Corrigés des exercices de maths en 1ère
Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur la trigonométrie.

Exercice 1 :

Résoudre dans mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. les équations suivantes.

1.  mimetex.cgi?cosx=\frac{\sqrt{2}}{2} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2. mimetex.cgi?sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 2 :

Dans cet exercice, on donne :

mimetex.cgi?cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculer la valeur exacte de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. puis de mimetex.cgi?cos(\frac{3\pi}{5}) Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Indication : pour mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  , utiliser la formule d’addition mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  avec mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  .

Exercice 3 :

Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : mimetex.cgi?tan(\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

1. Soit mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.. Démontrer que mimetex.cgi?tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{tanx} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2. En déduire que :

mimetex.cgi?tan(\frac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utiliser l’égalité du 1. en prenant mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

et en utilisant la donnée de l’énoncé :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Multiplions par la quantité conjuguée et utilisons l’identité remarquable mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion :     mimetex.cgi?tan(\frac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 4 :

Résoudre dansmimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. l’équation : sin(2x) = cos(x).

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

C’est une équation produit.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ou mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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Exercice 5 :

Résoudre dansmimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  les équations suivantes :

Indication : faire des changements de variable et utiliser les formules trigonométriques.

Pour la 1, poser X=cosx.

mimetex.cgi?1.2cos^3x-7cos^2x+2cosx+3=0.\\2.2sin^3x+cos^2x5sinx-3=0 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 6 :

Résoudre dansmimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. l’équation :

mimetex.cgi?2sin^3x-17sin^2x+7sinx+8=0 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Posons mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous sommes amenés à résoudre :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Une racine évidente est X = 1.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

a = 2

-c=8 donc c= -8

c-b=7 donc -8-b=7 ainsi b=-8-7=-15

Donc

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le discriminant est positif, il existe deux racines réelles distinctes.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc nous obtenons :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

or mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc soit

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion :
mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 7 :

1. On peut déterminer les mesures des angles demandés en utilisant les propriétés des triangles rectangles et de l’angle au centre dans un cercle.

Tout d’abord, le triangle ABC est équilatéral, donc chacun de ses angles mesure 60 degrés.

Dans le triangle BCI, on a un angle droit en I et deux côtés de même longueur (BI = CI car le triangle est isocèle en B), donc c’est un triangle rectangle isocèle, ce qui implique que l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. mesure 45 degrés.

De même, dans le triangle ACJ, on a un angle droit en J et deux côtés de même longueur (AJ = CJ car le triangle est isocèle en J), donc c’est un triangle rectangle isocèle, ce qui implique que l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. mesure 45 degrés.

Pour déterminer l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., on peut observer que ce triangle est isocèle en I car AI = IB. On peut également remarquer que ce triangle est inscrit dans le cercle de centre O passant par A, B et I. L’angle \angle AIB mesure donc la moitié de l’angle au centre qui intercepte l’arc AB. Cet arc mesure 60 degrés (car ABC est équilatéral), donc l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. mesure 30 degrés.

Enfin, pour déterminer l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., on peut utiliser la propriété de l’angle inscrit dans un cercle : l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. mesure la moitié de l’arc BC du cercle circonscrit au triangle ABC. Comme ABC est équilatéral, l’arc BC mesure 60 degrés, donc l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. mesure 30 degrés.

De même, l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. mesure la moitié de l’arc BI du cercle circonscrit au triangle BCI. Cet arc mesure 90 degrés (car le triangle est rectangle en I), donc l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. mesure 45 degrés.

Ainsi, on a :

  •  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. = 60 degrés
  •  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. = 45 degrés
  •  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. = 45 degrés
  •  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. = 30 degrés
  •  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. = 30 degrés
  •  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. = 45 degrés

2. On doit montrer que les points A, I et J sont alignés.

Pour cela, on peut utiliser le fait que dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est également le centre du cercle circonscrit et donc que la droite passant par le milieu de l’hypoténuse et l’angle droit est un diamètre de ce cercle.

Dans le triangle ACJ, on a un angle droit en J et les côtés AJ et CJ sont de même longueur. Par conséquent, le point milieu M de [AC] est également le centre du cercle circonscrit au triangle ACJ. De plus, la droite (JM) est un diamètre de ce cercle.

Dans le triangle BCI, on a un angle droit en I et les côtés BI et CI sont de même longueur. Par conséquent, le point milieu N de [BC] est également le centre du cercle circonscrit au triangle BCI. De plus, la droite (IN) est un diamètre de ce cercle.

Comme ces deux cercles ont le même diamètre (car les côtés BI et CJ sont de même longueur), les droites (JM) et (IN) se coupent en leur milieu K, qui est également le centre de ces cercles.

Mais ce point K est également le milieu de [AJ] et de [CI]. Par conséquent, les points A, I et J sont alignés sur la droite (AK), qui est la droite passant par les milieux de [AJ] et [CI].

Exercice 8 :

correction-cercle-trigo Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 9 :

On peut utiliser les propriétés du cercle trigonométrique pour déterminer les mesures principales des angles donnés :

1. Pour l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., il y a deux façons de trouver une mesure principale :

– On peut diviser l’angle par mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. pour obtenir mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Comme 0 mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. est une mesure principale, on peut donc dire que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour mesure principale mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..
– On peut soustraire mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. (ou un multiple de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.) de l’angle jusqu’à ce que l’angle obtenu soit entre 0 inclus et 2mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. exclus.

On a alors mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., qui est une mesure principale.

Donc, mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. a également pour mesure principale mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

2. Pour l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., on peut ajouter 2mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. (ou un multiple de 2mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.) à l’angle jusqu’à ce que l’angle obtenu soit entre –mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. inclus et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. exclus.

On a alors mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., qui est une mesure principale. Donc, mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour mesure principale mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

3. Pour l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., on peut ajouter un multiple de 360 degrés (ou un multiple de 2mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.) à l’angle jusqu’à ce que l’angle obtenu soit entre 0 inclus et 360 degrés exclus (ou entre 0 inclus et 2mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. exclus). Comme 70 est déjà une mesure entre 0 et 360 degrés, l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour mesure principale 70 degrés (ou mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.).

Exercice 10 :

ABC est un triangle avec mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

1. Démontrer que    mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  .

2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC .

Indications :

Utiliser les formules d’Al-Kashi et le théorème de Pythagore généralisé.

Exercice 11 :

Démontrer que la représentation graphique de la fonctionmimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. définie sur mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. par :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1 .

Tout cela vient du fait que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

Il suffit d’additionner chaque membre .

trigonometrie-19-7 Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 12 :

Démontrer que, pour tout réel mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. :

mimetex.cgi?cos^4x-sin^4x=cos(2x) Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utilisons l’identité remarquable  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.   car  mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion :   mimetex.cgi?{\color{Blue} cos^4x-sin^4x=cos(2x) Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 13 :

En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de mimetex.cgi?sin(\frac{7\pi}{12})\,et\,cos(\frac{7\pi}{12}) Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 14 :

Soit ABC un triangle quelconque.

Dans les triangles AEB et BEC rectangles en E ,

en appliquant le théorème de Pythagore :

mimetex.cgi? \{ h^2=c^2-x^2\\h^2=a^2-(b-x)^2  Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc par égalité, nous en déduisons que :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.    (*)

Dans le triangle AEB rectangle en E, en utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Reprenons l’égalité  (*)

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Remarque : ce sont les mêmes démonstrations pour les autres formules d’Al-Kashi,

que l’on appelle également formules de Pythagore généralisées.

formule-al-kashi-correction Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 15 :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 16 :

On peut utiliser la formule de l’angle orienté entre deux vecteurs pour calculer la mesure principale de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

En utilisant les données fournies, on peut écrire :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

En substituant ces valeurs dans la formule de l’angle orienté, on obtient :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Comme cette mesure n’est pas comprise entre -\pi et \pi, on doit la ramener dans cette intervalle en ajoutant ou soustrayant un multiple de 2\pi. On peut écrire :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc, la mesure principale de mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. est mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ou mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Exercice 17 :

1. On peut utiliser la loi des sinus pour trouver mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.:

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

En substituant les valeurs définies, on a :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

En résolvant pour AB et AC, on obtient :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

En remplaçant dans la première équation de la loi des sinus, on trouve :

3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\,=\,\frac{8\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\,=\,\frac{8}{\sqrt{3}} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc,

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Puisque A appartient à l’intervalle [0, \pi], alors mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. est positif.

Ainsi, mimetex.cgi?\sin(\widehat{A})\,=\,\frac{\sqrt{6}}{2}\,+\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,\frac{\sqrt{6}\,+\,\sqrt{2}}{2\cdot\,2}\,=\,\frac{\sqrt{6}\,+\,\sqrt{2}}{4} Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de AB :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

On peut utiliser le même théorème de Pythagore pour trouver la longueur de AC :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

3. L’aire du triangle ABC est donnée par la formule :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 18 :

On peut utiliser la formule de l’aire d’un triangle pour trouver la longueur du troisième côté a = BC :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc, mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Comme mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. est compris entre 0 et 1, alors il existe un unique angle A tel que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

On peut utiliser la loi des cosinus pour trouver la longueur du troisième côté :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc, la seule longueur possible pour le troisième côté est mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Exercice 19 :

On peut utiliser la loi des cosinus pour trouver la longueur du troisième côté BC :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc, mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

On peut utiliser la loi des sinus pour trouver mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 20 :

Soient mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. deux angles supplémentaires. Cela signifie que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.. Alors, on peut écrire :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

En effet,

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Maintenant, pour démontrer la formule de l’aire du quadrilatère ABCD, on peut diviser le quadrilatère en deux triangles en traçant la diagonale AC. Alors, on peut écrire :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Donc, mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Mais on sait que les angles BAC et DAC sont supplémentaires, donc on peut utiliser la relation démontrée au début pour écrire :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc,

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

, où mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.est l’angle formé par les diagonales AC et BD.

Exercice 21 :

Le promeneur forme un triangle isocèle avec son point de départ et le point où il a fini de marcher. La première étape de son trajet forme un côté est de ce triangle, la deuxième étape forme un côté nord-est, et la ligne droite qu’il prend pour revenir forme la base de ce triangle.

On peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de chaque côté de ce triangle :

côté est : 5 km
côté nord-est : mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
base : mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

La distance totale parcourue en courant pour rentrer au point de départ est donc de 2 fois la base :

distance parcourue = mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Cette valeur approchée à 0,01 km près est environ 15,46 km.

Exercice 22 :

Dans un triangle ABC, le théorème de Pythagore donne :

– si ABC est rectangle en A alors AB² = AC² + BC²

– si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en A ou B ou C.

Dans le cas où ABC est rectangle en A, on a donc :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

or, dans un triangle, la somme des carrés des sinus des angles est égale à 2 (identité remarquable) :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

De même, en utilisant le théorème de Pythagore pour les côtés AC et AB, on trouve :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

En remplaçant ces expressions dans celle à démontrer :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

On a donc bien démontré que si ABC est un triangle rectangle en A, alors mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Réciproquement, supposons que mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

On a dans un triangle :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

soit :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

soit :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

or, dans un triangle rectangle en A, on a :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

d’où :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

et donc :

mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

si mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. alors l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. sont égaux ou supplémentaires, donc si mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. sont différents l’un d’eux est droit, donc ABC est rectangle.

Sinon, on a mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.,

alors l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et l’angle mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. sont supplémentaires, donc l’un d’eux est droit, donc ABC est rectangle.

Ainsi, si mimetex Trigonométrie  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., alors ABC est un triangle rectangle en A.


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