat{A}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

2. La loi des sinus \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{C}}\) donne, avec \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{16}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\) :

\(AC=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{3}-4\) et \(AB=4(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{2}-2\sqrt{6}\).

3. On utilise l’aire \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,BC\times BA\times \sin\widehat{B}\) :

\(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 4\times (6\sqrt{2}-2\sqrt{6})\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\,(6\sqrt{2}-2\sqrt{6})=12-2\sqrt{12}\)

\(\mathcal{A}=12-4\sqrt{3}\approx 5{,}07\) unités d’aire.

Contrôle avec l’angle C : \(\dfrac{1}{2}\times 4\times (4\sqrt{3}-4)\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\,(4\sqrt{3}-4)=12-4\sqrt{3}\).

Exercice 18 :

L’aire d’un triangle vaut \(S=\dfrac{1}{2}\,bc\sin\widehat{A}\). Ici \(S=5\), \(b=2\) et \(c=13\) :

\(5=\dfrac{1}{2}\times 2\times 13\times \sin\widehat{A}=13\sin\widehat{A}\), donc \(\sin\widehat{A}=\dfrac{5}{13}\).

Comme \(\cos^2\widehat{A}=1-\sin^2\widehat{A}=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\), on a deux possibilités : \(\cos\widehat{A}=\dfrac{12}{13}\) (angle aigu) ou \(\cos\widehat{A}=-\dfrac{12}{13}\) (angle obtus).

La formule d’Al-Kashi \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}=4+169-52\cos\widehat{A}\) donne :

• si \(\cos\widehat{A}=\dfrac{12}{13}\) : \(a^2=173-48=125\), donc \(a=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) ;
• si \(\cos\widehat{A}=-\dfrac{12}{13}\) : \(a^2=173+48=221\), donc \(a=\sqrt{221}\).

Il y a deux longueurs possibles : \(a=5\sqrt{5}\approx 11{,}18\) cm ou \(a=\sqrt{221}\approx 14{,}87\) cm.

Exercice 19 (trigonométrie 1ère corrigé)

1. D’après la formule d’Al-Kashi :

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\widehat{A}=7^2+4^2-2\times 7\times 4\times \cos(60^{\circ})=49+16-56\times \dfrac{1}{2}=37\)

\(BC=\sqrt{37}\)

2. D’après la loi des sinus, \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}\), donc :

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC\times \sin\widehat{A}}{BC}=\dfrac{4\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{37}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}\)

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{2\sqrt{111}}{37}\) (après avoir multiplié numérateur et dénominateur par \(\sqrt{37}\)).

Exercice 20 :

Angles supplémentaires. Deux angles de mesures \(x\) et \(\pi-x\) sont supplémentaires. Sur le cercle trigonométrique, les points associés à \(x\) et à \(\pi-x\) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées : ils ont la même ordonnée. Donc \(\sin(\pi-x)=\sin x\) : deux angles supplémentaires ont le même sinus.

Aire du quadrilatère. Soit O le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD] (il est à l’intérieur du quadrilatère) et \(\Theta=\widehat{AOB}\). Les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{COD}\) sont opposés par le sommet, donc égaux à \(\Theta\) ; les angles \(\widehat{BOC}\) et \(\widehat{DOA}\) mesurent \(\pi-\Theta\) et ont donc le même sinus \(\sin\Theta\).

Le quadrilatère est la réunion des triangles AOB, BOC, COD et DOA. Avec la formule \(\dfrac{1}{2}\times \text{côté}\times \text{côté}\times \sin(\text{angle compris})\) :

\(S=\dfrac{1}{2}\sin\Theta\,(OA\times OB+OB\times OC+OC\times OD+OD\times OA)\)

Or \(OA\times OB+OB\times OC+OC\times OD+OD\times OA=OB\,(OA+OC)+OD\,(OC+OA)=(OA+OC)(OB+OD)=AC\times BD\), car O appartient aux deux segments.

Donc \(S=\dfrac{1}{2}\times AC\times BD\times \sin\Theta\).

Exercice 21 (trigonométrie 1ère corrigé)

Notons A le point de départ, I le point atteint après 5 km vers l’est et P le point d’arrivée après 2 km vers le nord-est. La direction nord-est fait un angle de \(\dfrac{\pi}{4}\) avec la direction est, donc l’angle du triangle en I vaut :

\(\widehat{AIP}=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\)

La formule d’Al-Kashi dans le triangle AIP donne :

\(d^2=AI^2+IP^2-2\times AI\times IP\times \cos\dfrac{3\pi}{4}=25+4-2\times 5\times 2\times (-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=29+10\sqrt{2}\)

\(d=\sqrt{29+10\sqrt{2}}\) km, soit \(d\approx 6{,}57\) km au centième près.

Exercice 22 :

Notons \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) et S l’aire du triangle ABC. On a \(S=\dfrac{1}{2}\,bc\sin\widehat{A}=\dfrac{1}{2}\,ac\sin\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\,ab\sin\widehat{C}\).

En divisant par \(\dfrac{1}{2}\,abc\), on obtient \(\dfrac{\sin\widehat{A}}{a}=\dfrac{\sin\widehat{B}}{b}=\dfrac{\sin\widehat{C}}{c}=k\), avec \(k=\dfrac{2S}{abc}\gt 0\).

Ainsi \(\sin\widehat{A}=ka\), \(\sin\widehat{B}=kb\) et \(\sin\widehat{C}=kc\). Par conséquent :

\(\sin^2\widehat{A}=\sin^2\widehat{B}+\sin^2\widehat{C}\iff k^2a^2=k^2b^2+k^2c^2\iff a^2=b^2+c^2\) (car \(k^2\neq 0\)).

Or, d’après le théorème de Pythagore et sa réciproque, \(a^2=b^2+c^2\), c’est-à-dire \(BC^2=AB^2+AC^2\), équivaut à « ABC est rectangle en A ».

Conclusion : ABC est rectangle en A si et seulement si \(\sin^2\widehat{A}=\sin^2\widehat{B}+\sin^2\widehat{C}\).

Exercice 23 (trigonométrie 1ère corrigé)

1) Le domaine \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel \(x\), comme le cosinus est pair et \(\sin(-u)=-\sin u\) :

\(g(-x)=\cos(-4x)\sin^2(-4x)=\cos(4x)\,(-\sin(4x))^2=\cos(4x)\sin^2(4x)=g(x)\)

Donc g est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2) Pour tout réel \(x\) :

\(g(x+\dfrac{\pi}{2})=\cos(4x+2\pi)\sin^2(4x+2\pi)=\cos(4x)\sin^2(4x)=g(x)\)

Donc g est \(\dfrac{\pi}{2}\)-périodique : sa courbe est invariante par la translation de vecteur \(\dfrac{\pi}{2}\,\vec{i}\).

Exercice 24 :

1) \(g(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\) et \(g(-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0\).

• \(g(-\dfrac{\pi}{4})\neq g(\dfrac{\pi}{4})\) : g n’est pas paire ;
• \(g(-\dfrac{\pi}{4})\neq -g(\dfrac{\pi}{4})\) : g n’est pas impaire.

g n’est ni paire ni impaire (un seul contre-exemple suffit pour chaque propriété).

2) Pour tout réel \(x\) : \(g(x+2\pi)=\cos(x+2\pi)+\sin(x+2\pi)=\cos x+\sin x=g(x)\).

g est \(2\pi\)-périodique : sa courbe est invariante par la translation de vecteur \(2\pi\,\vec{i}\) ; il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur \(2\pi\), puis de la reproduire.

3) Pour tout réel \(x\), \(-1\leq\,\cos x\leq\, 1\) et \(-1\leq\,\sin x\leq\, 1\). En ajoutant ces deux encadrements :

\(-2\leq\, g(x)\leq\, 2\) pour tout réel \(x\).

Exercice 25 (trigonométrie 1ère corrigé)

1) On sait que \(\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\).

• Le cosinus est pair : \(\cos(-\dfrac{\pi}{3})=\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\).
• \(\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) : \(\cos(\dfrac{2\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\).

2) On sait que \(\sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

• Le sinus est impair : \(\sin(-\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(\sin(\pi-x)=\sin x\) : \(\sin(\dfrac{2\pi}{3})=\sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Exercice 26 :

1) On sait que \(\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Sur le cercle trigonométrique, deux points ont pour abscisse \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) : celui associé à \(\dfrac{\pi}{6}\) et son symétrique par rapport à l’axe des abscisses, associé à \(-\dfrac{\pi}{6}\), c’est-à-dire à \(2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}\) dans \([0;2\pi[\).

\(S=\{\dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\}\)

2) On sait que \(\sin(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Deux points du cercle ont pour ordonnée \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : celui associé à \(\dfrac{\pi}{4}\) et son symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, associé à \(\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\).

\(S=\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\}\)

Exercice 27 (trigonométrie 1ère corrigé)

1. A et B sont les points d’intersection de la courbe de cosinus avec la droite d’équation \(y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) situés entre 0 et \(2\pi\). Comme \(\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\cos(2\pi-\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{6})\) :

A a pour abscisse \(\dfrac{\pi}{6}\) et B a pour abscisse \(\dfrac{11\pi}{6}\).

2. Les solutions de \(\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([0;2\pi[\) sont les abscisses des points A et B : \(S=\{\dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\}\).

3. On cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou sous la droite \(y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) : ce sont les points compris entre A et B.

\(S=[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}]\)

Exercice 28 :

Pour chaque fonction, on vérifie que \(f(x+T)=f(x)\) pour tout réel \(x\).

a) \(f(x+1)=\cos(2\pi(x+1))=\cos(2\pi x+2\pi)=\cos(2\pi x)=f(x)\) : f est 1-périodique.

b) \(f(x+\dfrac{2\pi}{3})=\sin(3(x+\dfrac{2\pi}{3}))=\sin(3x+2\pi)=\sin(3x)=f(x)\) : f est \(\dfrac{2\pi}{3}\)-périodique.

c) \(f(x+\dfrac{2\pi}{7})=\dfrac{2}{3}\cos(7(x+\dfrac{2\pi}{7})+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{2}{3}\cos(7x+\dfrac{\pi}{4}+2\pi)=\dfrac{2}{3}\cos(7x+\dfrac{\pi}{4})=f(x)\) : f est \(\dfrac{2\pi}{7}\)-périodique.

d) \(f(x+\dfrac{6\pi}{5})=\dfrac{10}{7}\sin(\dfrac{5x+6\pi-8}{3})=\dfrac{10}{7}\sin(\dfrac{5x-8}{3}+2\pi)=\dfrac{10}{7}\sin(\dfrac{5x-8}{3})=f(x)\) : f est \(\dfrac{6\pi}{5}\)-périodique.

Exercice 29 (trigonométrie 1ère corrigé)

1.a) \(\dfrac{91\pi}{4}=\dfrac{88\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}=22\pi+\dfrac{3\pi}{4}=11\times 2\pi+\dfrac{3\pi}{4}\). Le réel cherché est \(x=\dfrac{3\pi}{4}\), qui appartient bien à \(]-\pi;\pi[\).

b) Les deux réels ont la même image sur le cercle, donc :

\(\cos(\dfrac{91\pi}{4})=\cos(\dfrac{3\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin(\dfrac{91\pi}{4})=\sin(\dfrac{3\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

2.a) \(-\dfrac{13\pi}{6}=-2\pi-\dfrac{\pi}{6}\), donc \(\cos(-\dfrac{13\pi}{6})=\cos(-\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{6})\), soit \(\cos(-\dfrac{13\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

b) \(-\dfrac{81\pi}{2}=-\dfrac{80\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=-20\times 2\pi-\dfrac{\pi}{2}\), donc \(\sin(-\dfrac{81\pi}{2})=\sin(-\dfrac{\pi}{2})=-1\).

3.a) \(\dfrac{25\pi}{3}=8\pi+\dfrac{\pi}{3}\), donc \(\cos(\dfrac{25\pi}{3})=\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\).

On en déduit, avec \(\cos^2+\sin^2=1\) : \(\sin^2(\dfrac{25\pi}{3})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\). Le point associé est celui de \(\dfrac{\pi}{3}\), dont l’ordonnée est positive, donc \(\sin(\dfrac{25\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

b) \(\dfrac{45\pi}{6}=\dfrac{15\pi}{2}=8\pi-\dfrac{\pi}{2}\), donc \(\sin(\dfrac{45\pi}{6})=\sin(-\dfrac{\pi}{2})=-1\).

On en déduit \(\cos^2(\dfrac{45\pi}{6})=1-(-1)^2=0\), donc \(\cos(\dfrac{45\pi}{6})=0\).

Exercice 30 :

On lit l’expression \(f(x)=4\cos^2(x)+2(\sqrt{2}-1)\cos(x)-\sqrt{2}\) (le « l » de l’énoncé est le chiffre 1).

1.a) Pour tout réel \(x\), \(-1\leq\,\cos(x)\leq\, 1\), donc \(-1\leq\, X\leq\, 1\).

b) En remplaçant \(\cos(x)\) par \(X\) et \(\cos^2(x)\) par \(X^2\), l’équation \(f(x)=0\) s’écrit \(4X^2+2(\sqrt{2}-1)X-\sqrt{2}=0\), avec \(X\in[-1;1]\).

c) Calculons le discriminant :

\(\Delta=4(\sqrt{2}-1)^2+16\sqrt{2}=4(3-2\sqrt{2})+16\sqrt{2}=12+8\sqrt{2}=4(3+2\sqrt{2})=4(\sqrt{2}+1)^2\)

donc \(\sqrt{\Delta}=2(\sqrt{2}+1)\) et :

\(X_1=\dfrac{-2(\sqrt{2}-1)+2(\sqrt{2}+1)}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\) et \(X_2=\dfrac{-2(\sqrt{2}-1)-2(\sqrt{2}+1)}{8}=\dfrac{-4\sqrt{2}}{8}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Les deux solutions \(X_1=\dfrac{1}{2}\) et \(X_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) appartiennent à \([-1;1]\).

d) \(f(x)=0\iff\cos(x)=\dfrac{1}{2}\) ou \(\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Sur \(]-\pi;\pi]\) :

• \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\iff x=-\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ;
• \(\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\iff x=-\dfrac{3\pi}{4}\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}\).

\(S=\{-\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{3\pi}{4}\}\)

2.a) Le trinôme a un coefficient \(4\gt 0\) : il est strictement positif à l’extérieur de ses racines. Sur \([-1;1]\) :

\(4X^2+2(\sqrt{2}-1)X-\sqrt{2}\gt 0\iff X\in[-1;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}[\cup]\dfrac{1}{2};1]\)

Prolongement : \(f(x)\gt 0\iff\cos(x)\lt -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(\cos(x)\gt\dfrac{1}{2}\). Par lecture sur le cercle trigonométrique, sur \(]-\pi;\pi]\) : \(x\in]-\pi;-\dfrac{3\pi}{4}[\cup]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}[\cup]\dfrac{3\pi}{4};\pi]\).

Exercice 31 (trigonométrie 1ère corrigé)

Les douze demi-axes de la figure sont espacés de \(\dfrac{\pi}{6}\) (un douzième de tour). Dans l’ordre des aiguilles d’une montre, on rencontre A, P, N, M, L, K, G, F, E, D, C, B. On considère que le saphir tourne avec le disque, dans le sens des aiguilles d’une montre, comme sur une platine.

Seule compte la fraction de tour qui reste après avoir retiré les tours complets.

1. Chaque chanson dure \(\dfrac{60}{6}=10\) min. En 10 min, le disque fait \(10\times \dfrac{100}{3}=\dfrac{1000}{3}=333+\dfrac{1}{3}\) tours.

Un tiers de tour correspond à \(\dfrac{2\pi}{3}\), soit 4 graduations. En partant de N : M, L, K, G.

À la fin de la chanson, le saphir est sur le demi-axe [OG).

2. Le disque fait \(16+\dfrac{2}{3}=\dfrac{50}{3}\) tours par minute. On part de P.

• a) En 3 min : \(3\times \dfrac{50}{3}=50\) tours exactement. Le saphir est de nouveau sur [OP).
• b) En 4 min : \(\dfrac{200}{3}=66+\dfrac{2}{3}\) tours. Deux tiers de tour font 8 graduations : N, M, L, K, G, F, E, D. Le saphir est sur [OD).
• c) En 5 min : \(\dfrac{250}{3}=83+\dfrac{1}{3}\) tours, soit 4 graduations : N, M, L, K. Le saphir est sur [OK).
• d) En 10 min : \(\dfrac{500}{3}=166+\dfrac{2}{3}\) tours, soit 8 graduations. Le saphir est sur [OD).

Remarque : si l’on choisit de faire tourner le saphir dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre), les mêmes fractions de tour donnent [OC) à la question 1, puis [OP), [OK), [OD) et [OK) à la question 2.

Exercice 32 :

1. Pour tout réel \(x\), \(3+\sin^2(x)\geq\, 3\gt 0\), donc f est définie sur \(\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à 0.

• \(f(-x)=\dfrac{\cos(-x)}{3+\sin^2(-x)}=\dfrac{\cos(x)}{3+(-\sin x)^2}=f(x)\) : f est paire.
• \(f(x+2\pi)=\dfrac{\cos(x+2\pi)}{3+\sin^2(x+2\pi)}=f(x)\) : f est \(2\pi\)-périodique.

Graphiquement, la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et invariante par la translation de vecteur \(2\pi\,\vec{i}\).

2. Par périodicité, il suffit d’étudier f sur un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \([-\pi;\pi]\) ; par parité, il suffit ensuite d’étudier f sur la moitié positive. On peut donc prendre \(I=[0;\pi]\).

3.a) \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\sin(x)(\sin^2(x)-5)}{(3+\sin^2(x))^2}\). Sur \(I=[0;\pi]\) :

• \(\sin(x)\geq\, 0\) ;
• \(\sin^2(x)\leq\, 1\), donc \(\sin^2(x)-5\leq\, -4\lt 0\) ;
• le dénominateur est un carré strictement positif.

Donc \(f^{\prime}(x)\leq\, 0\) sur I, avec égalité seulement en 0 et en \(\pi\). f est décroissante sur \([0;\pi]\).

\(x\)	0		\(\pi\)
\(f^{\prime}(x)\)	0	−	0
\(f\)	\(\dfrac{1}{3}\)	décroissante	\(-\dfrac{1}{3}\)

b) \(f(0)=\dfrac{1}{3+0}=\dfrac{1}{3}\) et \(f(\pi)=\dfrac{-1}{3}\). Sur I, f admet un maximum \(\dfrac{1}{3}\) en 0 et un minimum \(-\dfrac{1}{3}\) en \(\pi\).

c) On trace la courbe sur \([0;\pi]\), on la complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées sur \([-\pi;0]\), puis on la reproduit par translation de \(2\pi\) sur \([\pi;3\pi]\).

Exercice 33 (trigonométrie 1ère corrigé)

1. f est définie sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\) :

• \(f(-x)=-\dfrac{\cos^3(-x)}{3}=-\dfrac{\cos^3(x)}{3}=f(x)\) car le cosinus est pair : f est paire ;
• \(f(x+2\pi)=-\dfrac{\cos^3(x+2\pi)}{3}=f(x)\) : f est \(2\pi\)-périodique.

La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et invariante par la translation de vecteur \(2\pi\,\vec{i}\).

2.a) \(f^{\prime}(x)=\cos^2(x)\sin(x)\). Comme \(\cos^2(x)\geq\, 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(\sin(x)\) (et s’annule aussi quand \(\cos x=0\)). Sur \([0;2\pi[\) : \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) sur \([0;\pi]\) et \(f^{\prime}(x)\leq\, 0\) sur \([\pi;2\pi[\).

b) Donc f est croissante sur \([0;\pi]\) et décroissante sur \([\pi;2\pi[\), avec \(f(0)=-\dfrac{1}{3}\) et \(f(\pi)=-\dfrac{(-1)^3}{3}=\dfrac{1}{3}\).

c) Par périodicité (\(f(-\pi)=f(\pi)=\dfrac{1}{3}\), \(f(2\pi)=f(0)=-\dfrac{1}{3}\)), on obtient sur \([-\pi;3\pi[\) :

\(x\)	\(-\pi\)		0		\(\pi\)		\(2\pi\)		\(3\pi\)
\(f^{\prime}(x)\)	0	−	0	+	0	−	0	+
\(f\)	\(\dfrac{1}{3}\)	décroissante	\(-\dfrac{1}{3}\)	croissante	\(\dfrac{1}{3}\)	décroissante	\(-\dfrac{1}{3}\)	croissante	(\(3\pi\) exclu)

(La dérivée s’annule aussi en \(\pm\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{2}\), \(\dfrac{5\pi}{2}\), sans changer de signe.)

Exercice 34 :

1. Si \(x\) est solution de (E), alors \(-x=\cos(x)\), donc \(-1\leq\, -x\leq\, 1\), c’est-à-dire \(-1\leq\, x\leq\, 1\). Toutes les solutions appartiennent à \([-1;1]\).

2.a) \(\cos(x)=-x\iff\cos(x)+x=0\iff f(x)=0\). Les solutions de (E) sont donc les abscisses des points d’intersection de la courbe de f avec l’axe des abscisses. La calculatrice montre une courbe qui monte et coupe l’axe une seule fois, près de \(-0{,}74\) : on conjecture que (E) a une unique solution. On a d’ailleurs \(f(-1)=\cos(1)-1\approx -0{,}46\lt 0\) et \(f(1)=\cos(1)+1\approx 1{,}54\gt 0\).

b) La dérivée de \(x\mapsto \cos(x)\) est \(x\mapsto -\sin(x)\) et celle de \(x\mapsto x\) est 1. Par somme : \(f^{\prime}(x)=-\sin(x)+1\).

c) Pour tout réel \(x\), \(\sin(x)\leq\, 1\), donc \(f^{\prime}(x)=1-\sin(x)\geq\, 0\). Elle ne s’annule que si \(\sin(x)=1\), c’est-à-dire pour \(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\), et aucun de ces réels n’est dans \([-1;1]\) (car \(\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57\)). Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \([-1;1]\) : f est strictement croissante sur \([-1;1]\), ce qui confirme qu’elle ne s’annule qu’une fois.

d) Par balayage à la calculatrice : \(f(-0{,}74)\approx -0{,}0015\lt 0\) et \(f(-0{,}73)\approx 0{,}015\gt 0\). La solution de (E) vaut environ \(-0{,}74\) à 0,01 près (plus précisément \(-0{,}7391\)).

Exercice 35 :

1. Une lentille fait un tour complet, soit \(2\pi\) radians, en 5 secondes. En 1 seconde, elle parcourt donc :

\(\dfrac{2\pi}{5}\) rad, soit \(\dfrac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}\).

2. La lentille balaie un secteur angulaire de rayon \(R=45\) km et d’angle \(\theta=\dfrac{2\pi}{5}\). L’aire d’un secteur est proportionnelle à son angle : c’est \(\dfrac{1}{5}\) de l’aire du disque, soit aussi \(\dfrac{1}{2}R^2\theta\).

\(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 45^2\times \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{2025\pi}{5}=405\pi\)

L’aire balayée en 1 seconde est \(405\pi\approx 1\,272\) km².

Exercice 36 :

1. Pour tout réel \(x\), le cosinus étant pair : \(f_m(-x)=\cos(-mx)=\cos(mx)=f_m(x)\). \(f_m\) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2. Pour tout réel \(x\) : \(f_m(x+\dfrac{2\pi}{m})=\cos(mx+2\pi)=\cos(mx)=f_m(x)\). \(f_m\) est périodique de période \(T=\dfrac{2\pi}{m}\) (au signe près : la plus petite période positive est \(\dfrac{2\pi}{|m|}\)).

3. Par périodicité, il suffit d’étudier \(f_m\) sur un intervalle de longueur une période, par exemple entre \(-\dfrac{\pi}{m}\) et \(\dfrac{\pi}{m}\) ; par parité, on peut se limiter à la moitié de cet intervalle située entre 0 et \(\dfrac{\pi}{m}\). On étudie donc \(f_m\) sur \([0;\dfrac{\pi}{m}]\) (intervalle écrit \([\dfrac{\pi}{m};0]\) si \(m\lt 0\)).

4.a) Pour \(x\) compris entre 0 et \(\dfrac{\pi}{m}\), le produit \(mx\) est compris entre 0 et \(\pi\), donc \(\sin(mx)\geq\, 0\). Le signe de \(f^{\prime}_m(x)=-m\sin(mx)\) est donc celui de \(-m\) :

• si \(m\gt 0\) : \(f^{\prime}_m(x)\leq\, 0\) sur \([0;\dfrac{\pi}{m}]\) ;
• si \(m\lt 0\) : \(f^{\prime}_m(x)\geq\, 0\) sur \([\dfrac{\pi}{m};0]\).

b) Si \(m\gt 0\), \(f_m\) est décroissante sur \([0;\dfrac{\pi}{m}]\), de \(f_m(0)=1\) à \(f_m(\dfrac{\pi}{m})=\cos(\pi)=-1\). Si \(m\lt 0\), \(f_m\) est croissante sur \([\dfrac{\pi}{m};0]\), de \(-1\) à 1. Comme \(\cos(mx)=\cos(-mx)\), les deux cas décrivent en fait la même fonction.

c) Pour \(m\gt 0\), sur \([0;\dfrac{\pi}{m}]\) :

\(x\)	0		\(\dfrac{\pi}{m}\)
\(f_m\)	1	décroissante	\(-1\)

Par parité, \(f_m\) est croissante sur \([-\dfrac{\pi}{m};0]\) ; par périodicité, elle se comporte sur \([\dfrac{\pi}{m};\dfrac{2\pi}{m}]\) comme sur \([-\dfrac{\pi}{m};0]\). D’où, sur \([-\dfrac{\pi}{m};\dfrac{2\pi}{m}]\) :

\(x\)	\(-\dfrac{\pi}{m}\)		0		\(\dfrac{\pi}{m}\)		\(\dfrac{2\pi}{m}\)
\(f_m\)	\(-1\)	croissante	1	décroissante	\(-1\)	croissante	1

Pour \(m\lt 0\), on obtient les mêmes tableaux en remplaçant \(m\) par \(|m|\).

Exercice 37 :

La rose des vents est un cercle trigonométrique : E correspond à 0 et N à \(\dfrac{\pi}{2}\), on tourne donc dans le sens direct de E vers N. Les 16 directions sont espacées de \(\dfrac{2\pi}{16}=\dfrac{\pi}{8}\).

1. O est diamétralement opposé à E, un demi-tour plus loin : le réel \(\pi\) a pour image « O ».

2. S est diamétralement opposé à N : le réel \(-\dfrac{\pi}{2}\) (ou \(\dfrac{3\pi}{2}\)) a pour image « S ».

3. NE est à mi-chemin entre E et N : le réel \(\dfrac{\pi}{4}\) a pour image « NE ».

4.a) NNE est à mi-chemin entre NE et N, soit \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{8}\) : le réel \(\dfrac{3\pi}{8}\) a pour image « NNE ».

b) SSE est le symétrique de NNE par rapport à l’axe O-E (axe des abscisses) : on prend l’opposé. Le réel \(-\dfrac{3\pi}{8}\) a pour image « SSE ».

c) NNO est le symétrique de NNE par rapport à l’axe S-N (axe des ordonnées) : on prend \(\pi-\dfrac{3\pi}{8}\). Le réel \(\dfrac{5\pi}{8}\) a pour image « NNO ».

Exercice 38 :

\(A=\cos(\dfrac{\pi}{4})+\cos(\dfrac{3\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(A=0\).

Pour B, \(\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}\), donc \(\sin(\dfrac{5\pi}{3})=-\sin(\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :

\(B=\sin(\dfrac{\pi}{3})-\cos(\dfrac{\pi}{4})+\sin(\dfrac{5\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(B=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

\(C=\cos^2(\dfrac{\pi}{2})-\sin^2(\dfrac{\pi}{2})=0^2-1^2\), donc \(C=-1\).

Exercice 39 :

On se ramène à des angles connus en retirant des multiples de \(2\pi\) :

• \(\dfrac{7\pi}{3}=2\pi+\dfrac{\pi}{3}\), donc \(\cos(\dfrac{7\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\) ;
• \(\dfrac{41\pi}{3}=14\pi-\dfrac{\pi}{3}\), donc \(\cos(\dfrac{41\pi}{3})=\cos(-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\).

\(D=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\), donc \(D=0\).

• \(-\dfrac{87\pi}{4}=-22\pi+\dfrac{\pi}{4}\), donc \(\sin(-\dfrac{87\pi}{4})=\sin(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ;
• \(-\dfrac{21\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{2}=-4\pi+\dfrac{\pi}{2}\), donc \(\sin(-\dfrac{21\pi}{6})=\sin(\dfrac{\pi}{2})=1\).

\(B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1\), soit \(B=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\).

Exercice 40 :

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\) et \(\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

On cherche le point du cercle trigonométrique de coordonnées \((\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\).

• \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\) donne, dans \(]-\pi;\pi]\), \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}\) ;
• parmi ces deux réels, seul \(-\dfrac{\pi}{3}\) vérifie \(\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), puisque \(\sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Le système a donc une seule solution dans \(]-\pi;\pi]\), puis toutes celles qui ont la même image sur le cercle.

\(S=\{-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}\)

Exercice 41 :

1. La courbe passe par \(M(-\dfrac{\pi}{2};2)\), donc \(f(-\dfrac{\pi}{2})=2\) :

\(a\cos(-\dfrac{\pi}{2})+b\sin(-\dfrac{\pi}{2})=a\times 0+b\times (-1)=-b=2\), donc \(b=-2\).

La courbe passe par \(N(\dfrac{\pi}{4};\sqrt{2})\), donc \(f(\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\) :

\(a\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+b\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\), donc \(a+b=2\), d’où \(a=2-(-2)=4\).

2. \(f(x)=4\cos(x)-2\sin(x)\).

3. Pour tout réel \(x\) : \(f(x+2\pi)=4\cos(x+2\pi)-2\sin(x+2\pi)=4\cos(x)-2\sin(x)=f(x)\).

f est \(2\pi\)-périodique : sa courbe est invariante par la translation de vecteur \(2\pi\,\vec{i}\), on la trace sur un intervalle de longueur \(2\pi\) puis on la reproduit.

4. On a \(f(\dfrac{\pi}{2})=4\times 0-2\times 1=-2\) et \(f(-\dfrac{\pi}{2})=2\).

• \(f(-\dfrac{\pi}{2})\neq f(\dfrac{\pi}{2})\) : f n’est pas paire ;
• \(f(0)=4\neq 0\), alors qu’une fonction impaire définie en 0 vérifie \(f(0)=0\) : f n’est pas impaire.

f n’est ni paire ni impaire.

Bien travailler avec trigonométrie 1ère corrigé

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Trigonométrie de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec barycentre : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.